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25.2 用列举法求概率+教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第25章 概率初步
【学情分析】
学生已经理解了列举法求概率的含义，但对于涉及两个因素的试验，如何正确列举出试验所有可能的结果，怎样才能做到不重不漏地列举，如何设计出一种办法解决这个较复杂问题，“分步”分析起到了重要作用.
学生容易出现的问题是，没有真正理解列表法的含义，虽然能够通过模仿解决一些简单问题， 但是无法灵活地使用列表法解决问题.
【教学目标】
用画树状图法求事件的概率．
会用树状图求两步或两步以上的随机事件的概率，体会树状图求概率的优点.
1.经历探究分析问题的过程，培养分析问题的习惯.感受知识产生的过程及运用知识解决问题的能力.
【重点难点】
用画树状图法求随机事件的概率
用画树状图法求随机事件的概率
【新课导入】
（一）新课导入
提出问题
1.袋中有20只红球，8只黑球，这些球除了颜色以外没有任何区别.搅匀后从袋中任取一只球，取出黑球的概率是多少？
（学生回答，老师检验更正）
直接用列举法求概率
当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式（在一次试验中，有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果）求事件发生的概率.
结论：
注：（1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
（2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个；②每个结果出现的可能性相等
（3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面向上；
（2）两枚硬币全部反面向上；
（3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上.
（学生小组讨论后，集体更正）
解：列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正反，反正，反反.所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等
（1）所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上（记为事件A）的结果只有1种，即“正正”，所以.
（2）两枚硬币全部反面向上（记为事件B）的结果也只有1种，即“反反”，所以
（3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上（记为事件C）的结果共有2种，即“反正”“正反”，所以
引导学生能否用表格表示出所有可能，注意设计表格时横行，竖行分别表示的内容.
不妨设其中一枚为A，另一枚为B，用列表法列举所有可能出现的结果：
B A 正 反
正 正正 正反
反 反正 反反
【新课讲解】
（二）探索新知
活动
同时抛掷三枚硬币，求下列事件的概率：
（1）三枚硬币全部正面向上；
（2）两枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上；
（3）至少有两枚硬币正面向上.
教师引导学生先画出第1枚硬币的两种情况，然后在依次画出第2枚和第3枚硬币的相应情况，
结论：由树状图可以看出，抛掷3枚硬币的结果有8种，它们出现的可能性相等.
（1）三枚硬币全部正面向上（记为事件A）的结果只有1种，则.
（2）两枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上（记为事件B）的结果有3种，则.
（3）至少有两枚硬币正面向上（记为事件C）的结果有4种，则.
思考：什么时候用列表法方便，什么时候用“画树状图法”方便？
结论：当一次试验涉及2个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法.
一次试验涉及3个或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常用画树状图法.
树状图中，从左到右（或从上往下），每一条路径都表示一种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同.
例3 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C,D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球.
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球全是辅音字母的概率是多少？
分析：当一次试验是从三个口袋中取球时，列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法.
解：根据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即
这些结果出现的可能性相等.
（1）只有1个元音字母的结果（红色）有5种，即ACH,ADH,BCI,BDI,BEH，所以
有2个元音字母的结果（绿色）有4种，即ACI,ADI,BEI，所以
全部为元音字母的结果（蓝色）只有1种，即AEI，所以
（2）全是辅音字母的结果共有2种，即BCH,BDH，所以
【课堂小结】
小结：（学生思考总结，老师适时引导）
1.用列表法或画树状图法求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同，其目的是保证列举的不重不漏.
2.当试验包含两步时，列表法较方便，当然也可以用画树状图法；如果试验步骤是三步或三步以上，采用画树状图法较为方便，此时难以用列表法.
3.用列表法和画树状图法求概率体现了数形结合及分类的思想，我们常常借助分类的方法把复杂问题转化为简单问题来解决.
【布置作业】
1.如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是( )
A. B. C. D.1
答案：B
解析：把、、分别记为A、B、C，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为，故选：B.
2.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的结果然后利用概率公式求解画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到黄球的结果有4种，
两次都摸到黄球的概率为，故选A.
3.如图,小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜,那么,小李获胜的概率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：画树状图如下:
∴共有25种等可能的结果,其中两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13种,∴小李获胜的概率为.
4.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，辆向左转的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：画树状图如图所示：
这两辆汽车的行驶方向共有9种等可能的结果其中一辆向右转，
一辆向左转的结果有2种，
一辆向右转，一辆向左转的概率为.故选B.
【板书设计】
25.2.2 画树状图求概率（第2课时）
画树状图求概率的步骤：
【教学反思】
1.本节课通过以学生喜闻乐见的扫雷、掷硬币等游戏为载体，充分调动了学生的学习欲望，将学生摆在了真正的主体位置上，充分发挥了他们的主观能动性，从而让学生在趣味中掌握本节课的知识.生活中有许多有关概率的问题，本节课的学习亦能让学生尝试用概率的知识去解决生活中的问题，从而体会到概率知识在生活中的应用价值.
2.本节课还通过普通列举法与列表法，对找出包含两个因素的试验结果的对比，让学生感受到列表法的作用与长处，使学生易于接受知识.
3.教师引导学生交流归纳知识点，看学生能否会不重不漏地列举出事件发生的所有可能，能否找出事件A中包含几种可能的结果，并能求P（A），教学时要重点突出
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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