资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 秋季
课题 2.1图形的轴对称
教科书 书 名：浙教版教材
教学目标
1.通过具体实例了解轴对称图形概念，会判断一个图形是不是轴对称图形，探索并理解轴对称图形的性质. 2.了解两个图形成轴的对称的概念，类比平移探究图形轴对称的性质，会画简单图形关于给定对称轴的对称图形. 3.会利用轴对称的性质解决简单问题，体会对称视角看问题.
教材与学情分析
本节是浙教版八年级数学上册第二章第一节《图形的轴对称》，重点介绍轴对称图形和两个图形成轴对称的概念及性质。在小学阶段学生已经通过观察、操作认识了轴对称图形及其对称轴，并且能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴，能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形.作为小学内容的延续初中再次学习轴对称图形，重点是明确其概念，探索其性质.并进一步了解图形的轴对称的概念与性质，学会根据性质画简单图形关于一条直线的对称图形. 同时初步感受由实验操作发现到推理论证说明的过程，提升思维的严谨性.
教学内容
教学重点： 1.轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，图形轴对称的性质. 2.从实验操作向说明论证的过渡. 教学难点： 1.轴对称图形的性质的得出需要一个比较复杂的探索过程是本节的一个难点. 2.利用轴对称的性质解决折线和最小问题。
教学过程
一.课堂引入 （一）走进生活——叶之韵 同学们大家好，又到层林浸染的秋季，周末老师漫步林间，发现了一些美丽的树叶，带来与同学们共赏. 它们有什么共性？ 折一折，能重合. 【设计意图】通过设置情境，语言渲染吸引学生注意力. 其实不仅很多植物有这样的特点，动物中也大量存在，如蝴蝶，蜻蜓等，人们也常常会将这种美应用在建筑和设计中. 如果把它们看成平面图形，折一折也能重合。 【设计意图】通过更多的实例让学生感受这种特征的图形在我们身边是大量存在的，体会研究价值.同时强化对轴对称图形特征，沿一直线折叠能重合，为归纳总结轴对称图形的定义提供基础. （二）温故思考——图之美 这些图形就是我们小学学习的轴对称图形，那么什么是轴对称图形呢？我们一起给轴对称图形下个定义. 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形做轴对称图形, 其中这条直线叫对称轴. 相互重合的点叫对称点 二.新课教学 （一）强化概念 1.除了这些生活中的图片，你学过的几何图形中哪些是轴对称的？判断下列图形是否为轴对称图形，如果是，请找出它的对称轴. 2.那老师要问了你是如何判断一个图形是不是轴对称图形的呢？ （小学时）操作法：折一折 、完全重合. 3.要是不方便折叠怎么办呢？或者说折叠后，仅凭视觉判断是否完全重合精准吗？ 【设计意图】产生困惑，提出问题激发学生探究欲望. 促使学生自主的逐步从实验几何过渡到论证几何. 让我们从最简单的线段开始. （二）从操作到论证 1.探索线段是否为轴对称图形. (1)实验操作 先用小学的折一折，要让A与B重合，折痕CD应满足使∠AOC=∠BOC=90°，OA=OB，这就是说折痕CD应是AB的中垂线.——操作发现 (2)推理论证 沿中垂线折叠，由中垂线可得∠AOC=∠BOC=90°，OA=OB.由角等可得，沿CD折叠后射线OA与OB重合，由线段等可得，折叠后点 A与点 B重合，所以线段AB是轴对称图形. 推理过程为: 证明：沿AB的中垂线CD折叠 ∵ CD垂直平分AB， ∴ ∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝OB ∵ ∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴ 折叠后射线OA与射线OB重合 ∵ OA＝OB， ∴ 折叠后点A与点B重合 ∴ 线段AB是轴对称图形 至此我们可以通过说理论证的方法来说明一个图形是轴对称图形. 利用实验操作发现，利用推理说明论证，这是几何探究的一般路径之一. 归纳小结：要说明图形重合，关键就是说明构成图形的点重合. 【设计意图】经历从实验操作到论证推理，提升数学思维. 2.方法巩固 试用刚才的方法说明下列图形是否为轴对称图形 请按下暂停键，独立思考完成，完成后按下播放键播放。 (1)△ABC中AB＝AC. (2) 四边形ABDC中AB＝AC，DB＝DC. 【设计意图】小学到初中，从实验操作到论证推理，再次巩固说理论证的方法. 总结：过程中我们再次发现，图形是否为轴对称图形关键还是看构成图形的点. 那么对称点又有何特征呢？ （三）探索性质 线段AB的两个端点A与B一组对称点，观察它们在位置上有何特征？ 分析：沿CD折叠后，A与B重合，说明∠AOC=∠BOC=90°，OA=OB，即对称轴是这组对称点连线的垂直平分线 . （四）应用性质——画一画 1.如图，已知点A和直线l以直线l为对称轴，作点A的对称点A′ 要作点A′，根据对称点的性质可知， AA′被l垂直平分，因此可先过A作l的垂线，然后在直线l的另一侧截取等距的点。 小结：总结下来作对称点就是两步，作垂线，截等距 . 巩固一下： 2. 如图，已知线段AB和直线l以直线l为对称轴，求作以点A，B的对称点A′，B′为端点的线段A′B′ 此时，若沿直线l折叠，线段AB和A′B′重合，我们称线段AB与A′B′关于直线l成轴对称. 两组端点对称得两线段对称. 3如图，已知△ABC和直线m，以直线m为对称轴，求作以A，B，C的对称点A′，B′，C′为顶点的△A′B′C′ 此时，若沿直线m折叠，△ABC和△A′B′C′重合，变出了一个和△ABC一样的三角形. 我们称△A′B′C′与△ABC关于直线m成轴对称. （五）图形的轴对称 1.形成概念 像这样，把一个图形变为另一个图形，并且这两个图形沿某一直线折叠后能够相互重合，这种图形变换（运动）叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 2.探索性质 （1）你还学过哪些图形变换？——平移变换 （2）平移有哪些性质？ ①对应点：对应点连线段互相平行（或共线）且相等. ②对应线段：对应线段互相平行（或共线）且相等. ③对应图形：平移前后两图形全等. （3）类比平移的性质，想一想图形的轴对称有哪些性质？ ①对称点：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段. ②对称线段：对称线段相等. 这是数量关系，那位置上呢？让我们画画看，交点在对称轴上，其实可以证明对称线段所在直线若相交，则交点必在对称轴上. 感兴趣的同学课下可以探究探究为什么？ ③对应图形：容易得到，成轴对称的两个图形全等. 3.类比学习——确定轴对称变换的条件 确定一次平移变换，需要两个要素，即平移的方向和距离，那么要确定一次轴对称变换呢？尝试解决下面两个问题. (1)已知四边形ABCD和直线l，求作四边形ABCD关于l的对称图形 (2)已知四边形ABCD和点A′，求作四边形ABCD的对称图形，使A的对称点为A′ 分析：作四边形关于已知直线的对称图形，只需作出它的四个顶点的对称点，再依次相连即可.问题(2)已知A的对称点A′，只需将连接AA′，作其垂直平分线即为对称轴，问题转化为(1). 由此我们发现已知对称轴或一组对称点，可确定对称后的图形。 （六）课堂小结 这节课我们了解了轴对称图形和图形的轴对称，都是沿一条直线折叠，能重合，轴对称图形是直线两侧的部分重合，图形的轴对称是直线两侧的两个图形重合.这条直线叫对称轴。同时我们还了解了其性质.那么老师要问了，轴对称除了能给我们带来“美”与“平衡”，还有什么作用呢？ （七）拓展应用 1.这幅图曾被哈佛大学选为入学考试的试题，让你按照它们的内在规律在空白处添上恰当的图形 这些图形都是轴对称图形，观察其一半发现规律，是1,2,3,4,5, ,7，所以此处应该填6，再作对称变化.即可找到问题答案. 这就告诉我们要学会用对称的视角看问题，对称图形割一半 2.再来看两个初中的题目 (1) 如图，在△ABC中，AB＝5cm,AC＝3cm，DE为BC边的中垂线，求△ACD的周长． (2) AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°试问DB和DC有何数量关系． 分析： 问题（1）DE为BC边的中垂线，从对称的视角看，△BDE和△CDE关于DE对称，因此CD可以转化为BD，所求△ACD的周长就是AC+AB=8. 问题（2）有点难一眼看不出思路，怎么办呢？如果从我们今天所学的轴对称视角看，对角线，折一折射线AC与AB能重合，那么能否利用对称解决呢？ 沿AD折叠把AC折到AB边上，这样DC就转化为DC′，只需证DC′与DB相等，在同一三角形中，可通过角推导.对称视角看问题，可以帮助我们转化问题，快速找到解题思路. 小结： （1）那么何时运用对称就觉问题呢？ 上面两个问题就告诉了我们一种情况，那就是出现角平分线或者垂直平分线时可以尝试轴对称视角看问题. （2）那么当角分线遇到中垂线呢？ 这就是我们后面要重点探究的一类轴对称图形，等腰三角形。 3.实际应用 问题：若在A与B之间有一条小河l，方丈要求小和尚先从住处A出发到河边l取水，再把水送到庙宇B，小和尚该如何走，使走的路程最短呢？ 根据两点之间线段最短，只需连接AB就可找到最短路径. 变一变：若在A与B同侧有一条小河l，方丈要求小和尚先从住处A出发到河边取水，再送到庙宇B，小和尚又该如何走，使走的路程最短呢？ 显然，AP+BP会随着点P在l上变化而变化，那么何时最小呢？ 根据对称可将BP沿直线l翻折，即作点B关于直线l的对称点B′，由对称可知，当P在l上运动时，始终有PB=PB′； 这样求AP+BP何时最小即转化为求AP+PB′最小，转化为上一个问题，根据两点间线段最短，连接AB′即可找到P，使得PA+PB最小，最小值就为AB′. 小结：对称视角看问题，对称图形割一半，不对称的补补全，割补转化来求解 三.教学思考 学生在小学时已经通过观察操作了解过轴对称图形，并且会借助网格找对称轴和补全轴对称图形，作为初中再认识轴对称图形，我将其侧重点从实验操作向推理论证过度，引导学生更严谨的说理，培养学生严谨思维习惯，并逐步探究其性质. 依据性质严谨作图，在作图的基础上引入两个图形成轴对称（即图形的轴对称变换）的概念，通过类比平移的性质总结出图形的轴对称的性质.在了解了轴对称图形和两个图形成轴对称的概念和性质后，引导学生从对称的视角看问题，提升学生解决问题的能力.

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