资源简介

二次函数的图像和性质
教学设计
一、整体设计思路、指导依据说明
《新课标》中也指出：数学教学是数学活动教学，教师要紧密联系生活实际，从学生的经验和已有的知识出发，创设生动教学情境，激发学生的学习兴趣，使学生在实际生活中体会到数学的用途，并运用所学的知识，解决实际问题。
二 、教学背景分析
（一）、教学内容分析
二次函数的图像和性质是华师版九年级数学上册第二十六章第二节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念之后引入的新内容，也是后面研究坐标形式和一般形式的二次函数图像性质的基础。
本节课“二次函数的图象与性质”内容，主要是能够利用描点法准确画出二次函数的图象，确定二次函数的性质特征。在利用描点法画二次函数图象时，其具体步骤是：确定自变量取值范围，分析x、y的变化规律，估量函数图象的位置和趋势，通过“列表一描点一连线”这一系列步骤画出函数图象，并由此得出画函数图象的规律所在。这不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了由特殊到一般和数形结合的思想方法。因此，这节课无论是在知识上，还是对学生能力的培养上都有着十分重要的作用。
（二）、教学对象分析
九年级学生学习积极性比较高，学习能力也不差，他们在学习数学知识的过程中，善于使用直观思维，并能够对直观图象进行抽象概括，其认知水平已处于一个上升趋势。在学习本节课之前，学生已熟练掌握一次函数的相关知识和函数图象的描点法，同时也基本掌握了二次函数的相关概念，做好了学习二次函数的前期知识积累，为顺利学好“二次函数的图象与性质”提供了保障。
三、教学目标
（一）知识与技能：
能够准确绘制二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数的性质。
（二）过程与方法：
经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程；体会数形结合的数学思想在数学中的应用。
（三）情感、态度与价值观：
经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。
四、教学重难点
教学重点：学生能够使用描点法画出二次函数的图象，掌握抛物线相关概念知识。
教学难点：学生能够使用描点法画出二次函数的图象，能够通过对二次函数y=ax2图象的分析，确定其性质特征。
五、教学过程设计
环节一 创设情境
我国著名数学家华罗庚曾说过：
数缺形时少直观，形少数时难入微；
数形结合百般好，隔离分家万事休。
数学中,数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透...
借助函数图像研究函数性质是学习函数最行之有效的方法。我们知道，一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图像是双曲线。那么，二次函数的图象是什么它有什么特点，又有哪些性质。让我们先来研究最简单的二次函数的图象与性质。
（板书课题：二次函数的图象与性质）
设计意图：通过数与形的诗词，让学生明白数与形的关系，而刻画函数性质需要借助函数图像。想了解二次函数的性质要从最简单的开始研究，让学生体会从特殊到一般的数学思想。
环节二 合作学习，探究新知
通过两个活动让学生主动参与其中，在活动中感悟，在问题中创造，在讨论中生成、发展，获取新知。
活动一、初识抛物线
画函数的图像
（1）、列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=ax2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
（2）、描点：根据表中数值，在平面直角坐标系中描点。
（3）、连线：用平滑的曲线顺次连结各点，就得到图像。
思考：1、二次函数的自变量取值范围是什么？如何表示未取到的值？
2、如何在图像上体现还可以有很多未取到的值？
要求：在坐标纸上作二次函数的图像。教师巡回搜集画图中出现的各种问题展示出来。
学生分组讨论，全班交流，归纳出作图的方法，自我评价并纠正所画的图像。并结合所学迅速作出的图像。
这种图像如同我们抛出物体的轨迹，我们称这种图像为抛物线。 一般的，二次函数的图像叫做抛物线.
让同学列举生活中的抛物线的例子，结合PPT展示生活中的抛物线。
设计意图：在坐标纸上作二次函数的图像，在于呈现学生探究的自然过程，暴露可能存在的问题。事实上，出现了学生画成折线、画成半个抛物线、没画出延伸的趋势、没有取原点、有的描了几个点不知该如何连线等多种情形.教师收集并将这些具有代表性的（有规范的，也有不规范的）图像贴到黑板上，让学生辨析并升华自己对二次函数图像的理解，这就把自主探究与合作学习有机地统一起来。通过生活中的实例让学生体会数学来源于生活并高于生活，培养学生能够在生活中更好的使用数学，把数学同生活融为一体，紧密地联系起来，运用数学知识，解决生活中的问题。
活动二、观察探讨的特征
观察图像，思考：你发现抛物线有什么特征？你是怎样判断出来的？点名让学生作答，老师根据学生发表意见的层次，同时演示课件上的相关内容，让学生进一步认识图像的基本性质.
结论：这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴，对称轴为直线对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标为（0，0）。
设计意图：让学生观察的图像，探寻其几何特征，辅之以课件动画演示，增强几何直观能力.而且引入对称轴方程和顶点坐标，初步地把形（对称性、特殊点）与数（对称轴方程、顶点坐标）结合起来，为下一步对的图像的探究作出铺垫。
活动三、再识抛物线
作抛物线的图像
如果我们改变二次项的系数，它的图像会如何变化呢？带着这个问题，引导学生举例，通过几何画板绘制、的图像与对比。
绘制、的图像与对比。
2、讨论交流
观察单个函数图像，你能发现什么规律？对比几个图像，你还能发现什么？
在这个过程中运用几何画板工具，让学生直观地看到当变化时，图像的变化规律，验证学生的发现。
归纳：抛物线的性质
（1）填表
图像草图 开口方向 顶点 对称轴 增减性 最值
（2）抛物线与关于 对称，因此抛物线与关于 对称，开口大小 。
（3）当时，越大，抛物线的开口越 ；
当时，越大，抛物线的开口越 。
因此，| |越大，抛物线的开口越 ，反之| |越小，抛物线的开口越 。
设计意图：组内完成作图后分步观察：先看单个的图像，能发现什么？再将几个图像放在一起对比观察，还能发现什么？这样不仅使学习更具有主动性，同时也使个人的想法得到纠正和补充.接下来各组代表上台对黑板上展示的图像交流说明，促进小组学习的积极性。而恰到好处地运用几何画板工具验证学生的发现，符合课堂上及时反馈、评价、调控的教学要求，降低了学习难度。
环节3、巩固新知
独立完成，小组内交流与评价。
1、的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
2、的开口 ，当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 。
3、已知抛物线，当= 时，有最 （填“大”或“小”）值，此时= 。
4、（2019·呼和浩特）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
设计意图：安排4道非常精练的小练习，及时巩固所学知识，使学生品尝到成功的喜悦.（1）、（2）、（3）直接复习了二次函数的图像特征，简单易懂、面向全体.（4）蕴含“数形结合”的数学思想。对于（4），可以由学生讲解完成.先简单回顾一次函数的相关性质，再小组内分析讨论。
环节4：课堂小结
通过本节课的学习：
（1）我知道了 ，
我学会了 。
（2）本节课还有什么收获和体会？
设计意图：课程结束前，让学生从以下方面总结归纳：
我们是怎样来作函数的图像并研究其性质的？
作图像过程中，经历了类比列表、描点、连线的过程，由有限个点进行猜想并验证得到抛物线，连线的时候要用光滑的曲线。
函数图像和性质与有关。（投影图像的性质）
板书设计
二次函数的图像和性质
画图象的步骤（描点法）：列表----描点----连线
图像：抛物线
观察图象：形状、开口、对称轴、增减性、顶点坐标、对称轴
六、教学反思
本课是一节数形结合、探索理解性的典型的数学知识新授课。
1.教学过程之自我评价
（1）整堂课采用“引导直观观察、独立探究思考、小组合作交流”的教学思想，沿着“借助信息技术，突出数学直观，强调形数结合，发展思维能力”的思路展开。
（2）本节课的教学过程围绕着核心概念和思想方法展开，以恰时恰点的问题引导数学活动，知识（形成与发展过程）线和思想方法（训练）线两线交织融合，让学生在潜移默化中掌握本节课的核心概念和数学思想方法。
知识线（主线）：问题情境（生活中的实例）→数学模型（抛物线）→解释（画二次函数的图像）→拓展（抛物线的对称性、增减性、顶点、开口）
思想方法线（暗线）：猜想（二次函数的形状）→类比（一次函数的画法）→数学一般化（借助几何画板直观认识抛物线）→观察与归纳（结合的取值，分类再观察抛物线）→抽象与慨括（数形结合探索抛物线的性质）。
（3）本节课的教学方法符合学生的认知规律。
①类比作一次函数的图像，让学生动手作二次函数的图像，“做中学”体验了知识的探索过程。
②让学生独立观察的图像，用层层推进的问题串启发学生深入思考，主动获取知识，通过小组合作，讨论交流，在教师引领下从图像发现规律，理解函数图像的性质。
③让学生经历直观观察一分析判断一归纳验证的数学过程，有利于培养学生的合情推理能力和积极的情感态度。
④用几何画板辅助函数图像教学，化静为动、直观形象，演示改变的取值由图像验证学生猜想得到的性质，体现了由特殊到一般的数学思想，较好地解决了学生难以理解二次函数的图像为什么是曲线和“函数图像就是点的集合”的问题。
2.预设与生成之问题反思
本节课的教学设计和教学目标协调一致，充分做到以学生的发展为本，符合学生的思维规律，整堂课上在知识形成过程中既有学生的观察与思考，又有学生的操作与表述；既有小组的合作交流，又有学生的自主探究；还有教师恰当的引导点拨.
3.课堂重建之再思考
①适时地归纳小结是数学课的魂。本节课有三处需要适时地归纳小结（二次函数的图像是抛物线；和时二次函数的图像、性质），课堂结束前的归纳小结如何做得更好，怎样进行小结才是一种升华而不显重复，这是值得研究的问题。
②本节课内容比较多，这里采取了与课本相同的处理方式：先整体认识知识，再巩固运用知识，这样做符合课标强调对知识的整体认知的要求，有利于培养学生的能力；还可以先探究时二次函数的图像和性质，第二节课再讨论时二次函数的图像和性质，在有些薄弱学校授课时按这种方式处理较好，有利于学生经历知识的形成过程。

展开更多......

收起↑