资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 初中数学 年级 八年级 学期 秋季
课题 2.2等腰三角形
教科书 书 名：八年级上册数学教材
教学目标
1. 了解等腰三角形的概念. 2. 掌握等腰三角形的轴对称性： 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 3. 会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单几何问题. 4. 了解等边三角形的概念.
教学内容
教学重点： 等腰三角形的轴对称性.
教学难点： 等腰三角形轴对称性的推理说明.
教学过程
【课前导语】上一节课我们学习了图形的轴对称，今天我们将在轴对称图形的基础之上进一步探讨等腰三角形。本节课我们将通过三个活动来进行，分别是再探轴对称图形，认识等腰三角形，并且在具体情境中找出等腰三角形。 一、生活中的轴对称 【图片欣赏】观察下列建筑的外形，判断它们是轴对称图形吗？ （天安门、埃菲尔铁塔、飞机、蝴蝶图片欣赏） 验证：沿一条直线折叠后，两侧部分都能够互相重合，因此都是轴对称图形。 二、几何中的轴对称 【旧知回顾】列举一系列的轴对称图形并展示他们的对称轴。 （标准的五角星、圆、长方形）比如标准的五角星，它的对称轴我们可以找到五条。经过圆心的直线都是圆的对称轴，包括长方形，各自都能找到它们的对称轴，它们都是轴对称图形。 【问题思考】三角形是轴对称图形吗？ 三、三角形折叠讨论 通过折叠，我们来尝试探究一下。 【动手探究】我们可以沿哪些特殊位置的直线来进行折叠验证呢？ 挑战尝试一：沿中线所在的直线进行折叠：很难做到覆盖重合。 挑战尝试二：沿角平分线所在的直线进行折叠：两条角边能重合，但要是两侧线段有长短，也不是轴对称图形。 【教师追问】如果三角形的两边刚好相等呢？就可以做到两侧重合了。 我们今天就来学习这类有两条边相等的轴对称三角形。 一、概念初识 我们把有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 二、性质探究 【教师提问一】如果在△ABC中，AB=AC，AP是△ABC的角平分线，那么沿AP所在的直线对折，点B与点C会重合吗？ 引导学生自己折叠验证并思考：点B，点C关于AP对称吗？ 【答案预设】因为AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，且AP是角BAC的平分线，所以△ABC是以直线AP为对称轴的轴对称图形，因此点B和点C关于AP对称。 【教师提问二】若在原来的基础上，再加入条件点D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE，那么点D，E关于AP对称吗？ 【答案预设】等腰三角形ADE也是以直线AP为对称轴的轴对称图形，因此点D和点E也关于AP对称。 【教师提问三】在前两问的基础上，DE与BC平行吗？ 【答案预设】由（1）（2）两问可以得到：点D和点E，点B和点C都关于AP对称。由于对称轴垂直平分连结两个对称点的线段，所以都垂直于AP，因此DE和BC互相平行。 三、特例分析 【概念引出】如果特殊到三条边都刚好相等呢？ 我们把这样的三角形叫做等边三角形，它是特殊的等腰三角形。 【深入思考】既然等腰三角形是轴对称图形。那么它有几条对称轴呢 【答案预设】等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴。若是等边三角形，那么各个内角的角平分线所在的直线都是它的对称轴。因此等腰三角形有一条或三条对称轴。 四、实例练习 【课内练习】求证：等腰三角形两腰上的中线相等。 【答案预设】 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CD、BE分别是腰AB、AC上的中线。 求证：BE=CD。 证明（分析）：因为是中线，所以各等于一半的腰长，因此AD=AE，再加上公共角角A，通过“边角边”证得两个三角形的全等，因此BE=CD。 五、动手操作 【尺规作图】学习了等腰三角形的相关知识，你能利用直尺和圆规画一画等腰三角形吗？已知线段a和b，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使得AB=AC=线段b，BC=线段a？ 【画法预设】在射线BE上用圆规截取线段BC等于a，再分别以点B、C为圆心，线段b长为半径画弧，交于一点A，则△ABC即为所求作的三角形。 六、深度思考 【问题思考一】若把腰长与底边的对应条件撤去呢？ 会出现两种情况。第一种情况：a是腰，b是底边；第二种情况中b是腰，a是底边。分类清楚之后我们借助圆规画出三角形。 【问题思考二】要是把a变得更短，同学们尝试一下这两类情况都存在吗 【答案预设】因为此时若a是腰，则会出现2a＜b，构成不了三角形。因此关于给定的边需要分类讨论，同时也要考虑满足三角形的三边关系。 一、寻找顶点在特殊网格中的等腰三角形 【问题探究】找一找隐藏在网格中的等腰三角形。 如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰，你能找到几个这样的点？ 【分类分析】当线段AB为腰时，那么谁为顶角顶点呢？点A、点B都有可能。当点A为顶角顶点时，以A为圆心，AB长为半径画弧，与格点交到的位置都是符合要求的点C。第二种情况：当点B作为顶角顶点时，同样地，以B为圆心，AB长为半径再次画弧，与格点相交的位置也都是符合要求的点C。 二、寻找顶点在给定直线上的等腰三角形 【深度思考】当我们把网格撤去，你能不能在直线L上找一点P，使得△PAB是等腰三角形呢？ 此时线段AB作为腰还是作为底边都是有可能的。第一种情况，当AB作为腰时，以点A或以点B作为顶角顶点，即作为圆心，AB长为半径，各自画弧，则与直线L相交的位置都是符合要求的P点位置。第二种情况，当AB为底边时，则满足PA=PB，也就是说，点P应该在线段AB的中垂线上，因此只要画线段AB的中垂线，与直线L的交点也都是符合要求的P点位置。 三、剪出等腰三角形：任务卡挑战 【拓展延伸】任务单挑战：我们手里的材料有剪刀以及边长为3cm、4cm、6cm的三角形纸片若干。要求：①过钝角顶点只剪一次，②将三角形分割成两个三角形，③其中一个三角形是等腰三角形，可以怎么剪呢？ 活动任务单 （材料:剪刀、三角形纸片若王 v要求:①过纯角顶点只剪一次 ②将三角形分割成2个三角形 ③其一个三角型是等腰三角形 （分析：我们发现，剪开后左右两个三角形都有可能是等腰三角形，引导学生分成两个小组任务来分别完成。） 【小组任务一】若△PAB是等腰三角形，那如何找到那个P点呢？已知的线段AB是作为腰还是底边，仍然是不确定的。如果线段AB是三角形的腰，那么分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧与线段BC相交。当然，要是交在线段BC之外，因为无法剪到，都是要舍去的。当AB为底边的时候，仍然是画线段AB的中垂线与线段BC相交，相交的位置都是符合要求的点P位置。 【小组任务二】第二类，当△PAC为等腰三角形的时候，一样的做法，AC作为腰还是底边，依旧要分情况来进行找点，大家可以自己试一试。这里的p1，p2，p3，p4，p5都是符合要求的点。 【课后总结】 本节课我们从轴对称图形的定义出发，通过折叠感受了轴对称三角形也就是等腰三角形的轴对称性，它有一条或三条对称轴。了解了它的相关概念：腰和底边，顶角和底角。还学习了特殊的等腰三角形，即有三条边相等的等边三角形。我们又经历了在各类情境中寻找符合要求的等腰三角形的过程。比如：要求顶点在网格上，顶点在直线上等。遇到更为复杂的图形，也可以先转化成前两种情况再分别进行讨论。在画等腰三角形的过程当中，我们要区分已知线段是作为腰还是底边。若作为腰，那么我们要以它为半径画圆弧，若已知线段是作为底，那么我们就要做这条底边上的中垂线。通过分类讨论来探究所有符合要求的情况。 【结语】本节课我们感受了数学分类讨论的严谨性，再次体验了数学几何图形中的对称美。当然，关于等腰三角形，未来还有更多的性质、结论等待着我们去探索和揭秘!

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