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24.3 正多边形和圆+教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第24章 圆
【学情分析】
九年级学生已具备一定知识储备和认知能力。但学生的基础较差，中等、差等生较多，优等生较少。课堂上，多数学生表现欲不强，发言不积极，怕回答错问题；学生应用知识灵活解决问题的能力较差，在几何证明题中，不会抓住已知条件进行论证推理。因此，在教学中，注重学生学习方法的培养，通过学生实践、探究、合作交流来完成本节课的教学。
【教学目标】
1．理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形；
2．理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、 中心角、周长和面积．
在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力。
体验数学与生活的紧密相连，感受圆的对称美，正多边形与圆的和谐美，从而更加热爱生活，珍爱生命。
【重点难点】
正多边形的有关计算问题．
正多边形的有关计算问题．
【新课导入】
（一）新课导入
阅读教材P105～107，完成下列知识探究．
1．各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．
2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3．把一个圆分成几等份，依次连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于．
4．正n边形都是轴对称图形，它的对称轴有n条，当边数为偶数时，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形．
【新课讲解】
1．正多边形和圆的关系。
问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论。
教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证。
已知：如图，在⊙O中，A，B，C，D，E是⊙O的五等分点。依次连接ABCDE形成五边形。
问：五边形ABCDE是正五边形吗？
答案：五边形ABCDE是正五边形。
教学说明：教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程。
问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
答案：这个n边形一定是正n边形。
教学说明：在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形。从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般。
问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例。
答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形。因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等。各角相等的圆内接多边形不是正多边形。如：矩形。
2．正多边形的有关概念。
综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念。
正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°（n-2）n
3．正多边形和圆有关的计算问题。
例1（课本例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）。
分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题。
4．画正多边形。
画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的。等分圆周有两种方式：
（1）用量角器等分圆周。
方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆。
方法二：先用量角器画一个等于的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点。
教学说明：这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差。
（2）用尺规等分圆。
正方形的作法：如图（1）在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD，再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形。
正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A，B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A，C，E，B，F，D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD。
方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长。所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形。
三、运用新知，深化理解。
1．如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为 。
2．边长为的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为 。
3．如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比。
4．如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON。
（1）求图1中的∠MON的度数；
（2）在图2中，∠MON的度数为 ，在图3中，∠MON的度数为 ；
（3）试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系。（直接写出答案）
教学说明题1，2可由学生自主探索完成，题3，4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答。
【课堂小结】
（一）课堂小结
(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
【布置作业】
1.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(B)
A．4 B．5 C．6 D．7
2．正三角形的边心距、半径和高的比为(D)
A．1∶2∶ B．1∶∶3 C．1∶∶ D．1∶2∶3
3．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝ cm，则它的中心角∠AOB＝60°，边长AB＝2cm，正六边形的面积S＝6 cm2.
4．如图，正方形的边长为1 dm，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积．
解：设正八边形的边长为x，则被剪掉小直角三角形的直角边为x，
由题意，得x＋2·x＝1，
解得x＝－1.
所以小直角三角形的直角边为(－1)＝1－.
所以正八边形的面积为12－4××(1－)2＝1－2×(－)＝2－2.
答：这个正八边形的边长为(－1)dm，面积为(2－2)dm2.
【板书设计】
24.3 正多边形和圆
1、正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．
2、正多边形的相关概念：
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距
【教学反思】
1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.
2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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