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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第4章 整式的加减
4.1 整式 2
学习目标：
1.理解多项式、整式的概念.(类比思想)
2.会确定一个多项式的项数和次数.
重点：理解多项式、整式的概念；会确定一个多项式的项数和次数.
难点：准确确定多项式的次数和项，并且掌握单项式和多项式次数之间的联系
老师告诉你
多项式是几个单项式的和，单项式和多项式都是整式。
区分多项式的次数与单项式的次数，不能误认为多项式的次数是各个单项式的次数之和。
知识点拨
知识点1 多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项
【新知导学】
例1．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦.多项式的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【对应导练】
1．下列式子中不是多项式的是( )
A. B. C. D.
2．对于式子:,下列说法正确的是( )
A.有5个单项式,1个多项式
B.有3个单项式,2个多项式
C.有4个单项式,2个多项式
D.有7个整式
3．下列式子：，，，4，，，，其中是多项式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4．有下列式子：，，，，，.其中多项式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5．答案：A
解析：多项式有、，
单项式有
，，既不是单项式，也不是多项式，故选A
知识点2 多项式的项和次数
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
【新知导学】
例2．a是多项式的次数，b是这个多项式的常数项，c是的系数，求的值.
【对应导练】
1．已知多项式4x2m+2-5x2y2-31x5y.
(1)求多项式中各项的系数和次数.
(2)若该多项式是八次三项式，求m的值.
2．已知多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，则___________.
3．在多项式中,次数最高项的系数是________.
4．单项式的系数是____________ ，多项式的次数是___________.
5．若单项式的系数是m，多项式的次数是n，则 .
知识点3 整式
1. 定义：单项式与多项式统称为整式；
2. 单项式、多项式和整式的联系
（1）多项式的依赖于其中各单项式的次数；
（2）各单项式的最高次数决定整个多项式的次数；
（3）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应全部写出；
（4）所有单项式和多项式都是整式，如果一个式子既不是单项式是，也不是多项式，那么它一定不是整式。
【新知导学】
例3 .代数式x2+2，，，，5，，﹣x中，整式的个数是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【对应导练】
1．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
，，，x，，，.
2．下列结论中正确的是( )
A.单项式的系数是,次数是4
B.单项式m的次数是1,没有系数
C.多项式是二次多项式
D.在,,,,0中,整式有4个
3．下列说法错误的是( )
A.整式包括单项式和多项式 B.单项式的系数是
C.多项式的次数是四次 D.2与x都是单项式
4 .观察下列各式：，，，，．回答下列问题：
(1)单项式分别为：______________________________；
(2)多项式分别为：_________________________________；
(3)整式有___________个；
(4)的系数为__________；
(5)次数最高的多项式为__________________．
题型训练
1.多项式，整式概念
1．把下列式子分别填入下表的适当位置:
整式 单项式
多项式
非整式
2．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
，，，x，，，.
3．把下列各式填在相应的大括号里：
，，.
单项式：{___________}；
多项式：{___________}；
整式：{___________}.
.
4．指出下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式.
.
.
多项式的项，次数
5．回答下列问题：
（1）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与多项式的次数相同，求m，a的值；
（2）已知多项式不含和项，试写出这个多项式，再求当时多项式的值.
6．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值.
.
7．对于多项式，分别回答下列问题：
(1)是几项式；
(2)写出它的各项；
(3)写出它的最高次项；
(4)写出最高次项的次数；
(5)写出多项式的次数；
(6)写出常数项.
8．下列说法正确的是( )
A.的项是，x，5
B.与都是多项式
C.多项式的次数是3
D.一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5
课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列说法正确的是( )
A.单项式的系数为-2 B.多项式的次数为3
C.单项式的次数为7 D.是整式
2．下列说法正确的是( )
A.是整式
B.单项式的系数是2，次数是10
C.多项式的常数项是，二次项系数是
D.多项式的次数是13
3．下列说法中，错误的是( )
A.单项式与多项式统称为整式 B. 多项式的次数为2
C.是二次二项式 D. 单项式的系数是1
4．下列说法中正确的是( )
A.单项式的次数和系数都是0
B.-2016是整式
C.的系数是
D.多项式是五次三项式
5．下列说法正确的有( )个.
①单项式x的系数和次数都是0；
②的次数是11；
③多项式是由1，，三项组成；
④在，，，0中整式有2个；
⑤的系数是.
A.1 B.2 C.3 D.4
6．下列说法错误的是( )
A.代数式，，都是整式 B.单项式的系数是，次数是2
C.多项式的项是， D.多项式是二次三项式
7．下列说法中，正确的是( )
A.不是整式 B.的系数是-3，次数是3
C.3是单项式 D.多项式是五次二项式
8．下列说法中，正确的是( )
A.m不是整式 B.的系数是3，次数是3
C.3是单项式 D.多项式是五次二项式
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．多项式中次数最高项的次数和系数分别为和.
10．在多项式中，次数最高的项的系数是__________.
11．多项式的次数最高项的系数是_______，常数项是________.
12．已知多项式-m3n2-2中,含字母的项的系数为a,多项式的次数为b,常数项为c,则a+b+c=__________
13．如果一个整式具备以下三个条件：①它是一个关于字母x的二次三项式；②各项系数的和等于10；③它的二次项系数和常数项都比-2小1.请写出满足这些条件的一个整式：__________.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（12分）用整式表示下列问题,并指出单项式的系数和次数,以及多项式的项和次数.
（1）.连续三个奇数,中间一个是,写出第一个与第三个奇数;
（2）.写出底面半径为,高为的圆锥的体积;
（3）.某市出租车收费标准:起步价元,千米后每千米加价元.写出某人乘坐出租车千米()的费用;
（4）.某商场实行折优惠销售,写出售价为元的商品的原价.
15．（6分）若关于x，y的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求m，n的值.
16．（6分）a是多项式的次数，b是这个多项式的常数项，c是的系数，求的值.
.
17．（8分）已知多项式与单项式的次数相同,求整式的值.
18．（7分）已知关于x、y的多项式的次数为4，这个多项式有三个项，其中三次项系数为.分别求出m、n、的值.
19．（9分）把下列各式分别填在相应的大括号里：4，，，，，，，.
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}.
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第4章 整式的加减
4.1 整式 2
1.理解多项式、整式的概念.(类比思想)
2.会确定一个多项式的项数和次数.
重点：理解多项式、整式的概念；会确定一个多项式的项数和次数.
难点：准确确定多项式的次数和项，并且掌握单项式和多项式次数之间的联系
老师告诉你
多项式是几个单项式的和，单项式和多项式都是整式。
区分多项式的次数与单项式的次数，不能误认为多项式的次数是各个单项式的次数之和。
知识点拨
知识点1 多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项
【新知导学】
例1．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦.多项式的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
解析：多项式有：、共2个
故选：B.
点拨：几个单项式的和叫做多项式，理解多项式的概念是解题关键。
【对应导练】
1．下列式子中不是多项式的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：根据多项式的定义可知不是多项式,故选C.
点拨：几个单项式的和叫做多项式，理解多项式的概念是解题关键。
2．对于式子:,下列说法正确的是( )
A.有5个单项式,1个多项式
B.有3个单项式,2个多项式
C.有4个单项式,2个多项式
D.有7个整式
答案：C
解析：有4个单项式:;2个多项式:.故选 C.
点拨：多项式是数字与字母的积，或单独的数字或字母，几个单项式的和叫做多项式，理解单项式、多项式的概念是解题关键。
3．下列式子：，，，4，，，，其中是多项式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：A
解析：根据多项式的定义，可知，是多项式，共有2个.故选A.
点拨：几个单项式的和叫做多项式，理解多项式的概念是解题关键。
4．有下列式子：，，，，，.其中多项式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5．答案：A
解析：多项式有、，
单项式有
，，既不是单项式，也不是多项式，故选A
点拨：几个单项式的和叫做多项式，理解多项式的概念是解题关键。
知识点2 多项式的项和次数
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
【新知导学】
例2．a是多项式的次数，b是这个多项式的常数项，c是的系数，求的值.
答案：48
解析：因为a是多项式的次数，b是这个多项式的常数项，
所以，.
因为c是的系数，
所以.
所以.
点拨：多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
【对应导练】
1．已知多项式4x2m+2-5x2y2-31x5y.
(1)求多项式中各项的系数和次数.
(2)若该多项式是八次三项式，求m的值.
答案：(1)的系数是4，次数是2m+2；的系数是，次数是4；的系数是，次数是6.
(2)由(1)得，解得.
点拨：多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
多项式的各项系数是各项前面的数字因数。
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
2．已知多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，则___________.
答案：-2
解析：多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，，，，.
点拨：多项式的各项系数是各项前面的数字因数。
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
不含字母的项叫做常数项．
3．在多项式中,次数最高项的系数是________.
答案：
解析：∵在多项式中,次数最高的项是,其系数为,
∴多项式最高次项的系数为.
点拨：多项式的各项系数是各项前面的数字因数。
4．单项式的系数是____________ ，多项式的次数是___________.
答案：；6
点拨：多项式的各项系数是各项前面的数字因数。
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
5．若单项式的系数是m，多项式的次数是n，则 .
答案：
解析：因为单项式的系数是，多项式的次数是5，所以，则，
知识点3 整式
1. 定义：单项式与多项式统称为整式；
2. 单项式、多项式和整式的联系
（1）多项式的依赖于其中各单项式的次数；
（2）各单项式的最高次数决定整个多项式的次数；
（3）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应全部写出；
（4）所有单项式和多项式都是整式，如果一个式子既不是单项式是，也不是多项式，那么它一定不是整式。
【新知导学】
例3 .代数式x2+2，，，，5，，﹣x中，整式的个数是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根据整式的定义（整式包括单项式和多项式，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．由几个单项式的和组成的代数式）即可得．
【解析】解：整式有x2+2，，5，，﹣x，共5个．
故选：C．
【点评】本题考查了整式，熟记整式的定义是解题关键．
【对应导练】
1．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
，，，x，，，.
答案：见解析
解析：通过列表作答如下：
单项式 x
系数 1 32
次数 3 6 1 3
多项式
项 ，， ，，，， ，
次数 2 4 1
2．下列结论中正确的是( )
A.单项式的系数是,次数是4
B.单项式m的次数是1,没有系数
C.多项式是二次多项式
D.在,,,,0中,整式有4个
答案：D
解析:A.单项式的系数是,次数是3,故A不符合题意.
B.单项式m的次数是1,系数为1,故B不符合题意.
C.多项式是三次多项式,故C不符合题意.
D.在,,,,0中,整式有4个,故D符合题意.
故选:D.
3．下列说法错误的是( )
A.整式包括单项式和多项式 B.单项式的系数是
C.多项式的次数是四次 D.2与x都是单项式
答案：C
解析：A、整式包括单项式和多项式，故本选项不符合；
B、单项式的系数是，故本选项不符合；
C、多项式的次数是五次，故本选项符合；
D、2与x都是单项式，故本选项不符合；
故选C.
4 .观察下列各式：，，，，．回答下列问题：
(1)单项式分别为：______________________________；
(2)多项式分别为：_________________________________；
(3)整式有___________个；
(4)的系数为__________；
(5)次数最高的多项式为__________________．
【答案】(1)，
(2)，
(3)4
(4)
(5)
【分析】根据单项式的定义即可得出（1），根据多项式的定义即可得出（2），根据整式的定义即可得出（3），根据间项式的系数的定义即可得出（4），根据多项式的次数的定义即可得出（5）．
【详解】（1）解：单项式有，；
故答案为：，；
（2）多项式有，；
故答案为：，；
（3）整式有，，，共4个；
故答案为：4；
（4）的系数为；
故答案为：；
（5）次数最高的多项式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，多项式的项和次数等知识点，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式，多项式中次数最高的项的次数，叫这个多项式的次数．
题型训练
1.多项式，整式概念
1．把下列式子分别填入下表的适当位置:
整式 单项式
多项式
非整式
答案：
整式 单项式
多项式
非整式
2．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
，，，x，，，.
答案：见解析
解析：通过列表作答如下：
单项式 x
系数 1 32
次数 3 6 1 3
多项式
项 ，， ，，，， ，
次数 2 4 1
3．把下列各式填在相应的大括号里：
，，.
单项式：{___________}；
多项式：{___________}；
整式：{___________}.
答案：；；
解析：单项式：；
多项式：；
整式：.
4．指出下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式.
.
答案：【解】单项式有.
多项式有.
整式有.
多项式的项，次数
5．回答下列问题：
（1）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与多项式的次数相同，求m，a的值；
（2）已知多项式不含和项，试写出这个多项式，再求当时多项式的值.
答案：解：（1）由题意得，，解得，；
（2）因为多项式不含和项，
所以，，
解得，，
即多项式为，
当时，原式.
6．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值.
答案：【解】因为多项式是六次四项式，所以.
又因为单项式的次数与这个多项式的次数相同，
所以，则，解得.
所以.
7．对于多项式，分别回答下列问题：
(1)是几项式；
(2)写出它的各项；
(3)写出它的最高次项；
(4)写出最高次项的次数；
(5)写出多项式的次数；
(6)写出常数项.
答案：(1)四项式
(2)，，，
(3)
(4)5次
(5)5次
(6)-1.3
解析：(1)是四项式；
(2)的各项分别为，，，；
(3)的最高次项为；
(4)多项式的最高此项的次数为5次；
(5)多项式的次数为5次；
(6)多项式的常数项为-1.3.
8．下列说法正确的是( )
A.的项是，x，5
B.与都是多项式
C.多项式的次数是3
D.一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5
答案：B
解析：A：的项是，，5，故A错误；
B：与都是由几个单项式的和组成，都是多项式，故B正确；
C：多项式的次数是2，故C错误；
D：若一个多项式的次数是5，则这个多项式中每一项的次数都可以是5，故D错误；
故选：B.
课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列说法正确的是( )
A.单项式的系数为-2 B.多项式的次数为3
C.单项式的次数为7 D.是整式
答案：B
解析：A单项式系数是-2п，错误
B中单项式次数3，正确
C中单项式次数是4，错误
D不是整式
故选B
2．下列说法正确的是( )
A.是整式
B.单项式的系数是2，次数是10
C.多项式的常数项是，二次项系数是
D.多项式的次数是13
答案：C
解析：A不是整式
B系数是28，次数是2
C常数项 ，二次项系数是
D多项式次数是4，故选C
3．下列说法中，错误的是( )
A.单项式与多项式统称为整式 B. 多项式的次数为2
C.是二次二项式 D. 单项式的系数是1
答案：B
解析：A.、单项式与多项式统称为整式，正确，不符合题意；
B、多项式的次数为1，错误，符合题意；
C、是二次二项式，正确，不符合题意；
D、单项式的系数是1，正确，不符合题意；
故选：B.
4．下列说法中正确的是( )
A.单项式的次数和系数都是0
B.-2016是整式
C.的系数是
D.多项式是五次三项式
答案：B
解析：A.单项式的次数和系数分别为：1和-1，故A错误；
B.整式包括单项式与多项式，故-2016是整式，故B正确；
C.系数为，故C错误；
D.多项式是五次三项式，故D错误.
故选B.
5．下列说法正确的有( )个.
①单项式x的系数和次数都是0；
②的次数是11；
③多项式是由1，，三项组成；
④在，，，0中整式有2个；
⑤的系数是.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
解析：①单项式x的系数和次数都是1，原说法错误；
②的次数是4，原说法错误；
③多项式是由1，，三项组成，原说法正确；
④在，，，中整式有3个，原说法错误；
⑤的系数是，原说法错误.
说法正确的有1个.
故选：A.
6．下列说法错误的是( )
A.代数式，，都是整式 B.单项式的系数是，次数是2
C.多项式的项是， D.多项式是二次三项式
答案：D
解析：A.是多项式，是单项式，是单项式，都是整式，故A选项正确，不符合题意；
B.单项式的系数是，次数是2，故B选项正确，不符合题意；
C.多项式的项是，，故C选项正确，不符合题意；
D.多项式是三次三项式，故D选项错误，符合题意.
故选：D
7．下列说法中，正确的是( )
A.不是整式 B.的系数是-3，次数是3
C.3是单项式 D.多项式是五次二项式
答案：C
解析：A、是整式，故此选项错误；
B、的系数是，次数是3，故此选项错误；
C、3是单项式，故此选项正确；
D、多项式是三次二项式，故此选项错误，
故选：C.
8．下列说法中，正确的是( )
A.m不是整式 B.的系数是3，次数是3
C.3是单项式 D.多项式是五次二项式
答案：C
解析：A、m是整式；
B、的系数是-3，次数是3；
C、3是单项式，正确；
D、多项式是三次二项式；
故选：C.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．多项式中次数最高项的次数和系数分别为和.
答案：4；-3
解析： 多项式中最高项是-3xy3的次数是4系数是-3。
故答案：4；-3
10．在多项式中，次数最高的项的系数是__________.
答案：
解析：多项式中次数最高项是-пxy3,系数是
故答案：
11．多项式的次数最高项的系数是_______，常数项是________.
答案：，
解析：多项式的次数最高项的系数是，常数项是，
故答案为：，.
12．已知多项式-m3n2-2中,含字母的项的系数为a,多项式的次数为b,常数项为c,则a+b+c=__________
答案：2
解析：
∵多项式-m3n2-2中,含字母的项的系数为a,多项式的次数为b,常数项为c,
∴a=-1,b=5,c=-2,
∴a+b+c=-1+5-2=2,
故答案为:2
分析:
首先利用多项式的系数、次数及常数项确定a、b、c的值,然后求和即可;
13．如果一个整式具备以下三个条件：①它是一个关于字母x的二次三项式；②各项系数的和等于10；③它的二次项系数和常数项都比-2小1.请写出满足这些条件的一个整式：__________.
答案：
解析：满足这些条件的整式为.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（12分）用整式表示下列问题,并指出单项式的系数和次数,以及多项式的项和次数.
（1）.连续三个奇数,中间一个是,写出第一个与第三个奇数;
（2）.写出底面半径为,高为的圆锥的体积;
（3）.某市出租车收费标准:起步价元,千米后每千米加价元.写出某人乘坐出租车千米()的费用;
（4）.某商场实行折优惠销售,写出售价为元的商品的原价.
答案：（1）.三个连续奇数,中间一个为,则较小者比小,所以为,它的项是和,次数是.较大者比大,所以为,它的项是和,次数是.
（2）.圆锥的体积为,它的系数是,次数是.
（3）.由题意知,付费为,它的项是和,次数是.
（4）.原价为,它的系数是,次数是.
15．（6分）若关于x，y的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求m，n的值.
答案：，
解析：易知多项式中次数最高的项一定是，
对于多项式，
若，则次数最高的项为，
因为，所以多项式中次数最高的项为，
所以，，
所以，.
16．（6分）a是多项式的次数，b是这个多项式的常数项，c是的系数，求的值.
答案：48
解析：因为a是多项式的次数，b是这个多项式的常数项，
所以，.
因为c是的系数，
所以.
所以.
17．（8分）已知多项式与单项式的次数相同,求整式的值.
答案：因为单项式的次数是,所以多项式的次数是.
又因为多项式的项的次数为,项的次数为,项的次数为,
所以项的次数为,
所以,解得.
所以.
即整式的值为.
解析：由单项式的次数为,可在多项式中得到关于的方程,解方程即可求出,进而求得的值.
18．（7分）已知关于x、y的多项式的次数为4，这个多项式有三个项，其中三次项系数为.分别求出m、n、的值.
答案：，，
解析：由题意可知：，，，
，.
19．（9分）把下列各式分别填在相应的大括号里：4，，，，，，，.
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}.
答案：单项式：{4，，…}.
多项式：{，，，，…}.
整式：{4，，，，，，…}.
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