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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第4章 整式的加减 小结与复习
一、知识梳理
二、知识点解析
（一）整式的相关概念
1 .单项式的概念
单项式：数或字母的积
注：①分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式
②“或” 单独的一个数字或单独一个字母也称为单项式
例：5x；100；x；10ab等
系数：单项式中的数字叫做单项式的系数
单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和
2 .多项式的有关概念
多项式：几个单项式的和 注：和，即减单项式，实际是加该单项式的负数
项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式
常数项：不含字母的项
多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式
3 .整式的概念
整式：单项式与多项式统称为整式。
提示：①多项式是由多个单项式构成的；
②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
（二）整式的加减运算
1.同类项的概念
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项
2.合并同类项
同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。
3.去括号法则
（1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变
（2）括号前是“-”，去括号后，括号内的符号全部要变号。
（3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数
4.整式的加减
整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：
①将同类项找出，并置与一起；
②合并同类项。
三、题型训练与方法点拨
题型1. 单项式的系数、次数及系数次数形成的规律题
例1．观察下列关于的单项式：，，，，
(1)直接写出第个单项式：___________；
(2)第个单项式的系数和次数分别是多少？
(3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？
针对训练1
1．单项式的系数是 ，次数是 ．
2．【观察与发现】
，，，，，，，
(1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ；
(2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
3．已知是关于x，y的七次单项式，求的值．
题型2. 多项式的项、次数、升（降）幂排列
例2-1．如果是关于x、y的三次二项式，则 ．
例2-2．已知关于x、y的整式中不含三次项，求a、b的值，并将整式按y的升幂排列．
针对训练2
1．多项式中次数最高的项是 ．
2．若多项式是四次三项式，则 ．
3．整式按x的降幂排列为 ．
4．把多项式按字母y升幂排列后，第三项是 ．
题型3. 整式的概念、数字、图形规律
例3-1．下列代数式中，整式共有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3-2．下图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中一部分小正方形被涂黑，依此规律，第2023个图案中被涂黑的小正方形个数为（ ）
A．10100 B．10097 C．8080 D．8093
针对训练3
1．下列叙述正确的是（ ）
A．是整式 B．是二次四项式
C．的各项系数都是 D．的常数项是
2．下列说法中错误的是（ ）
A．单项式是整式 B．是三次三项式
C．多项式的常数项是 D．多项式的常数项是
3．观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…．
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…．
（1）第2行数中第n个数是 ；（用含n的代数式表示）
（2）探索以上两行数发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，则第m个相同的数是 （用含m的代数式表示）．
4．如图是一组有规律的图案，第个图案山个▲组成，第个图案山个▲组成，第个图案由个▲组成，第个图案由个▲组成，第个图案由 个▲组成，…第个图案由 个▲组成．
题型4. 同类项及合并同类项
例4-1．下列各组单项式中，不是同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
例4-2．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（ ）
A．22024 B．0 C．1 D．
针对训练4
1．若单项式 与 的差仍是单项式，则m的值为 ．
2．若单项式与的和是单项式，则 ．
3．已知单项式与单项式是同类项，c是多项式的次数．
(1) ， ， ；
(2)若关于x的二次三项式的值是3，求代数式的值．
4．合并同类项：
(1)．
(2)．
题型5. 去括号与添括号
例5-1．下列去括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
例5-2．下列添括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
针对训练5
1．下列去括号中正确的（　　）
A． B．
C． D．
2．按要求把多项式添上括号．
(1)把后三项括到前面带有“-”号的括号里；
(2)把四次项括到前面带有“+”号的括号里，把二次项括到前面带有“-”号的括号里．
3．去括号：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型6. 整式的加减
例6．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
针对训练6
1．化简：
(1)
(2)
2．已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）．
(1)化简；
(2)若的结果不含x项和项，求的值．
3．已知两个整式A和B，，．
(1)请化简；
(2)若，，则的值为多少？
4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)a 0， 0， 0， 0；
(2)化简．
5．小亮准备完成题目“化简：”时，发现系数“▲”印刷不清楚．
(1)小亮猜“▲”是3，请你化简：．
(2)小亮的老师说：“你猜错了，我看到这道题标准答案的化简结果是一个固定的数．”那么原题中的“▲”是几？
题型7 整式的化简求值
例7．已知，．
(1)求；
(2)若，求的值．
针对训练7
1．若关于的多项式化简后不含项，则
2．先化简后求值：，其中．
3．下面是小乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
…第一步
…第二步
．…第三步
任务1：填空：
①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是______；
②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，具体错误是______；
任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当，时该整式的值．
4．先化简，再求值：，其中．
5．已知多项式，．
(1)求的值；
(2)若的值与的取值无关，求的值．
题型8. 整式的加减的应用
例8．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．
(1)由图可知，每个小长方形较长的一边长是 （用含的式子表示），阴影部分的较短的边长是 （用含、的式子表示）
(2)当时，求图中两块阴影，的周长和．
针对训练8
1．如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）．
(1)用整式表示花圃的面积；
(2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用．
2．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
低于200元 不予优惠
低于元但不低于200元 九折优惠
元或超过元 其中不超过元部分给予九折优惠，超过元部分给予八折优惠
(1)若王老师一次性购物400元，则他实际付款______元；若一次性购物元，则他实际付款______元．
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于元但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于时，他实际付款______（用含x的式子表示）
(3)如果王老师两次购物的货款合计元，第一次购物的货款为a元（），用含a的代数式表示王老师两次购物实际付款的钱数．
3．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（）．
(1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示）
(2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？
(3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
4．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：
每月用水量 单价
不超出的部分 2元
超出不超出的部分 4元
超出的部分 8元
例如：若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）．
(1)若该户居民2月份用水，则应收水费 　　元．
(2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的整式表示，并化简）
(3)若该户居民4月份用水，4、5两个月共用水，且5月份用水超过4月份，请用含x的整式表示4、5两个月共交的水费多少元？
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第4章 整式的加减 小结与复习
一、知识梳理
二、知识点解析
（一）整式的相关概念
1 .单项式的概念
单项式：数或字母的积
注：①分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式
②“或” 单独的一个数字或单独一个字母也称为单项式
例：5x；100；x；10ab等
系数：单项式中的数字叫做单项式的系数
单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和
2 .多项式的有关概念
多项式：几个单项式的和 注：和，即减单项式，实际是加该单项式的负数
项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式
常数项：不含字母的项
多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式
3 .整式的概念
整式：单项式与多项式统称为整式。
提示：①多项式是由多个单项式构成的；
②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
（二）整式的加减运算
1.同类项的概念
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项
2.合并同类项
同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。
3.去括号法则
（1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变
（2）括号前是“-”，去括号后，括号内的符号全部要变号。
（3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数
4.整式的加减
整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：
①将同类项找出，并置与一起；
②合并同类项。
三、题型训练与方法点拨
题型1. 单项式的系数、次数及系数次数形成的规律题
例1．观察下列关于的单项式：，，，，
(1)直接写出第个单项式：___________；
(2)第个单项式的系数和次数分别是多少？
(3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？
【答案】(1)
(2)系数是，次数是
(3)
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键．
（1）根据所给的式子，直接写出即可；
（2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解；
（3）由题意可得，求出，再由（2）的规律求解即可．
【详解】（1）解：第5个单项式为，
故答案为：；
（2）解：，，，，
第个单项式为，
第20个单项式为，
第20个单项式的系数是，次数是41；
（3）解：系数的绝对值为2025，
∴
，
次数为．
针对训练1
1．单项式的系数是 ，次数是 ．
【答案】 3
【分析】此题主要考查了单项式，直接利用单项式的次数与系数的概念分析得出即可，正确把握相关定义是解题关键．
【详解】解：单项式的系数是，次数是3，
故答案为：，3．
2．【观察与发现】
，，，，，，，
(1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ；
(2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【答案】(1)，
(2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为：
【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键．
（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解；
（2）根据题意可得出通用规律，即可求解．
【详解】（1）由题意可知：
单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，，
x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，，
故第7个单项式是：，
第8个单项式是：．
故答案为：，；
（2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：．
3．已知是关于x，y的七次单项式，求的值．
【答案】5或29
【分析】此题主要考查了单项式，直接利用单项式的系数和次数得出关于m的方程，得出m的值代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵是关于，的七次单项式，
∴且，
解得：，
当时，；
当时，；
∴的值是5或29．
题型2. 多项式的项、次数、升（降）幂排列
例2-1．如果是关于x、y的三次二项式，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据多项式的定义可得：，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵是关于x、y的三次二项式，
∴，
解得：，
故答案为：5．
例2-2．已知关于x、y的整式中不含三次项，求a、b的值，并将整式按y的升幂排列．
【答案】，，
【分析】本题考查多项式的项的定义，升幂排列的定义，排列多项式各项时，要保持其原有的符号．根据多项式的定义，升幂排列的定义，解答即可．
【详解】解：原式
，
∵原式不含三次项，
∴，，
∴，，
∴原式
针对训练2
1．多项式中次数最高的项是 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式和多项式次数的概念，根据单项式和多项式次数的定义，求得每个项的次数，进而即可求解，解题的关键是掌握单项式和多项式次数的概念，单项式次数为所有字母的指数和，多项式的次数是次数最高项的单项式的次数．
【详解】解：多项式每项的次数分别为，，，
∴次数最高的项为，
故答案为：．
2．若多项式是四次三项式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式的定义，根据多项式是四次三项式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多项式的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值．
【详解】解：∵多项式是四次三项式，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
3．整式按x的降幂排列为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式降幂排列的定义．按字母的指数从大到小排列即可．
【详解】解：整式按x的降幂排列为，
故答案为：．
4．把多项式按字母y升幂排列后，第三项是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查多项式，，把中各项字母y的指数从小到大顺序的排列，即可得解．
【详解】解：多项式按字母y升幂排列后为 ，
故第三项是，
故答案为：．
题型3. 整式的概念、数字、图形规律
例3-1．下列代数式中，整式共有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查整式的概念，熟记整式的概念，区分整式和分式是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，整式和分式区别在于分母中是否有字母，逐一判断即可．
【详解】解：①是多项式，所以①也是整式；
②是多项式，所以②也是整式；
③是单项式，即③也是整式；
④中分母中有字母，是分式，所以④不是整式；
所以整式有3个．
故选C．
例3-2．下图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中一部分小正方形被涂黑，依此规律，第2023个图案中被涂黑的小正方形个数为（ ）
A．10100 B．10097 C．8080 D．8093
【答案】D
【分析】本题是对图形变化规律的探究．观察不难发现，第一个图案是大正方形内涂有阴影的正方形有5个，第二个图案是两个这样的打正方形，但需减去重合的一个涂有阴影的小正方形，依次观察可以写出第个图案的涂有阴影的小正方形的个数，据此可得答案．
【详解】解：由图可得，
第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，
第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
，
第个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
当时，，
即第2023个图案中有8093个涂有阴影的小正方形，
故选：D．
针对训练3
1．下列叙述正确的是（ ）
A．是整式 B．是二次四项式
C．的各项系数都是 D．的常数项是
【答案】D
【分析】本题考查了单项式与多项式的基本概念，在单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；在多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数；掌握单项式与多项式的基本概念是解题的关键．根据单项式与多项式的基本概念进行判断即可．
【详解】解：A、不是整式，原说法错误，不符合题意；
B、是三次四项式，原说法错误，不符合题意；
C、，各项系数分别为和，原说法错误，不符合题意；
D、的常数项是，
故选：D．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．单项式是整式 B．是三次三项式
C．多项式的常数项是 D．多项式的常数项是
【答案】C
【分析】根据整式的基本概念，解答即可．
本题考查了整式的基本概念，正确理解单项式，多项式的基本概念是解题的关键．
【详解】解：A. 单项式是整式，正确，不符合题意；
B. 是三次三项式，正确，不符合题意；
C. 多项式的常数项是，错误，符合题意；
D. 多项式的常数项是，正确，不符合题意；
故选C．
3．观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…．
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…．
（1）第2行数中第n个数是 ；（用含n的代数式表示）
（2）探索以上两行数发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，则第m个相同的数是 （用含m的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出每行数的规律是解题的关键．
（1）后一个数比前一个数多3，由此可得第个数是；
（2）通过观察发现，第个相同的数是，即可．
【详解】解：（1），4，7，10，13，16，19，22，25，，
第个数是，
故答案为：；
（2）第1个相同的数是，
第2个相同的数是，
第3个相同的数是，
第个相同的数是，
故答案为：．
4．如图是一组有规律的图案，第个图案山个▲组成，第个图案山个▲组成，第个图案由个▲组成，第个图案由个▲组成，第个图案由 个▲组成，…第个图案由 个▲组成．
【答案】
【分析】此题考查规律型：图形的变化类，解题关键在于找到规律，仔细观察图形结合每个图案的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律利用发现的规律求解即可．
【详解】解：观察发现：
第个图案由个▲组成；
第个图案由个▲组成；
第个图案由个▲组成；
第个图案由个▲组成；
∴第个图案由个▲组成；
……
∴第个图案有个▲组成；
当时，，
故答案为：，．
题型4. 同类项及合并同类项
例4-1．下列各组单项式中，不是同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类项．根据同类项的定义进行求解即可：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项．
【详解】解：A、与是同类项，本选项不符合题意；
B、与是同类项，本选项不符合题意；
C、与所含的字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项，本选项符合题意；
D、与是同类项，本选项不符合题意；
故选：C．
例4-2．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（ ）
A．22024 B．0 C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查同类项的定义．由题意推出与是同类项，再根据同类项的定义“所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同”列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得：与是同类项，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
针对训练4
1．若单项式 与 的差仍是单项式，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了合并同类项和单项式，根据如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．得出，即可求解．
【详解】解：∵单项式 与 的差仍是单项式，
∴， 解得，
故答案为：3．
2．若单项式与的和是单项式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键．
【详解】解：∵单项式与的和是单项式，
∴单项式与是同类项，
∴，
∴，
故答案为：．
3．已知单项式与单项式是同类项，c是多项式的次数．
(1) ， ， ；
(2)若关于x的二次三项式的值是3，求代数式的值．
【答案】(1)1，3，2
(2)2022
【分析】此题考查同类项的定义，多项式的次数的定义，已知代数式的值求整式的值，根据同类项的定义，多项式的次数的定义列式计算是解题的关键；
（1）根据同类项的定义可得，根据多项式的次数的定义可得，即可求出a，b，c的值；
（2）先求出，再整体代入变形后的代数式即可．
【详解】（1）解：单项式与单项式是同类项，
，
解得，
c是多项式的次数，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）可得：，
，
，
代数式的值为．
4．合并同类项：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．
（1）根据合并同类项法则计算即可；
（2）根据合并同类项法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型5. 去括号与添括号
例5-1．下列去括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了去括号，解题的关键是掌握去括号法则．根据去括号法则逐个判断即可．
【详解】解：，故A不正确，不符合题意，B正确，符合题意；
，故C不正确，不符合题意；
，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
例5-2．下列添括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了添括号的知识，熟练掌握添括号法则是解题关键．添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐项分析判断即可．
【详解】解∶∵，
∴选项A、B、D运算错误，不符合题意，
选项C运算正确，符合题意．
故选：C．
针对训练5
1．下列去括号中正确的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据去括号法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．按要求把多项式添上括号．
(1)把后三项括到前面带有“-”号的括号里；
(2)把四次项括到前面带有“+”号的括号里，把二次项括到前面带有“-”号的括号里．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查的是去括号与添括号，熟知添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号是解题的关键．根据添括号的法则进行解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
3．去括号：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】本题考查去括号法则，要注意括号前是负号，去括号时要各项改号．利用去括号法则即可求出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型6. 整式的加减
例6．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减是解题的关键．
（1）先去括号，然后合并同类项即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可；
（3）先去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
针对训练6
1．化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减计算：熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）．
(1)化简；
(2)若的结果不含x项和项，求的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据整式的减法运算法则求解即可．
（2）令x项和项的系数为零列出方程求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：由（1）可知
∵的结果不含x项和项，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，数量掌握运算法则是解题关键．
3．已知两个整式A和B，，．
(1)请化简；
(2)若，，则的值为多少？
【答案】(1)
(2)17
【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值；熟记去括号，合并同类项的法则是解本题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项，即可得到答案；
（2）把，代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】（1）∵，
∴
；
（2）∵，，
∴．
4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)a 0， 0， 0， 0；
(2)化简．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，化简绝对值：
（1）根据点在数轴上的位置，判断即可；
（2）根据式子的符号和绝对值的意义，化简绝对值即可．
【详解】（1）解：由图可知：，
∴，，，，
∴，
故答案为：；
（2）由数轴可知：，
∴原式．
5．小亮准备完成题目“化简：”时，发现系数“▲”印刷不清楚．
(1)小亮猜“▲”是3，请你化简：．
(2)小亮的老师说：“你猜错了，我看到这道题标准答案的化简结果是一个固定的数．”那么原题中的“▲”是几？
【答案】(1)．
(2)5．
【分析】本题主要考查了整式加减的不含与无关型问题，理解整式的特征是解题的关键．
（1）根据整式减法的运算直接计算即可；
（2）根据结果是常数进行化简整理即可得到结果．
【详解】（1）
；
（2）
∵化简结果是一个固定的数
∴，解得：
题型7 整式的化简求值
例7．已知，．
(1)求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质：
（1）先去括号，然后合并同类项化简即可；
（2）先根据非负数的性质得到，则，再根据（1）所求代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
针对训练7
1．若关于的多项式化简后不含项，则
【答案】4
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据题意，先去括号，再合并同类项，根据不含项，则该项的系数为零，由此即可求解．
【详解】解：
由题意知，，
解得，，
故答案为：．
2．先化简后求值：，其中．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的加减混合运算，先去括号，再合并同类项，代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
3．下面是小乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
…第一步
…第二步
．…第三步
任务1：填空：
①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是______；
②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，具体错误是______；
任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当，时该整式的值．
【答案】任务1：①乘法分配律
②二；去括号时，括号前面是“－”号，括号内的第二项没有变号．
任务2：，13
【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号以及合并同类项法则是解题的关键，任务1：①观察第一步变形的过程，确定出依据即可；②找出出错的步骤，分析其原因即可；任务2：原式去括号再合并同类项得到最简的结果，再把m和n的值代入计算即可．
【详解】任务1：①第一步依据的运算律是乘法分配律．
②以上化简步骤中，第二步开始出现错误，
具体错误是去括号时，括号前面是“－”号，括号内的第二项没有变号．
任务2：
．
当，时，原式．
4．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】此题主要考查了整式的加减运算和非负数性质，去括号是解题关键．
直接去括号利用整式的加减运算法则化简整式，根据非负数的性质求得m，n的值，然后把m，n的值代入即可得出答案．
【详解】解：
=
=
=
=，
∵，
∴，即
解得：，
故原式
=
．
5．已知多项式，．
(1)求的值；
(2)若的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．
（1）将，代入，按照整式加减运算法则计算即可；
（2）根据的值与的取值无关时，y的系数为0，列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
又∵的值与的取值无关，
∴，
解得：．
题型8. 整式的加减的应用
例8．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．
(1)由图可知，每个小长方形较长的一边长是 （用含的式子表示），阴影部分的较短的边长是 （用含、的式子表示）
(2)当时，求图中两块阴影，的周长和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，整式加减的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式．
（1）从图可知，每个小长方形较长一边长大长方形的长小长方形宽的倍；阴影部分的较短的边长大长方形的宽每个小长方形较长一边长；
（2）从图可知，分别列出阴影，的长和宽，再求出两块阴影、的周长和并化简，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：每个小长方形较长一边长是，
则阴影部分的较短的边长是，
故答案为：；；
（2）解：根据题意，得阴影的长为，宽为，
阴影的宽为，长为，
则阴影，的周长和为：
，
当时，原式．
针对训练8
1．如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）．
(1)用整式表示花圃的面积；
(2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用．
【答案】(1)米2
(2)17600元
【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减，以及列代数式，根据题意列出关系式是解本题的关键．
（1）根据大矩形面积减去两个小矩形面积表示出花圃面积即可；
（2）把a的值代入计算即可求出．
【详解】（1）解：根据题意得：
；
答：花圃的面积是米2．
（2）解：当时，花圃面积为米2，
修建花圃所需费用：（元）．
答：修建花圃所需费用是17600元．
2．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
低于200元 不予优惠
低于元但不低于200元 九折优惠
元或超过元 其中不超过元部分给予九折优惠，超过元部分给予八折优惠
(1)若王老师一次性购物400元，则他实际付款______元；若一次性购物元，则他实际付款______元．
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于元但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于时，他实际付款______（用含x的式子表示）
(3)如果王老师两次购物的货款合计元，第一次购物的货款为a元（），用含a的代数式表示王老师两次购物实际付款的钱数．
【答案】(1)；
(2)；元
(3)元
【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，整式加减．理解题意，根据题意正确的列代数式是解题的关键．
（1）根据和，计算求解即可；
（2）由题意知，当x小于元但不小于元时，他实际付款元，当x大于或等于元时，他实际付款元，计算求解即可；
（3）由题意知，第二次购物的货款为元，，则第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元，然后求和并计算即可．
【详解】（1）解：由题意知，（元），
元，
故答案为：；
（2）解：由题意知，当x小于元但不小于元时，他实际付款元，
当x大于或等于元时，他实际付款元
故答案为：，；
（3）解：第一次购物的货款为a元，第二次购物的货款为元，，
∴第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元，
∴，
∴两次购物王老师实际付款元．
3．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（）．
(1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示）
(2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？
(3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
【答案】(1)
(2)购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元
(3)按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元
【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键：
（1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：；
（2）把代入（1）中的结果计算AB两种方案所需要的钱数即可；
（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可．
【详解】（1）解：A方案购买可列式：元；
按B方案购买可列式：元；
故答案为：；
（2）由（1）可知，
当，A种方案所需要的钱数为（元），
当，B种方案所需要的钱数为（元），
答：购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元．
（3）按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买150个跳绳合计需付款：
（元）；
∵，
∴省钱的购买方案是：
按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元．
4．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：
每月用水量 单价
不超出的部分 2元
超出不超出的部分 4元
超出的部分 8元
例如：若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）．
(1)若该户居民2月份用水，则应收水费 　　元．
(2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的整式表示，并化简）
(3)若该户居民4月份用水，4、5两个月共用水，且5月份用水超过4月份，请用含x的整式表示4、5两个月共交的水费多少元？
【答案】(1)48
(2)元
(3)元或元或36元
【分析】本题主要考查代数式表示数量关系的运用，整式的加减运算的应用；
（1）根据材料提示的计算方法即可求解；
（2）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可；
（3）根据题意，分类讨论，结合（1），（2）的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：应收水费（元），
故答案为：48；
（2）解：应收水费＝不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，
∴应收水费为元，
∴应收水费为元；
（3）解：因为5月份用水量超过了4月份，
∴4月份用水量少于，
①当4月份用水量少于时，则5月份用水量超过，
∴4，5两个月共交水费元；
②当4月份用水量大于或等于但不超过时，则5月份用水量不少于但不超过，
∴4、5两个月共交水费元；
③当4月份用水量超过但少于时，则5月份用水量超过但少于，
∴4，5两个月共交水费（元）．
故答案为：元或元或36元．
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