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因式分解
一、因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
1、下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay B．2x2﹣x＝x（2x﹣1）
C．x2+4x+4＝x（x+4）+4 D．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）
2、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（　　）
A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2 B．2a（b+c）＝2ab+2ac
C．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2 D．x2+x＝x2（1+）
3、下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
4、下列从左到右的运算是因式分解的是（　　）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2
C．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy D．（xy）2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1）
5、下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
二、提公因式法
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
1、多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2、多项式－6ab2x－3a2by＋12a2b2的公因式是( )
A.－3a b B.－3a2b2xy　 C.－3a2b2　 D.3a2b2
3、把多项式-axy-ax2y2+2axz提公因式后，另一个因式是 （ ）
A.y+xy2-2z B.y-xy2+2z C.xy+x2y2-2xz D.-y+xy2-2z
4、因式分解
2x2y﹣8y＝___________________ a2﹣ab＝______________.
= =
= =
= =
= =
5、把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（　　）
A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y）
C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）
6、下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（　　）
A．x2﹣y B．x2﹣2x C．x2+y2 D．x2﹣xy+y2
7、多项式21x2﹣35x分解因式的结果是（　　）
A．x（21x﹣35） B．7（3x2﹣5x） C．7x2（3﹣） D．7x（3x﹣5）
8、计算9992+999的结果是（　　）
A．999999 B．999000 C．99999 D．99900
9、已知，，则_______．
10、若，互为相反数，则________．
11、因式分解：___________．
12、________．
13、化简：a＋1＋a(a＋1)＋a(a＋1)2＋…＋a(a＋1)99＝_______．
14、因式分解：=__________．
15、可以分解为，则 ．
三、公式法
1、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
2、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
1、填空:
(1)4a2=（ )2 (2)25b2=（ ）2 (3) 16a4=（ )2
(4) 1.21a2b2=（ )2 (5) 0.81x4=（ )2 (6) 225x4y2=（ )2
2、平方差因式分解
(1)4a2－y2= (2)x2y4－49=
(3)4a2－(3b－c)2= (4)(x＋y)2－4x2=
(5)(4x－3y)2－25y2= (6)25(a＋b)2－4(a－b)2=
(7)9x2－(2x－y)2= (8)(2x＋y)2－(x－2y)2=
(9) 9(a＋b)2－16(a－b)2= (10) 9(3a＋2b)2－25(a－2b)2=
(11)x4－16= (12)(a＋b)4－(a－b)4=
(13)492－512= (14)6（x-y）2-12（y-x）3=
完全平方公式因式分解
x2-4x+4= (2)1+2m+m2=
（3）(3a)2+6ab+b= (4)4-4t+t2=
（5）a2+2a+4= (6)a2-a+0.25=
（7）a2-4ab+4b2= （8）4a2+12ab+9b2 =
（8）-x2+4xy-y2= =
4、下列因式分解的过程是否正确，请分别说明理由。
（1）x2+5x+4=(x+2)2 (2)4m2-9n2=(2m-3n)2
（3）16-8x+x2=(16-x)2 (4)x3-2x2y+xy2=x(x2-2xy+y2）
5下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）
B．9x2﹣4y2＝（9x+4y）（9x﹣4y）
C．x2﹣x+＝
D．﹣x2﹣4xy﹣4y2＝﹣（x+2y）2
6、下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是（　　）
A．﹣x2+16 B．x2+9 C．﹣x2﹣4 D．x2﹣2y
7、多项式4a2+ma+25是完全平方式，则m=
8、若x-2y=8,x+2y=6,则x2-4y2+2x-4y的值为
9、已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值为
10、已知ab=2,a+b=5,求a3b+2a2b2+ab3的值为
11、已知x+y=7,xy=7,求（x-y）2的值为
四、十字相乘
1、十字相乘法的因式分解：+（p+q)x+pq=（x+p)(x+q)。
2、十字相乘法步骤：（1）竖着拆；（2）交叉乘（十字乘）；（3）横着写。
要点诠释：
用十字相乘法时需注意，多项式是三项式；
竖着拆的是首项和尾项，首、尾项是带字母的平方或是常数项；
例如:因式分解：+3x+2=（x+1）（x+2）；
1、因式分解：
（1）+5x+6 （2）-5a+6 （3）+7k-8 （4）-5b-14
-12+4c （6）-n+ （7）2+9x-5 （8）4+8x+3
-75xy-2500 （10）-5xy+6 （11）6+6-13mn
2、若可以分解为(x-2)(x+b），那么a+b的值为
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
3、已知多项式可以分解因式，一个因式是x-6，则另一个因式为
A. x+2 B. x-2 C. x+3 D. x-3
五、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
分类 分组方法 特点
四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
例：
1、将下列各式分解因式
（1）
（2）.
（3）1﹣x2+2xy﹣y2
（4）
（5）
2、因式分解：
x2﹣y2﹣2x+2y＝___________________
a2b+ab2﹣a﹣b＝___________________．
x2﹣1+y2﹣2xy＝
x3－x2＋1－x＝
x＋y－xy－x2＝___________________．
ab－2a－2b＋4＝___________________．
3ax－3ay－6by＋6xb＝_________________
b2－2ab＋2a－b＝
3ax＋x＋3ay＋y＝
a2＋abc－3a－3bc＝
5x＋mx＋5y＋my＝ ．
x2－2xy＋4x－8y=
3、把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（　　）
A．（x+y+1）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+1）
C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）
4、下列分解因式错误的是（　　）
A．15a2+5a＝5a（3a+1）
B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y）
D．a2﹣bc﹣ab+ac＝（a﹣b）（a+c）
综合练习
1．选择题
1．多项式4x﹣x3分解因式的结果是（　　）
A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x）
C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）2
2．下列代数式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2﹣1 B．x2+xy+y2 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x﹣1
3．下列等式从左到石的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1
B．（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3
C．x2+4＝（x+2）2
D．x2+y2＝（x+y）（y﹣x）
二．填空题
4．分解因式4x2﹣（y﹣2）2＝　　．
5．分解因式：m2n﹣n3＝　　．
6．a与b互为相反数，则a3+2a2b+ab2＝　　．
三．解答题
7．分解因式：
（1）x2y﹣9y； （2）﹣m2+4m﹣4．
（3）x2﹣4y2+4﹣4x （4）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）
（5）5m（2x﹣y）2﹣5mn2 (6)2x2－x； (7)16x2－1；
(8)6xy2－9x2y－y3； (9)4＋12(x－y)＋9(x－y)2；
(11)x2－2xy＋6x－12y； (12)x2－4x－5.
8、十字相乘
9、分组因式分解
(1)x3－x2＋1－x； (2)x＋y－xy－x2；
(3)ab－2a－2b＋4； (4)3ax－3ay－6by＋6xb.

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