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第4章 计数原理
4.4 二项式定理
教案
学习目标
1.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.
2.能解决与二项展开式有关的简单问题.
3.了解杨辉三角.
4.掌握二项式系数的性质，会用赋值法求项（二项式）的系数和.
教学重难点
1.教学重点：二项式定理及其二项展开式的通项公式.
2.教学难点：二项式系数的性质.
教学过程
情境引入
在初中我们学过多项式乘法，并且知道：如果a，b是任意实数，那么，，，
由四个因式相乘得到，即，且每个因式中有两项：a，b. 展开后的每项由每个因式中任取一项（或）相乘得到，因而各项都是四次式，其所含字母的形式分别为，，，，.
再看展开式中各项的系数，也就是上面各项在展开式中出现的次数.
是由的四个因式中都只取a（即每个都不取b）相乘得到，有1种选法，所以的系数是；
是四个因式中任取一个因式内的b与另三个因式内的a相乘得到，有种选法，所以的系数是；
是四个因式中任取两个因式内的b与另两个因式内的a相乘得到，有种选法，所以的系数是；
是四个因式中任取三个因式内的b与另一个因式内的a相乘得到，有种选法，所以的系数是；
是四个因式中都只取b 相乘得到，有种选法，所以的系数是.
因此.
据此获得启发，设a，b是任意实数，对于正整数n，有以下猜想：.
下面，来推理证明上述猜想.
新知积累
由于是n个二项式相乘，根据多项式相乘的规律，展开式中的每项都是一个n次式，具有形式，其中.
下面计算形如的同类项个数.
每个和其他因式相乘时，有选或选两种选择. 将看作红球，将看作黑球. 考虑n个均放有一个红球和一个黑球的盒子. 现从每个盒子中取一个球，有选红球或选黑球两种选择，其结果可分为类：
第1类，取出的n个球中，有n个红球，即0个黑球，共有种取法，所以展开式中一共有项 .
第2类，取出的n个球中，有个红球，即1个黑球，共有种取法，所以展开式中共有项.
……
第类，取出的n个球中，有个红球，即个黑球，共有种取法，所以展开式中共有项 .
……
第类，取出的n个球中，有0个红球，即n个黑球，共有种取法，所以展开式中共有项.
1.二项式定理
由加法原理可得
上述公式称为二项式定理. 右边的多项式叫作的二项展开式，一共有项，其中各项的系数（其中）叫作二项式系数，式中的叫作二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.
在二项式定理中，如果设，，则得到公式：.
2.杨辉三角
的展开式中二项式系数依次是，，，，，，当n依次取1，2，3，4，…时，把对应的二项式系数按如下形式排列：
图中的三角形数表称为“二项式系数表”.
对于展开式的二项式系数，，，，，，可以将其看作函数，，进而可以用函数的观点来研究它们.
例如，当时，画的图象，如图所示.
通过观察函数图象，得到二项式系数的一些性质特点：
3.二项式系数的性质
（1）对称性：二项式系数关于直线对称，即. 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即.
（2）单调性和最大值：二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当n是偶数时，展开式的项数是奇数，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，展开式的项数是偶数，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值.
这是因为：，当，即时，有，即二项式系数是逐渐增大的；当，即时，有，即二项式系数是逐渐减小的.
（3）各二项式系数的和：由二项式定理得
，令，则.即的展开式中各二项式系数的和等于.
例题巩固
例1 求的展开式.
解
.
例2 计算的展开式中第5项的系数和二项式系数.
解 的展开式的第5项是，
所以展开式中第5项的系数是，第5项的二项式系数是.
例3 求 的展开式中的系数.
解 原式可化为，
其中含的项为.
因此，的系数是42.
例4 当n为偶数时，求证：
.
证明 由二项式定理得，分别令和，，相应得到
，①
. ②
①+②得，
即.
①-②得.
所以，当n为偶数时有.
例5 已知，计算.
解 在展开式中取，则.
再在展开式中取，得，
于是.
课堂练习
1.若的二项展开式中的系数是，则实数a的值是( )
A. B. C.1 D.2
答案：D
解析：的二项展开式的通项公式.令，得.由的系数是，得，解得.故选D.
2.（多选）在的展开式中，下列说法正确的有( )
A.所有项的二项式系数和为64
B.所有项的系数和为0
C.常数项为20
D.二项式系数最大的项为第3项
答案：AB
解析：所有项的二项式系数和为，故A正确；令，得所有项的系数和为，故B正确；常数项为，故C错误；展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，故D错误.选AB.
3.的展开式中的系数为________（用数字作答）.
答案：-28
解析：展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为.
小结作业
小结：本节课学习了二项式定理、二项式系数的性质及应用.
作业：完成本节课课后习题.
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4.4 二项式定理
1.二项式定理
2.杨辉三角
3.二项式系数的性质

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