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22.3实际问题与二次函数+教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第22章二次函数
【学情分析】
学生对于运用方程或一次函数解决实际问题比较熟练，并且对于纯粹的二次函数的最值有了清楚地认识，本节课是将所学的知识用到解决实际问题当中，让学生感受到数学的作用，从而对数学产生兴趣，同时上一节课学习了最大面积问题，本节课可以类比学习。但九年级学生的累积错误较多，本节课的过程较多，计算量较大，需要细化过程，留给学生较为充的时间动手完成。
【教学目标】
能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.
再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.
进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.
【重点难点】
【重点】
用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.
【难点】
根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.
【新课导入】
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
【新课讲解】
问题1：教材第49页探究1.
用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？
分析：
提问1：矩形面积公式是什么？
提问2：如何用l表示另一边？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：
提问1：问题2与问题1有什么不同？
提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？
答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
提问5：如何求最值？
答案：x＝－＝－＝15时，Smax＝450.
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？
提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？
提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为S m2，与墙平行的一边为x米，则S＝·x＝－＋30x.
提问4：当x＝30时，S取最大值．此结论是否正确？
提问5：如何求自变量的取值范围？
答案：0＜x≤18.
提问6：如何求最值？
答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x＝18时，Smax＝378.
小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．
【课堂小结】
回顾本节课所学主要内容,回答以下问题:
1.如何求二次函数的最大(小)值 如何利用二次函数的最大(小)值解决实际问题
2.在解决问题的过程中要注意哪些数学问题 学到了哪些思考问题的方法
【布置作业】
一、基础巩固（50分）
1.( 25分)某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（B）
A.9.2 m B.9.1 m C.9 m D.5.1 m
2.(25分)某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是y=-3.75x2.
第1题图 第2题图
二、综合应用（25分）
3.(25分) 某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（如图），若抛物线最高点M离墙1米，离地面米，求水流落地点B离墙的距离.
解：设该抛物线的解析式为y=a(x-1)2+.
∵抛物线过点（0，10），∴，解得,
∴抛物线的解析式为,
令y=0,则.
解得x1=3,x2=-1（舍去）.
∴水流落地点B离墙的距离为3米.
三、拓展延伸（25分）
4.(25分)某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？
解：以水平面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+0.5,
∵抛物线过点（1，0），
∴0=a+0.5，解得a=-0.5.
∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5.
令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1.
令x=0.2，y=-0.5×0.22+0.5=0.48，
令x=0.6，y=-0.5×0.62+0.5=0.32.
（0.48+0.32）×2=1.6 （m）
∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为1.6
【教学反思】
本课时重点在于利用二次函数解决图形的最大面积问题，教学过程中注重引导学生通过分析实际问题构造数学几何模型.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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