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第4章 计数原理
4.3 组合
教案
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题.
教学重难点
1.教学重点：组合、组合数的概念及应用.
2.教学难点：组合数的性质及应用.
教学过程
情境引入
教师提问：考察下面两个问题，并思考这两个问题与上节的问题1、2有什么联系与区别？
教师提出问题1：平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？
学生思考回答：如图，以A为端点，到其余四点的线段有4条：AB，AC，AD，AE.
A不是端点，以B为端点之一，到其余三点的线段有3条：BC，BD，BE；
A，B都不是端点，以C为端点之一，到其余两点的线段有2条：CD，CE；
A，B，C都不是端点，以剩下两点D，E为端点的线段只有1条：DE.
共有（条）不同的线段.
教师提出问题2：从a，b，c，d这4个字母中，取出3个组成一组，共有多少种不同的取法？
学生思考回答：从a，b，c，d这4个字母中，取出3个组成一组，所有取法为abc，abd，acd，bcd. 共有4种不同的取法.
教师总结：上述问题1、2与上节的排列问题比较而言，相同点都是从n个不同元素中取出个元素；不同点是本节的两个问题与所选的元素的顺序无关，而排列问题与顺序有关.
新知积累
1.组合
一般地，从n个不同元素中取出个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
根据组合的定义，两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同.
2.组合数
从n个不同元素中取出个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
思考：从n个不同元素中取m个元素的组合数怎么计算呢？
3.组合数公式
一般地，求从n个不同元素中取个元素的排列数，可以分两步完成：
第一步（选元素），先从这n个不同元素中取出m个元素，不考虑次序构成一个组合，共有个组合；
第二步（排位置），将每一个组合中的m个元素进行全排列，全排列数是.
根据分步乘法计数原理，得到. 由此得到组合数的计算公式：，其中，并且，这个公式叫作组合数公式.
因为，所以，上面的组合数公式还可以写成.特别地，.
一般地，从n个不同元素中取m个元素的组合数与从n个不同元素中取个元素的组合数相等，即.
因为，，
所以成立.
例题巩固
例1 计算和.
解 ，
.
例2 为助力建设宜居宜业和美乡村，星辰中学从“十佳志愿者”的10人中任选5人代表学校参加“为美丽乡村增光添彩”的志愿服务活动.问：
（1）共有多少种不同的选法？
（2）如果还要从选出的5人中再选定一人为组长，那么共有多少种不同的选法？
解 （1）由于从10人中任选5人，与顺序无关，所以共有种选法.
（2）（方法一）从这10人中任选5人，并确定其中一人为组长，可以分为如下两步完成：
第一步，先从10人中任选5人，共有种方法；
第二步，从选出的5人中再确定1人为组长，共有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法.
（方法二）从这10人中任选5人，并确定其中一人为组长，可以分为如下两步完成：
第一步，先从10人中选定1人为组长，共有种方法；
第二步，从余下的9人中再选4人，共有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法.
例3 从4台标清彩电和5台高清彩电中选购3台，要求至少有标清彩电与高清彩电各1台，共有多少种不同的选法？
解 选法可分为两类：
第一类，从4台标清彩电中选1台，从5台高清彩电中选2台，共有种不同的选法；
第二类，从4台标清彩电中选2台，从5台高清彩电中选1台，共有种不同的选法.
根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.
例4 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分为三份，每份2本.
解 （1）将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，可以分为三步完成：
第一步，先从6本书中选2本给甲，有种选法；
第二步，从其余的4本书中选2本给乙，有种选法；
第三步，最后剩余的2本书给丙，有种选法.
根据分步乘法计数原理，共有种不同的分法.
分给甲、乙、丙三人，每人2本，这件事情可以分两步完成：
第一步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法；
第二步，将这三份分给甲、乙、丙三人，有种方法.
根据（1）的结论和分步乘法计数原理得到，所以.
因此分为三份，每份2本，一共有15种方法.
课堂练习
1.若，则正整数( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：C
解析：，，解得（舍去）或.故选C.
2.假期里，有4名同学去社区做文明实践活动.根据需要，要安排这4名同学去甲、乙2个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有( )
A.20种 B.14种 C.12种 D.10种
答案：B
解析：先将4名同学分为两组，则两组人数可能为1，3或2，2.当两组人数为1，3时，有（种）方法，当两组人数为2，2时，有（种）方法，所以将这4名同学分为两组，共有（种）方法，再将这两组同学分配到2个文明实践站，有（种）方法，所以根据分步乘法计数原理，得共有（种）不同的安排方法.故选B.
3.某车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名既能当车工又能当钳工.现要在这11名工人里选派4名钳工和4名车工修理一台机床，则不同的选派方法有__________种.
答案：185
解析：设既能当车工又能当钳工的2名工人为A，B.
A，B都不在内的选派方法有（种）；
A，B都在内且当钳工的选派方法有（种）；
A，B都在内且当车工的选派方法有（种）；
A，B都在内，且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有（种）；
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有（种）；
A，B有一人在内且当车工的选派方法有（种）.
所以不同的选派方法共有（种）.
小结作业
小结：本节课学习了组合、组合数的概念及应用.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
4.3 组合
1.组合
2.组合数
3.组合数公式

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