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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第3章 代数式
3.1 列代数式表示数量关系2
学习目标：
会根据实际问题列代数式，进一步规范代数式的书写格式。
能理解简单代数式的实际背景，培养符号感。
通过实际情境，培养把实际问题抽象为数学问题的能力。
老师告诉你
列代数式表示数量关系的要点：
弄清题意中的运算顺序，正确使用括号，分出层次，逐步列出代数式。
注意：字母具有任意性，但要符号实际问题中的意义。
知识点拨
知识点1 用代数式表示数量关系
列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言
同一问题中，不同的量要用不同的字母表示；不同的问题中，不同的量可以使用相同的字母，但字母的含义不同.例如：某人骑自行车一段破路，上坡的速度为a千米/时，上坡的速度为b千米/时
【新知导学】
例1．买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要（　　）元．
A. 4m+7n B. 28mn C. 7m+4n D. 11mn
【对应导练】
1．一个两位数，十位上的数字是2，个位上的数字是x,这个两位数是 _____．
2．如图是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积为_____米2．
3．用代数式表示：
（1）m的倒数的3倍与m的平方的差的50%；
（2）x的与y的差的；
（3）甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积．
知识点2 用代数式表示正比例关系
正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，则称这两个量为成正比例的量，这两个量的关系称正比例关系。
【新知导学】
例2．如表中，如果m和n成正比例，空格里的数是 _____，如果m和n成反比例，空格里的数是 _____．
m 18 45
n 12
【对应导练】
1．圆柱的底面半径一定，侧面积和高成正比例关系． _____（判断对错）
2．在A×B=C中，当B一定时，A和C成 _____关系，当C一定时，A和B _____成关系．
3．正方形的面积和边长成正比例关系． _____（判断对错）
4．已知y与x成正比例关系，且x=1时，y=6．
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）求当x=-2时，y的值．
知识点3 用代数式表示反比例关系
反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，则称这两个量为成反比例的量，这两个量的关系称反比例关系。
【新知导学】
例3．下列相关的量中，成反比例关系的是（　　）
A. 平行四边形的面积一定，底和高
B. 圆的周长与面积
C. 正方形的周长与边长
D. 圆锥的体积一定，圆锥的底面半径与高
【对应导练】
1．下面各题中的两个量成反比例的是（　　）
A. 小华的身高和他的体重
B. 订阅《小学生报》的份数和总钱数
C. 一包糖，吃了的块数和剩下的块数
D. 一堆煤，每天烧煤量和烧煤的天数
2．如表，表格中如果m与n成反比例关系，则x=_____．
m 24 12
n 8 x
3．x和y是两种相关联的量（x、y均不为0），若3x=7y,则x和y成反比例． _____（判断对错）
4．图中，哪些图中的y与x构成反比例关系请指出．
知识点4 用代数式表示式子，图形的规律
规律探求的核心是找出每个数对应的位次之间的关系
若数列是分数系列，按分子、分母分别找规律
若数列是正负交替排列则在答案前加上（-1）n+1 ,若数列是负正交替排列在答案前面加上（-1）n
【新知导学】
例4．已知一列数a1，a2，…，an（n为正整数）满足，请通过计算推算an=_____（用含n的代数式表示），a2011=_____．
【对应导练】
1．已知S1=a+1（a不取0和-1），S2=，S3=，S4=，…按此规律，请用含a的代数式表示S2022=_____．
2．图1中三条线段的长如图所示，用n个图1拼成图2的总长度 _____．（用含n的代数式表示）
3．同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形中有 _____颗黑色棋子；第8个图形比第6个图形多 _____颗黑色棋子；（填数字）
（2）第（n+2）个图形比第n个图形中多 _____（用含n的代数式表示）颗黑色棋子．
4．用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．
（1）铺第5个图形用黑色正方形瓷砖_____块；
（2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖_____块；（用含n的代数式表示）
（3）若黑、白两种颜色的瓷砖规格都为（长0.5米×宽0.5米），且黑色正方形瓷砖每块价格25元，白色正方形瓷砖每块价格30元，若按照此方式恰好铺满该小路某一段（该段小路的总面积为18.75平方米），求该段小路所需瓷砖的总费用．
二、题型训练
1.用代数式表示数量关系
1．某产品的成本为A元，按成本加价四成作为定价销售，因季节原因按定价的六折出售，降价后的售价为（　　）元．
A. （60%-40%）A B. 60%×40%A
C. （1+40%）60%A D. （1+40%）（1-60%）A
2．如果甲、乙两地相距100千米，汽车每小时行驶v千米，那么从甲地到乙地需要_____小时（用含有v的代数式表示）．
3 .某工厂第一车间有x人，第二车间人数比第一车间人数的少20人，第三车间人数是第二车间人数的多10人．
（1）求第三车间有多少人？（用含x的代数式表示）
（2）求三个车间共有多少人？（用含x的代数式表示）
（3）如果从第二车间调出10人到第一车间，原第三车间人数比调动后的第一车间人数少多少人？
2.用代数式表示式子规律
4 .观察下列等式：
第1个等式：a1==×（1-）；
第2个等式：a2==×（-）；
第3个等式：a3==×（-）；
第4个等式：a4==×（-）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_____；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=_____=_____（n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
5．观察下列等式：
12×231=132×21；
13×341=143×31；
23×352=253×32；
34×473=374×43；
62×286=682×26；
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
54×_____=_____×45．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9．
①等式左边的两位数与三位数的积能否被2023整除？请说明理由；
②请用含a,b的代数式表示“数字对称等式”并证明．
3.用代数式表示图形规律
6．如图，下面是用火柴棍摆的正方形，请你仔细观察第n个图形中共有_____根（用n的代数式表示）火柴棍．
7．观察下列图形中点的个数．
（1）图2中点的个数是 _____；
（2）若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 _____个图形；
（3）若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 _____（用含n的代数式表示）．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．某产品的成本为A元，按成本加价四成作为定价销售，因季节原因按定价的六折出售，降价后的售价为（　　）元．
A. （60%-40%）A B. 60%×40%A
C. （1+40%）60%A D. （1+40%）（1-60%）A
2．甲数是乙数的4倍少3，则下列说法正确的是（　　）
①设乙数为x,甲数为4x-3
②设甲数为x,乙数为x+3
③设甲数为x,乙数为（x+3）
④设甲数为x,乙数为（x-3）
A. ①③ B. ①② C. ②④ D. ①④
3．用代数式6x2表示下列数量关系不恰当的是（　　）
A. 6个边长为xcm的正方形面积之和为6x2cm2
B. 底面半径为xcm、高为6cm的圆柱的体积为6x2cm3
C. 棱长为xcm的正方体的表面积为6x2cm2
D. 定价为600元的商品连续两次打x折后的售价为6x2元
4．日历中同一竖列相邻三个数的和不可能是（　　）
A. 35 B. 39 C. 51 D. 60
5．下列用语言叙述式子：-4表示的数量关系，表述不正确的是（　　）
A. 比x的倒数小4的数 B. 比x的倒数大4的数
C. x的倒数与4的差 D. 1除以x的商与4的差
6．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑤个图形中五角星的个数为（　　）
A. 32 B. 40 C. 50 D. 68
7．如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（　　）
A. 19个 B. 22个 C. 25个 D. 26个
8．已知汽车油箱内有油50L，每行驶100km耗油10L，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的关系式是（　　）
A. Q=50- B. Q=50+
C. Q=50- D. Q=50+
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10吨，改用喷灌方式后，10吨水可以比原来多用5天，那么喷灌比漫灌平均每天节约用水 _____吨．
10．结合生活经验对代数式3a+2b作出解释：_____．
11．某网店进行促销，将原价a元的商品以（0.8a-20）元出售，该网店对该商品促销的方法是 _____．
12．观察“田”字中各数之间的关系：
则c的值为_____．
13．如图，用灰、白两种颜色的正三角形瓷砖铺设地面，则第 _____个图案中有55块白色瓷砖．
三、解答题(共6题，共48分，每小题8分)
14．某校团委组织了有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了50件奖品，其二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少10，各种奖品的单价如下表所示：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价/元 12 10 5
数量/件 x _____ _____
如果计划一等奖奖品买x件，买50件奖品的总价是y元．
（1）先填表，再用含x的代数式表示y并化简；
（2）若一等奖奖品买10件，则共花费多少？
15．指出下列各代数式的意义：
（1）a2+2；
（2）a（b+1）-1．
16．将下列代数式用文字语言表示：
（1）（a+b）2；
（2）a2+b2．
你能说出这两个式子有什么不同吗？
17．2020年12月17日，惠州市下发通知，2021年1月1日起，调整惠城区出租车收费标准，调整后的新收费标准如下表所示，根据此最新收费标准，解决下列相关问题：
行驶路程 收费标准（新）
不超出2km的部分 起步价：8元
超出2km的部分 2.6元/km
（1）若行驶路程为5km,则应付打车费用为 _____元；
（2）若行驶路程为x km（x＞6），则打车费用为 _____元（用含x的代数式表示）；
（3）2021年1月22日，某校一同学放学回家，已知打车费用为34元，则他家离学校多远？
18．A，B两仓库分别有大米20吨和30吨，C，D两超市分别需要大米15吨和35吨．已知从A，B两仓库到C，D两超市的运价如表：
到C超市 到D超市
A仓库 每吨150元 每吨120元
B仓库 每吨100元 每吨90元
设从A仓库运往C超市的大米是x吨．
（1）请分别求出从A，B两仓库运往C，D两超市大米的运输重量．（用含x的代数式表示）
（2）若x=8，请分别求出从A，B两仓库运往C，D两超市大米的运输费用．
19．某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）图6中盆景数量为 _____，盆花数量为 _____；
（2）已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；
（3）若有n（n为偶数，且n≥2）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为 _____．（用含n的代数式表示）
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第3章 代数式
3.1 列代数式表示数量关系2
学习目标：
会根据实际问题列代数式，进一步规范代数式的书写格式。
能理解简单代数式的实际背景，培养符号感。
通过实际情境，培养把实际问题抽象为数学问题的能力。
老师告诉你
列代数式表示数量关系的要点：
弄清题意中的运算顺序，正确使用括号，分出层次，逐步列出代数式。
注意：字母具有任意性，但要符号实际问题中的意义。
知识点拨
知识点1 用代数式表示数量关系
列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言
同一问题中，不同的量要用不同的字母表示；不同的问题中，不同的量可以使用相同的字母，但字母的含义不同.例如：某人骑自行车一段破路，上坡的速度为a千米/时，上坡的速度为b千米/时
【新知导学】
例1．买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要（　　）元．
A. 4m+7n B. 28mn C. 7m+4n D. 11mn
【答案】A
【解析】根据题意可知4个足球需4m元，7个篮球需7n元，故共需（4m+7n）元．
解：∵一个足球需要m元，买一个篮球需要n元．
∴买4个足球、7个篮球共需要（4m+7n）元．
故选：A．
【对应导练】
1．一个两位数，十位上的数字是2，个位上的数字是x,这个两位数是 _____．
【答案】20+x
【解析】两位数字的表示方法：十位数字×10+个位数字．
解：2×10+x=20+x.
2．如图是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积为_____米2．
【答案】（x2+2x+18）
【解析】由图可知，这所住宅的建筑面积=三个长方形的面积+一个正方形的面积．
解：由图可知，这所住宅的建筑面积为x2+2x+12+6=x2+2x+18（米2）．
3．用代数式表示：
（1）m的倒数的3倍与m的平方的差的50%；
（2）x的与y的差的；
（3）甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积．
【解析】根据文字表示代数式的时候，一要注意运算顺序；二要注意代数式的正确书写．
解：（1）50%（-m2）；
（2）（x-y）；
（3）．
知识点2 用代数式表示正比例关系
正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，则称这两个量为成正比例的量，这两个量的关系称正比例关系。
【新知导学】
例2．如表中，如果m和n成正比例，空格里的数是 _____，如果m和n成反比例，空格里的数是 _____．
m 18 45
n 12
【答案】(1)30;(2);
【解析】根据比值一定成正比例关系，乘积一定成反比例关系解答即可．
解：设空格里的数为x,
如果m和n成正比例，则18：12=45：x,
解得x=30，
如果m和n成反比例，则18×12=45x,
解得x=，
故答案为：30，．
【对应导练】
1．圆柱的底面半径一定，侧面积和高成正比例关系． _____（判断对错）
【答案】对
【解析】根据圆柱的侧面积=底面周长×高=2πr h,即可根据正比例函数的定义判断侧面积和高成正比例关系．
解：∵圆柱的侧面积=底面周长×高=2πr h,
∴圆柱的侧面积=2πr h,
∴圆柱的底面半径一定，侧面积和高成正比例关系，
故答案为：对．
2．在A×B=C中，当B一定时，A和C成 _____关系，当C一定时，A和B _____成关系．
【答案】(1)正比例;(2)反比例;
【解析】根据正比例函数和反比例函数的定义即可得到结论．
解：在A×B=C中，当B一定时，A和C成正比例关系，当C一定时，A和B反比例成关系，
故答案为：正比例，反比例．
3．正方形的面积和边长成正比例关系． _____（判断对错）
【答案】×
【解析】正方形的周长和边长成正比例关系，面积和边长没有比例关系，可得出答案．
解：正方形的面积和边长不成正比例关系，原题说法错误，
故答案为：×．
4．已知y与x成正比例关系，且x=1时，y=6．
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）求当x=-2时，y的值．
【解析】（1）根据y与x成正比例关系设出关系式，再把当x=1时，y=6代入关系式即可求出k的值，进而求出y与x之间的关系式．
（2）根据（1）中所求关系式，将x=-2代入其中，求得y值；
解：（1）设y=kx（k≠0）．
将x=1，y=6代入得：6=k,
所以，y=6x；
（2）由（1）知，y=6x,
∴当x=-2时，y=6×（-2）=-12，即y=-12．
知识点3 用代数式表示反比例关系
反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，则称这两个量为成反比例的量，这两个量的关系称反比例关系。
【新知导学】
例3．下列相关的量中，成反比例关系的是（　　）
A. 平行四边形的面积一定，底和高
B. 圆的周长与面积
C. 正方形的周长与边长
D. 圆锥的体积一定，圆锥的底面半径与高
【答案】A
【解析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
解：A．因为平行四边形的面积等于底乘高，所以平行四边形的面积一定，底和高成反比例，故符合题意；
B．因为圆的周长÷半径=2π（一定），所以圆的周长与圆的面积不成比例，故不符合题意；
C．正方形的周长等于边长×4，故正方形的周长与边长成正比例关系，故不符合题意；
D．因为圆锥的体积等于圆锥的底面积与高的积的，所以圆锥的底面半径的平方与高成反比例，故不符合题意．
故选：A．
【对应导练】
1．下面各题中的两个量成反比例的是（　　）
A. 小华的身高和他的体重
B. 订阅《小学生报》的份数和总钱数
C. 一包糖，吃了的块数和剩下的块数
D. 一堆煤，每天烧煤量和烧煤的天数
【答案】D
【解析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例．
解：A．一个人的身高和他的体重不成比例，故本选项错误，不符合题意；
B．总钱数÷份数=单价（一定），商一定，所以订《小学生报》的份数和总钱数成正比例，故本选项错误，不符合题意；
C．一包糖，吃了的块数和剩下的块数，不成反比例，故本选项错误，不符合题意；天完成的件数成反比例．
D．一堆煤，每天烧煤量和烧煤的天数成反比例关系，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
2．如表，表格中如果m与n成反比例关系，则x=_____．
m 24 12
n 8 x
【答案】16
【解析】根据反比例函数的定义可知24×8=12x,进一步计算即可．
解：∵表格中如果m与n成反比例关系，
∴24×8=12x,
解得x=16，
故答案为：16．
3．x和y是两种相关联的量（x、y均不为0），若3x=7y,则x和y成反比例． _____（判断对错）
【答案】×
【解析】根据反比例函数的定义解答即可．
解：∵3x=7y,
∴x=．
∴x与y不是反比例关系．
故答案为：×．
4．图中，哪些图中的y与x构成反比例关系请指出．
【解析】根据反比例函数的定义，可得答案．
解：图中函数关系式分别是
（1）y=vx（v表示速度）是正比例函数；
（2）y=（s表示路程）是反比例函数；
（3）y=（m为物体的质量，l为物体到支点的距离）是反比例函数；
（4）y=kx（k为底面直径一定时单位高度水的质量）是正比例函数；
（5）y=（V表示水的体积）是反比例函数；
（6）y=（V表示水的体积）是反比例函数．
图（2）、图（3）、图（5）中的y与x符合反比例函数关系．
知识点4 用代数式表示式子，图形的规律
规律探求的核心是找出每个数对应的位次之间的关系
若数列是分数系列，按分子、分母分别找规律
若数列是正负交替排列则在答案前加上（-1）n+1 ,若数列是负正交替排列在答案前面加上（-1）n
【新知导学】
例4．已知一列数a1，a2，…，an（n为正整数）满足，请通过计算推算an=_____（用含n的代数式表示），a2011=_____．
【答案】(1);(2);
【解析】代入计算后可得所得结果中的分子均为2，分母为n+1，代入计算可得．
解：由题意得a1=，
a2=；
a3=…，
∴an=（用含n的代数式表示），a2011=．
故答案为；．
【对应导练】
1．已知S1=a+1（a不取0和-1），S2=，S3=，S4=，…按此规律，请用含a的代数式表示S2022=_____．
【答案】
【解析】先分别计算出S2，S3，S4的值，然后通过数字找规律，进行计算即可解答．
解：∵S1=a+1（a不取0和-1），
∴S2===-，
S3===，
S4===a+1，
..．
∴每3个数一循环，
∴2022÷3=674，
∴S2022=，
故答案为：．
2．图1中三条线段的长如图所示，用n个图1拼成图2的总长度 _____．（用含n的代数式表示）
【答案】5n+2
【解析】观察得出规律：每增加1个图1，长度增加5，从而得出答案．
解：用1个图1的长度为：1+5+1=5×1+2，
用2个图1拼成的图形的长度为：1+5+1+5=5×2+2，
用3个图1拼成的图形的长度为：1+5+1+5+5=5×3+2，
……
用n个图1拼成的图形的长度为：=5n+2，
故答案为：5n+2．
3．同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形中有 _____颗黑色棋子；第8个图形比第6个图形多 _____颗黑色棋子；（填数字）
（2）第（n+2）个图形比第n个图形中多 _____（用含n的代数式表示）颗黑色棋子．
【答案】(1)19;(2)17;(3)（2n+5）;
【解析】（1）按规律数黑色棋子的个数，找到规律，代入求解即可；
（2）根据（1）中的规律，列整式求解即可．
解：（1）第1个图形中有1颗黑色棋子；
第2个图形中有1+2+1颗黑色棋子；
第3个图形中有1+2+3+2颗黑色棋子；
第4个图形中有1+2+3+4+3颗黑色棋子；
则第5个图形中有1+2+3+4+5+4=19颗黑色棋子；
故答案为：19；
第6个图形中有1+2+3+4+5+6+5=26颗黑色棋子；
第8个图形中有1+2+3+4+5+6+7+8+7=43颗黑色棋子；
所以第8个图形比第6个图形多43-26=17颗黑色棋子；
故答案为：17．
（2）由（1）得，第n个图形中有黑色棋子[1+2+ +n+（n-1）]颗，
第（n+2）个图形中有黑色棋子[1+2+ +n+（n+1）+（n+2）+（n+1）]颗，
[1+2+ +n+（n+1）+（n+2）+（n+1）]-[1+2+ +n+（n-1）]
=（n+1）+（n+2）+（n+1）-（n-1）
=2n+5，
所以第（n+2）个图形比第n个图形中多（2n+5）颗黑色棋子．
故答案为：（2n+5）．
4．用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．
（1）铺第5个图形用黑色正方形瓷砖_____块；
（2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖_____块；（用含n的代数式表示）
（3）若黑、白两种颜色的瓷砖规格都为（长0.5米×宽0.5米），且黑色正方形瓷砖每块价格25元，白色正方形瓷砖每块价格30元，若按照此方式恰好铺满该小路某一段（该段小路的总面积为18.75平方米），求该段小路所需瓷砖的总费用．
【答案】(1)21;(2)（4n+1）;
【解析】（1）根据图形的变化规律即可求解；
（2）根据（1）中所得结果即可得到第n个图形的结果；
（3）先根据图形的变化规律用含n的代数式表示白色瓷砖的块数，再根据题意列方程求出n的值进而求出总费用．
解：（1）铺第1个图形用黑色正方形瓷砖4+1=5块；
铺第2个图形用黑色正方形瓷砖4×2+1=9块；
铺第3个图形用黑色正方形瓷砖4×3+1=13块；
铺第4个图形用黑色正方形瓷砖4×4+1=17块；
铺第5个图形用黑色正方形瓷砖4×5+1=21块；
故答案为21．
（2）根据（1）的规律，得
铺第n个图形用黑色正方形瓷砖（4n+1）块；
故答案为（4n+1）．
（3）根据题意，得
铺第n个图形用白色正方形瓷砖为2（n+1）．
∴[（4n+1）+2（n+1）]×0.5×0.5=18.75，
解得n=12．
该段小路所需瓷砖的总费用为：
25（4n+1）+30×2（n+1）
=160n+85，
当n=12时，160n+85=2005．
答：该段小路所需瓷砖的总费用为2005元．
二、题型训练
1.用代数式表示数量关系
1．某产品的成本为A元，按成本加价四成作为定价销售，因季节原因按定价的六折出售，降价后的售价为（　　）元．
A. （60%-40%）A B. 60%×40%A
C. （1+40%）60%A D. （1+40%）（1-60%）A
【答案】C
【解析】根据题意列出代数式即可，加价四成即为（1+40%）A，六折即为原价的60%．
解：成本为A元，按成本加价四成作为定价销售即，定价为：（1+40%）A，
而降价后的售价按定价的六折，故降价后的售价为：（1+40%）60%A，
故A、B、D错误，
故选：C．
2．如果甲、乙两地相距100千米，汽车每小时行驶v千米，那么从甲地到乙地需要_____小时（用含有v的代数式表示）．
【答案】
【解析】根据时间=路程÷速度即可求解．
解：由题意可得，从甲地到乙地需要小时．
故答案为：．
3 .某工厂第一车间有x人，第二车间人数比第一车间人数的少20人，第三车间人数是第二车间人数的多10人．
（1）求第三车间有多少人？（用含x的代数式表示）
（2）求三个车间共有多少人？（用含x的代数式表示）
（3）如果从第二车间调出10人到第一车间，原第三车间人数比调动后的第一车间人数少多少人？
【解析】（1）先表示出第二车间的人数，再表示出第三车间的人数即可；
（2）把表示三个车间的人数的代数式相加即可得到答案；
（3）先表示出调动后第一车间的人数，再用调动后第一车间的人数减去第三车间的人数即可．
解：（1）∵第二车间的人数比第一车间人数的少20人，即人，
而第三车间人数是第二车间人数的多10人，
∴第三车间的人数为：人；
（2）三个车间共有：人；
（3）（x+10）-（x-15）=25（人），
答：原第三车间人数比调动后的第一车间人数少25人．
2.用代数式表示式子规律
4 .观察下列等式：
第1个等式：a1==×（1-）；
第2个等式：a2==×（-）；
第3个等式：a3==×（-）；
第4个等式：a4==×（-）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_____；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=_____=_____（n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
【答案】(1)=;(2);(3);
【解析】（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（3）运用变化规律计算．
解：根据观察知答案分别为：
（1）； ；
（2）； ；
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100
=×（1-）+×（-）+×（-）+×（-）+…+×
=（1-+-+-+-+…+-）
=（1-）
=×
=．
5．观察下列等式：
12×231=132×21；
13×341=143×31；
23×352=253×32；
34×473=374×43；
62×286=682×26；
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
54×_____=_____×45．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9．
①等式左边的两位数与三位数的积能否被2023整除？请说明理由；
②请用含a,b的代数式表示“数字对称等式”并证明．
【答案】(1)495;(2)594;
【解析】（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．
解：（1）∵5+4=9，
∴左边的三位数是495，右边的三位数是594，
∴54×495=594×45，
故答案为：495，594；
（2）①∵左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,
∴左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10（a+b）+a,
右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10（a+b）+b,
2023÷[（10a+b）（100b+10（a+b）+a）]
=2023÷[（10a+b）（110b+11a）]
=2023÷（1100ab+110a2+110b2+11ab）
=2023÷（1100ab+110a2+110b2+11ab）
=2023÷[11（101ab+10a2+10b2）]
∴等式左边的两位数与三位数的积不能被2023整除；
②一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
=（10a+b）（100b+10a+10b+a），
=（10a+b）（110b+11a），
=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
=（100a+10a+10b+b）（10b+a），
=（110a+11b）（10b+a），
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
3.用代数式表示图形规律
6．如图，下面是用火柴棍摆的正方形，请你仔细观察第n个图形中共有_____根（用n的代数式表示）火柴棍．
【答案】（3n+1）
【解析】通过观察图形可知，第一个图形是由四根火柴摆成，以后加三根就可加一个正方形，以此类推，得出结论．
解：从图中可知n每增加1，就要多用3根火柴棍，
n=1，所用火柴棍3+1=4根，
n=2，所用火柴棍2×3+1=7根，
n=3，所用火柴棍3×3+1=10根，
n=4，所用火柴棍4×3+1=13根
…
第n个图形中就该有火柴棍3n+1．故答案为：（3n+1）．
7．观察下列图形中点的个数．
（1）图2中点的个数是 _____；
（2）若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 _____个图形；
（3）若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 _____（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)9;(2)5;(3)（n+1）2;
【解析】（1）图2中点的个数为1+3+5=9；
（2）由第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…得出第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．进一步得出36=（5+1）2，也就是第5个图形
（3）利用（2）中的规律得出答案即可．
解：（1）图2中有9个点；
（2）∵第1个图形中点的个数为：1+3=4，
第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，
第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，
…
∴第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．
36=（5+1）2，也就是第5个图形；
（3）第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．
故答案为：9，5，（n+1）2．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．某产品的成本为A元，按成本加价四成作为定价销售，因季节原因按定价的六折出售，降价后的售价为（　　）元．
A. （60%-40%）A B. 60%×40%A
C. （1+40%）60%A D. （1+40%）（1-60%）A
【答案】C
【解析】根据题意列出代数式即可，加价四成即为（1+40%）A，六折即为原价的60%．
解：成本为A元，按成本加价四成作为定价销售即，定价为：（1+40%）A，
而降价后的售价按定价的六折，故降价后的售价为：（1+40%）60%A，
故A、B、D错误，
故选：C．
2．甲数是乙数的4倍少3，则下列说法正确的是（　　）
①设乙数为x,甲数为4x-3
②设甲数为x,乙数为x+3
③设甲数为x,乙数为（x+3）
④设甲数为x,乙数为（x-3）
A. ①③ B. ①② C. ②④ D. ①④
【答案】A
【解析】理清数量关系并用代数式表示出即可．
解：甲数是乙数的4倍少3，
若设乙数为x,甲数为4x-3；若设甲数为x,则乙数的4倍是（x+3），所以乙数为（x+3），
∴①、③正确，
故B、C、D错误，
故选：A．
3．用代数式6x2表示下列数量关系不恰当的是（　　）
A. 6个边长为xcm的正方形面积之和为6x2cm2
B. 底面半径为xcm、高为6cm的圆柱的体积为6x2cm3
C. 棱长为xcm的正方体的表面积为6x2cm2
D. 定价为600元的商品连续两次打x折后的售价为6x2元
【答案】B
4．日历中同一竖列相邻三个数的和不可能是（　　）
A. 35 B. 39 C. 51 D. 60
【答案】A
【解析】设三个数中最小的数为x,则另外两数分别为（x+7），（x+14），将三个数相加可得出日历中同一竖列相邻三个数的和为3的倍数，再对照四个选项即可得出结论．
解：设三个数中最小的数为x,则另外两数分别为（x+7），（x+14），
∴日历中同一竖列相邻三个数的和为x+（x+7）+（x+14）=3x+21=3（x+7），
∴日历中同一竖列相邻三个数的和为3的倍数．
又∵35÷3=11……2，
∴日历中同一竖列相邻三个数的和不可能为35．
故选：A．
5．下列用语言叙述式子：-4表示的数量关系，表述不正确的是（　　）
A. 比x的倒数小4的数 B. 比x的倒数大4的数
C. x的倒数与4的差 D. 1除以x的商与4的差
【答案】B
【解析】根据代数式的表示意义可以分别判断各选列出的代数式
解：A选项表示的是-4；
B选项表示的是+4；
C选项表示的是-4；
D选项表示-4．
故选：B．
6．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑤个图形中五角星的个数为（　　）
A. 32 B. 40 C. 50 D. 68
【答案】C
【解析】根据所给图形，发现五角星个数的变化规律即可解决问题．
解：由题知，
第①个图形中五角星的个数为：2=2×12；
第②个图形中五角星的个数为：8=2×22；
第③个图形中五角星的个数为：18=2×32；
…，
所以第n个图形中五角星的个数为2n2．
当n=5时，
2n2=2×52=50（个）．
即第⑤个图形中五角星的个数为50个．
故选：C．
7．如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（　　）
A. 19个 B. 22个 C. 25个 D. 26个
【答案】A
【解析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．
解：第1个图案有4个三角形，即4=3×1+1，
第2个图案有7个三角形，即7=3×2+1，
第3个图案有10个三角形，即10=3×3+1，
…，
按此规律摆下去，
第n个图案有（3n+1）个三角形．
第6个图案有（3×6+1）=19个三角形．
故选：A．
8．已知汽车油箱内有油50L，每行驶100km耗油10L，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的关系式是（　　）
A. Q=50- B. Q=50+
C. Q=50- D. Q=50+
【答案】C
【解析】根据油箱内余油量=总油量-已用油量，用代数式表示已用油量即可．
解：Q=50-×10
=50-，
故选：C．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10吨，改用喷灌方式后，10吨水可以比原来多用5天，那么喷灌比漫灌平均每天节约用水 _____吨．
【答案】
【解析】漫灌时平均每天的用水量为吨，喷灌平均每天用水量为吨，然后求它们的差即可．
解：喷灌比漫灌平均每天节约用水量为-=（吨）．
故答案为：．
10．结合生活经验对代数式3a+2b作出解释：_____．
【答案】小明去商店购买文具，已知每支圆珠笔a元，每支铅笔b元，小明买了3支圆珠笔，2支铅笔，共花了多少钱？（答案不唯一）
【解析】根据代数式表示的形式，3倍的a与2倍的b的和，由此可解．
解：小明去商店购买文具，已知每支圆珠笔a元，每支铅笔b元，小明买了3支圆珠笔，2支铅笔，共花了多少钱？
11．某网店进行促销，将原价a元的商品以（0.8a-20）元出售，该网店对该商品促销的方法是 _____．
【答案】打八折后再让利20元
【解析】根据实际售价表达式进行求解．
解：∵当商品的原价a元时，（0.8a-20）元出售表示是打八折后再让利20元，
∴该网店对该商品促销的方法是打八折后再让利20元，
故答案为：打八折后再让利20元．
12．观察“田”字中各数之间的关系：
则c的值为_____．
【答案】270或28+14
【解析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可．
解：经过观察每个“田”左上角数字依此是1，3，5，7等奇数，此位置数为15时，恰好是第8个奇数，即此“田”字为第8个．观察每个“田”字左下角数据，可以发现，规律是2，22，23，24等，则第8数为28．观察左下和右上角，每个“田”字的右上角数字依次比左下角大0，2，4，6等，到第8个图多14．则c=28+14=270．
故答案为：270或28+14．
13．如图，用灰、白两种颜色的正三角形瓷砖铺设地面，则第 _____个图案中有55块白色瓷砖．
【答案】9
【解析】根据图形的变化寻找规律即可求解．
解：观察图形的变化可知：
第1个图中白色瓷砖2=3块；
第2个图中白色瓷砖1+2+3=6块；
第3个图中白色瓷砖1+2+3+4=10块；
…
发现规律，
第n个图中白色瓷砖（1+2+3+...n+1）块；
1+2+3+...n+1=55，
解得n=9．
故答案为：9．
三、解答题(共6题，共48分，每小题8分)
14．某校团委组织了有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了50件奖品，其二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少10，各种奖品的单价如下表所示：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价/元 12 10 5
数量/件 x _____ _____
如果计划一等奖奖品买x件，买50件奖品的总价是y元．
（1）先填表，再用含x的代数式表示y并化简；
（2）若一等奖奖品买10件，则共花费多少？
【答案】(1)2x-10;(2)60-3x;
【解析】根据表内信息，一等奖x件，由题意，二等奖是（2x-10）件，三等奖是[50-x-（2x-10）]件，即（60-3x）件，根据二、三等奖件数填表即可．
（1）根据“单价×数量=总价”分别求出买一、二、三等奖的总价，买一、二、三等奖的总价之和就是买50件奖品的总钱数．
（2）根据“单价×数量=总价”，即可求出一等奖奖品买10件，共花费多少元．
解：（1）二等奖是：2x-10（件），
三等奖是：50-x-（2x-10）
=50-x-2x+10
=60-3x（件），
填表如下：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价/元 12 10 5
数量/件 x 2x-10 60-3x
用含有x的代数式表示y是：
y=12x+（2x-10）×10+（60-3x）×5
=12x+20x-100+300-15x
=17x+200；
（2）当x=10时，y=17×10+200=370（元）．
答：若一等奖奖品买10件，共花费370元．
故答案为：2x-10；60-3x.
15．指出下列各代数式的意义：
（1）a2+2；
（2）a（b+1）-1．
【解析】（1）先 描述a的平方，再描述与2的和；
（2）先描述a与b加1的和的积，再描述与1的差．
解：（1）a2+2表示a的平方与2的和；
（2）a（b+1）-1表示a与b加1的和的积减去1的差．
16．将下列代数式用文字语言表示：
（1）（a+b）2；
（2）a2+b2．
你能说出这两个式子有什么不同吗？
【解析】（1）根据代数式的运算顺序描述其意义即可；
（2）根据代数式的运算顺序描述其意义即可．
解：（1）（a+b）2表示a与b的和的平方；
（2）a2+b2表示a、b的平方和．
第一个式子先算和，再算乘方，第二个式子先算乘方，再算和．
17．2020年12月17日，惠州市下发通知，2021年1月1日起，调整惠城区出租车收费标准，调整后的新收费标准如下表所示，根据此最新收费标准，解决下列相关问题：
行驶路程 收费标准（新）
不超出2km的部分 起步价：8元
超出2km的部分 2.6元/km
（1）若行驶路程为5km,则应付打车费用为 _____元；
（2）若行驶路程为x km（x＞6），则打车费用为 _____元（用含x的代数式表示）；
（3）2021年1月22日，某校一同学放学回家，已知打车费用为34元，则他家离学校多远？
【答案】(1)15.8;(2)（2.6x+2.8）;
【解析】（1）根据打车费=起步价+2.6×（路程-2），即可求出结论；
（2）根据打车费=起步价+2.6×（路程-2），即可用含x的代数式表示出结论；
（3）设他家离学校x千米，结合（2）即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）8+2.6×（5-2）=15.8（元）．
故答案为：15.8；
（2）打车费用为8+2.6（x-2）=（2.6x+2.8）（元）．
故答案为：（2.6x+2.8）；
（3）设他家离学校x千米，
依题意，得：2.6x+2.8=34，
解得：x=12．
答：他家离学校12千米．
18．A，B两仓库分别有大米20吨和30吨，C，D两超市分别需要大米15吨和35吨．已知从A，B两仓库到C，D两超市的运价如表：
到C超市 到D超市
A仓库 每吨150元 每吨120元
B仓库 每吨100元 每吨90元
设从A仓库运往C超市的大米是x吨．
（1）请分别求出从A，B两仓库运往C，D两超市大米的运输重量．（用含x的代数式表示）
（2）若x=8，请分别求出从A，B两仓库运往C，D两超市大米的运输费用．
【解析】（1）A仓库原有的20吨去掉运到C超市的大米，就是运到D超市的大米；B仓库运到C超市的大米吨数就是C超市需要的大米减去从A仓库运到C超市的大米，最后即可求得B仓库运到D超市的大米吨数；
（2）将x=8代入从A，B两仓库运往C，D两超市大米的运输重量，再乘每吨的运费即可．
解：（1）从A仓库运往C超市大米的运输重量为x吨，
从A仓库运往D超市大米的运输重量为（20-x）吨，
从B仓库运往C超市大米的运输重量为（15-x）吨，
从B仓库运往D超市大米的运输重量为（15+x）吨．
（2）从A仓库运往C超市大米的运输费用为150x=15×8=1200（元），
从A仓库运往D超市大米的运输费用为120（20-x）=120×（20-8）=1440（元），
从B仓库运往C超市大米的运输费用为100（15-x）=100×（15-8）=700（元），
从B仓库运往D超市大米的运输费用为90（15+x）=90×（15+8）=2070（元）．
19．某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）图6中盆景数量为 _____，盆花数量为 _____；
（2）已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；
（3）若有n（n为偶数，且n≥2）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为 _____．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)12;(2)42;(3);
【解析】（1）根据题意可得第n个图盆景有：2n,盆花有n（n+1），从而可求解；
（2）根据（1）中的规律进行求解即可；
（3）根据（1）中的分析进行求解即可．
解：（1）∵图1中盆景数量为2=2×1，盆花数量为2=1×2；
图2中盆景数量为4=2×2，盆花数量为6=2×3；
图3中盆景数量为6=2×3，盆花数量为12=3×4，
…
∴图n中盆景有：2n,盆花有n（n+1），
当n=6时，2×6=12，6×（6+1）=42，
故答案为：12，42；
（2）由题意得：2n+n（n+1）=130，
解得：n=10，n=-13（不合题意），
故盆景有：2×10=20（盆），10×（10+1）=110（盆）；
（3）由（1）得：当有n盆盆景时，则属于第个图，
需要盆花为：．
故答案为：．
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