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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 +教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第24章 圆
【学情分析】
从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
从认知状况来说，学生在此之前已经学习了圆 ，对圆已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于圆的理解，（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，结合学生学习能力，教师教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
【教学目标】
从动态与静态两个方面去理解圆的定义，熟练掌握弦、弧、半圆、直径、劣弧、优弧、等圆、等弧等相关概念。
通过情景创设，使学生经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程，形成自主探究、合作交流的良好习惯。
对学生进行爱国主义教育，渗透数学的应用价值，体会从特殊到一般的唯物辩证法思想的运用。
【重点难点】
重点：弧，半圆，弦，直径，等圆，等弧，优弧，劣弧等有关概念的理解。
难点：弧，半圆，弦，直径，等圆，等弧，优弧，劣弧等有关概念的区别和联系。
【新课导入】
创设情境，引出课题
观察动画：骑车运动
思考：自行车轮胎为什么是圆形的？如果改换成三角形或是正方形，坐车的人会是什么感觉？
以车轮为什么是圆形的引出本节课题，激发学生的兴趣。
【新课讲解】
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
【课堂小结】
1、你的收获
2、你的疑惑
温馨提示: (1)垂径定理和勾股定理有 机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形; (2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线-弦心距; (3)为了更好理解垂径定理，-条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
【布置作业】
1.如图，AB,CD是⊙O的两条弦.
（1）如果AB=CD,那么 ， .
（2）如果那么 ， .
（3）如果∠AOB=∠COD那么 ， .
（4）如果AB=CD,OEAB,OFCD,垂足分别为E,F,OE与OF相等吗？为什么？
2.如图，AB是⊙O的直径，∠COD=。求∠AOE的度数.
3.如图，在⊙O中，∠COD=2∠AOB，那么CD=2AB成立吗？成立吗？请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又分别是什么？
【板书设计】
圆
定义：-----------------------------------------------------
圆心：位置 记作：⊙O
半径：大小 读作：圆O
圆的集合定义：-----------------------------
3．与圆的相关概念：弦、直径圆弧（劣弧、优弧）、半圆、等圆、等弧
练一练：
用一用：想一想：
画一画：
【教学反思】
本课例在充分落实知识与技能这一目标的前提下，注意到了过程与方法，并特别关注了对学生数学情感态度和价值观的培养。事实上学生对生活中的圆早就有了一定认识，但对本课重要的是学生从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系，感受圆是最美地图形，激发学生对数学学习的情感，为此，学生动手，现场板演，多媒体辅助教学.在互动学习中为学生的自主，合作，探究学习创造条件。主动向学生质疑，促使学生思考和发现，培养学生独立获取知识与方法的能力；同时利用多媒体技术给学生创设了宽松的学习氛围，使学生课堂发言踊跃，学习中始终保持兴奋，愉悦，渴求思索的心理状态，这些都有利于学生数学学习主体性的发挥以及数学创新能力的培养。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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