资源简介

直线与平面所成的角　
【教学目标】
1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．
【教学重点】
直线与平面所成的角．
【教学难点】
斜线与平面所成的角．
【教学方法】
本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影。
【教学过程】
环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 1．直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理． 2．直线与平面的位置关系． 直线与平面的位置关系利用表格进行提问（见课件）． 师：空间直线与平面垂直属于哪一种情况？ 生：一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直 师：一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？ 本节内容是建立在线面垂直的基础之上的，所以学生必须对线面垂直的定义、判定定理和性质定理非常熟练．课前复习，为新课的学习扫清障碍．
新 课 新 课 新 课 1．平面的斜线 如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段． 如图，AB是平面的斜线，B是斜足，AB是斜线段． 2．直线与平面所成的角 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示． 如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)； 如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是0的角． 一条线段与平面所成的角指的是线段所在直线与平面所成的角． 如图，设线段AB在平面内的射影为AB ，且AB与平面所成的角为 ．易证 |AB |＝|AB| cos ． 练习 设线段AB＝l，且AB与平面 所成的角为 ，求线段AB在平面内的射影AB 长： （1）l＝6，＝； （2）l＝10，＝0； （3）l＝8，＝． 例1 如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝1，AA1＝．求对角线A1C与平面ABCD所成的角． 解 连接AC，由题意知△A1AC为直角三角形，且A1AC＝90．又由题意，可知 AC＝＝＝． 而AA1＝，所以ACA1＝45． 因此A1C与平面ABCD所成的角为45． 例2 如图，已知 PA是平面的斜线，PO，a ，a AO． 求证：a PA． 证明：因为 PO ，a ，所以 PO a．（线面垂直的定义） 又因为AO a，且PO∩AO＝O，所以 a 平面PAO．（线面垂直的判定） 又因为PA 平面 PAO，所以 a PA．（线面垂直的定义） 例2中，AO是斜线PA在平面内的射影，通常例2的结论也叫做三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 练习 1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，写出对角线B1D1 与平面AC，平面BA1，平面BC1所成的角，并求这些角的余弦值． 2．如图所示，PA为平面 的斜线，PO，a，a PA．求证：aAO． 该结论叫做三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 教师给出定义． 学生理解并记忆定义． 重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线． 教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其射影． 学生练习． 展示图形，要求学生找出对角线A1C所在直线在平面ABCD上的射影，讨论如何作图． 教师引导学生对定理进行结构分析，明确各元素之间的制约关系，指导学生抓住“四线一面”中“垂线”这个关键条件． 可借助三角板与铅笔演示三垂线定理，给学生以直观印象． 师生合作共同完成． 引导学生在理解的基础上记忆． 此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础． 教师用问题引导学生一步步分析如何作出斜线与平面所成的角，培养学生思维的条理性． 此题看似简单，但每一步都分别应用了线面垂直的定义、判定定理等，教师必须在每一步后注明所用定理，给学生以明确的思维指导． 学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师了解学生对本节课的掌握情况．　
小 结 1．平面的斜线的定义． 2．理解直线与平面所成的角的概念，并会求直线与平面所成的角． 　　教师引导梳理．

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