资源简介

《4.5.1函数的零点与方程的解》教学设计
（一）教学内容
函数的零点的概念、函数的零点和方程的解的关系、函数零点存在性定理.
教材分析
1. 教材来源
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准教科书数学必修第一册第四章第4.5.1节《函数的零点与方程的解》，学生已经学过一元二次方程与二次函数的关系，本节课的内容就是在此基础上的推广。从而建立一般的函数的零点概念，进一步理解零点存在定理及其应用。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。
2.地位与作用
本节内容既是指数函数和对数函数的应用，也是函数性质的应用，利用函数的局部性质分析整体性质。注重用函数特征来判定解得存在，体现用函数的观点来研究方程解的基本方法。
函数的零点把函数与方程联系起来，体现函数与方程的思想。函数的零点与方程实数解的关系为函数在解方程方面的应用提供了理论依据。函数零点存在定理为判断方程是否有解提供了具体的方法，为下一步“用二分法求方程的近似解”做好了准备.在学习知识的过程中，学生会体会到数形结合、化归转化、函数与方程等数学思想，从而体会到数学的整体性.
函数的应用包括两方面，一是数学内部应用，二是实际应用，本节课主要任务是利用函数确定方程是否有解，体现出函数在数学内部的应用。本节课的学习对发展学生的直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养有一定的作用。
（三）学情分析
1.认知基础： 　
学生已经学习了二次函数的零点和一元二次方程的解的关系。
认知障碍： 　
函数零点存在性定理通过几何直观比较容易理解，但用两侧端点的函数值异号来刻画图像穿过轴，学生之前没有接触过。
（四）教学目标
1. 知识目标：
（1）结合二次函数，归纳三个等价关系，并会用方程法求函数的零点；
（2）运用数形结合，概括零点存在定理并用其判断区间是否有零点及其个数；
（3）会进行函数与方程的相互转化，并会用图象法判断零点个数.
2.能力目标：
结合二次函数的图象，经历由特殊到一般的思维过程，得出函数零点存在定理，体会
用函数的观点认识方程，会利用函数判断方程是否有解，体会函数在解决数学问题方面的应用。
素养目标：
学生体验从特殊到一般、化归与转化、函数与方程、数形结合这些数学思想在解决数
学问题时的意义与价值；发展数学建模核心素养、发展数学直观想象和数学抽象核心素养。
（五）教学重难点：
1. 重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用；
2. 难点：函数零点存在定理的导出.
（六）教学思路与方法
学生现有知识不足以严格证明零点存在定理，需要结合具体实例，借助几何直观，归纳一般结论，经历由特殊到一般，由具体到抽象的思维过程。教学按照函数零点的概念—函数零点存在定理一应用函数零点存在定理和函数性质判定方程的解的路径展开。采取从特殊到一般的研究方法。
课前准备
复习二次函数的零点，二次函数的零点与二次方程的根的关系。多媒体设备。
（八）教学过程
教学环节：新课引入
教学内容 师生活动 设计意图
在函数的应用（一）中我们学习了幂函数等函数图像与性质的实际应用。大家想函数的应用（二）我们会学习哪些内容。 学生阅读函数的应用（二）章引言。 出示示学习目标 明确学习内容。
教学环节：新知探究
教学内容 师生活动 设计意图
复习： 1.回顾二次函数的零点概念 2.二次函数的零点与二次方程的根的关系。 问题1 求方程的实数解得个数。 一般函数零点定义 对于一般函数我们把使=0的实数叫做函数的零点. 定义的理解 方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)图象与x轴有公共点. 问题2 如何判断的零点个数呢？ 抽象概括为 函数在某一区间上的图象连续不断，如果区间两个端点的函数值异号，则函数在此区间上存在零点. 函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点，即存在c（a,b），使得f(c)=0，这个c也就是方程f(c)=0的解. 问题3 判断下列说法是否正确 1.若f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点； 2.若f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内一定不存在零点； 3.若f(x)在区间(a,b)内存在零点，则f(a)f(b)<0； 4.若f(x)在区间(a,b)内不存在零点，则f(a)f(b)>0. 5.函数f(x)满足f(a)f(b)<0，且在区间(a, b)内有零点，那么只有一个零点吗？请举例说明. 6.函数f(x)满足f(a)f(b)<0,还需要满足什么条件，f(x)就在区间(a, b)内一定有且只有一个零点 函数零点存在定理的理解 　（1）根据零点存在定理判断函数f(x)在区间（a,b）上存在零点的依据是“f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断”和“f(a)f(b)<0”，两者缺一不可. 　（2）函数零点存在定理的逆命题不一定成立. 　（3）函数零点存在定理只能确定零点存在，零点的个数需要结合函数的单调性等性质进一步研究. 学生回答老师补充 老师重点强调二次函数的零点就是二次方程的根，也是二次函数图像与轴的公共点的横坐标。 追问1这个方程会解吗？ 能否转化为函数的零点个数呢？ 师生讨论后得到解决办法：将方程的根的个数转化为函数的零点个数。 追问：类比二次函数的零点与二次方程之间的关系，在这个定义中蕴含着哪些等价关系？利用该定义可以解决哪些问题？其中蕴含着怎样的数学思想？ 学生在教师的引导下自主思考或小组讨论，教师引导学生总结和提炼. 等价关系给出了利用函数图象判断方程是否有解的办法，也为不能用公式求解的方程提供了思路：利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解.其中蕴含着数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想。 从利用特殊到一般，从具体到抽象的方法。以二次函数为例， 观察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律，来研究判断函数在其定义域内的某一区间上存在零点的方法. 对于，图像如图 追问1：观察图象，发现它在区间[2,4]上有零点，这一区间内函数图象与x轴有什么关系？相应的f(x)的取值有什么规律？你能用f(x)在区间[2,4]上的两个具体的函数值来刻画它们吗？ 学生观察图象，寻找规律。教师予引导，观察在这个连续变化过程中，函数值的符号的变化特点. 得出结论：在零点附近，图像连续且穿过x轴，， 追问2：函数在区间[-2,0]上的图象与x轴有什么关系？相应的f(x)的取值有什么规律？你能用f(x)在区间[-2,0]上的两个具体的函数值来刻画它们吗？ 学生观察图象，寻找规律 在零点附近，图像连续且穿过x轴，， 追问3：你能发现上面两个问题的共性吗？你能给出一个确定函数在其定义域的某一区间上存在零点的方法吗？ 学生思考和回答，教师引导和补充. 函数的图象连续，在含零点的区间内，函数的图象穿过x轴，零点两侧的函数值异号.此规律可用区间两个端点的函数值异号来刻画. 追问4：如果把函数的连续去掉可以吗？举例说明 在内无零点， 多次举例，调动学生的深度思考. 追问5：从这么多具体的例子中，大家已经直观感受到函数在某个区间上有零点的判定方法了.你能用自己的语言描述怎样判断函数f(x)在区间[a,b]上存在零点吗？ 学生通过思考回答上述问题 为函数零点概念的一般化作铺垫。为解决后续问题做铺垫。 通过如何判断一个没有求根公式的方程是否有解的讨论，明确利用函数研究方程的研究视角. 对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解. 经历由特殊到一般的思考，研究判断函数在其定义域内的某一区间上存在零点的方法，得到函数零点存在定理，提升学生的直观想象核心素养 学生深化对定理的理解 会将函数零点存在定理与函数的单调性相结合，确定方程实数解的个数.
教学环节：例题解析
教学内容 师生活动 设计意图
例 求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数. 问题5 我们能否有别的解法 问题6判定方程是否有实数解的方法 1解方程（能解出来） 2方程不会解接转化为函数的零点或两函数图像的交点。 学生完成后展示交流. 教师利用软件画出函数y=lnx+2x-6的图象或列出x,y的对应值表，进一步明确解题思路。 　由f(2)f(3)<0可知，函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内至少有一个零点.容易证明，函数f(x)=lnx+2x-6在是增函数，所以它只有一个零点,即相应方程lnx+2x-6=0只有一个实数解. 追问1函数与轴的交点可否看成函数与某一函 数的交点 学生思考后回答 追问2函数有零点能否转化为于两函数有交点呢？ 学生交流回答 追问3那么此题可以转化为 哪两个函数的交点个数问题 与 学生在一个坐标系下画出两个函数图像 从图像直观看出两函数只有一个公共点，所以方程lnx+2x-6=0只有一个实数解. 引导学生把函数的零点个数转化为两函数图像的交点个数。
教学环节：课堂练习
已知是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表 x123456y1214-113-9-8
函数在哪几个区间内一定有零点，为什么？ 学生思考后回答，出现问题及时处理。 巩固本节所学知识，学生学会利用零点存在定理判断零点是否存在，增强学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
教学环节：小结思考 布置作业
在本节课中，你经历了怎样的学习过程，涉及哪些数学思想方法，还有哪些其他方面的收获？ 函数零点存在定理的主要内容是什么？运用它判断函数零点存在时需要注意些什么？ 如何判断一个不能用公式求解的方程是否有解？ 作业 课本155页必做题课本155页第1，2题 选做题 课本155页第7题 学生交流总结，教师补充。 设计意图：学生梳理本节课所学内容和研究方法，通过总结研究过程，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解.体会数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想. 分层作业,减轻学生课业负担.
教学环节：板书设计
1.函数零点定义 2.定义的理解 3.函数零点存在定理 4.函数零点存在定理的理解 例1 练习
（九）教学反思
本节课首先由复习二次函数的零点与一元二次方程的解的关系入手，紧密结合教材，采用探究学习的模式，使学生能够很快掌握概念，例题的选取很有代表性，一题多解，多解归一，多题归一，使学生掌握了方法和步骤，达到了预想的效果。设计很好的体现了单元教学的理念，具有大问题意识。
本节课还可以从以下几个方面适当展开：
1.教学过程中要多举例子，强化学生对方程的解与函数零点关系的理解,更准确的描述零点存在定理；
2.教学中要多让学生进行自主探究，让学生多动手，多动脑，把课堂更多的给学生,充分的利用黑板,让学生多演板；
3.课件的色彩搭配可更合理一些，比如用蓝底白字等,使课件的图像看起来更加的清晰一些.

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