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(共24张PPT)
（湘教版）九年级
上
4.1正弦和余弦（3）
锐角三角函数
第四章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.理解锐角余弦的概念，掌握余弦函数的定义和计算方法，能够运用余弦函数解决相关问题。
2.理解锐角正弦与余弦的关系，求特殊角的余弦值。
3.用计算器求锐角的余弦值。
4.通过类比和探究，培养学生的观察、比较、分析和概括能力，提高学生的数学思维能力。
5.激发学生对数学的兴趣和热情，培养学生的探究精神和创新意识。
新知导入
回顾
在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα.
sin =
30° 45° 60°
sin
新知讲解
如图， △ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F = 90°， 则=成立吗？ 为什么？
探究
新知讲解
解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴∠B=∠E .
从而sinB=sinE.
因此=.
新知讲解
解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴△ABC∽△DEF(两角分别相等的两个三角形相似).
从而=.
因此=.
在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
新知讲解
在直角三角形中， 我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦（cosine）， 记作cosα.
cos =
新知讲解
动脑筋
在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别记作a,b,c.
∠A,∠B的正弦值是什么？ ∠A,∠B的余弦值是什么？它们有什么关系？
sinA sinB cosA cosB
sinA=cosB,sinB=cosA
新知讲解
思考：∠A= ,∠A与∠B互余，你能用只含角 的式子表示sinA=cosB, cosA=sinB吗？
sin =cos(90°- )
cos =sin(90°- )
典例精析
例3
求cos30°,45°,cos60°的值.
解:
cos30°=sin(90°-30°)=sin60°=，
cos45°=sin(90°-45°)=sin45°=，
cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=.
新知讲解
求一般锐角 α 的余弦值
求 50°角的正弦值， 可以在计算器上依次按键
显示结果为 0.6427….
cos
5
0
已知余弦值,求对应锐角
已知sinα=0.8661，依次按键
显示结果为 29.9914…， 表示角 α 约等于 30°.
2ndF
cos
0
.
8
6
6
1
新知讲解
做一做
利用计算器计算：
(1)cos15°≈_____________ (精确到0.0001)；
(2)cos50°48’≈_____________ (精确到0.0001)；
(3)若cos =0.9659,则 ≈_____________ (精确到0.1°)；
(4)若cos =0.2588,则 ≈_____________ (精确到0.1°).
0.9659
0.6320
15.0°
75.0°
典例精析
例4
计算：cos30°60°+cos245°的值.
解: cos30°60°+cos245°
=
=
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosA的值是(　　)
A. B. C. D.
2.已知α是锐角，cosα＝，则α等于 ．
3. sin60°cos30°＝________．
C
30°
6. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝ ．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，那么cosA的值等于( )
A. B. C. D.
5. 已知α为锐角， cosα＝sin50°，则α等于(　　)
A．20° B．30° C．40° D．50°
B
C
【综合拓展类作业】
课堂练习
计算：
(1)cos30°－cos45°－cos60°；
(2)2cos245°＋cos260°－3cos230°.
解：(1)原式＝××＝.
(2)原式＝2×()2+()2＝＝.
课堂总结
在直角三角形中， 我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦（cosine）， 记作cosα.
cos =
课堂总结
30° 45° 60°
sin
cos
板书设计
正弦：
cos =
4.1正弦和余弦（3）
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.对于锐角∠A，∠B，如果sinA＝cosB，那么∠A与∠B的关系一定满足( )
A．∠A＝∠B B．∠A＋∠B＝45°
C．∠A＋∠B＝60° D．∠A＋∠B＝90°
2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosB＝，则BC＝ ．
3. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2、
AC＝3，则cosA＝________．
D
8
【综合拓展类作业】
作业布置
设 是任一锐角，求证：sin2 +cos2 =1.
证明：根据题意作直角三角形△ABC,∠ACB=90°，∠A=
∵sin =, cos =
∴ sin2 == , cos2 ==
∴ sin2 +cos2 =+=
又∵ =
∴ sin2 +cos2 =1
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第四章
课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第四章《锐角三角函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.在中学数学教育中，三角学内容被分为两部分：一部分在义务教育第三学段（主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容），另一部分在高中阶段（包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程）。锐角三角函数作为三角学的初步内容，为后续学习三角函数和解斜三角形提供了重要的基础。 本章主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切）以及解直角三角形。锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的三角函数。解直角三角形在实际应用中有着广泛的应用，而锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知识和勾股定理也是学习锐角三角函数的重要基础。并且研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想.因此本章还包含了数形结合的思想.
学情分析 《锐角三角函数》通常安排在初中数学课程的后期，学生在此之前已经学习了直角三角形、相似三角形以及勾股定理等相关知识。这些知识为学习锐角三角函数提供了必要的基础。且经过之前的学习，学生已经具备了初步的逻辑思维能力和简单的抽象概括能力，掌握了一些科学的学习方法，学会了独立思考和与人合作交流的能力。大部分学生对数学学习有着浓厚的兴趣，乐于参与到学习活动中去，特别是对一些动手操作、合作学习、实践活动等学习内容尤为感兴趣。 然而，也有部分学生基础较差，上课听到的知识课后不会运用，作业的正确率低，个别学生有拖拉作业的习惯。因此，在本章的数学课上，需要培养学生对数学的学习兴趣，让学生善于思考、乐于思考，不怕错误，具有问题意识，并养成良好的学习习惯。
单元目标 （一）教学目标 1.认识锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.知道30°，45°，60°角的三角函数值。 3.会使用计算器求已知锐角的三角函数值，及由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.正弦、余弦、正切的概念。 2.解直角三角形的方法。 教学难点： 1.用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示正弦、余弦、正切。 2.锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系是学生过去没有接触过的，因此有一定的难度。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1正弦和余弦34.2正切14.3解直角三角形14.4解直角三角形的应用2小结与复习单元复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1正弦和余弦（1）1.初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2.经历探索直角三角形中边与角的关系的过程会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值任务一：通过问题要求求锐角的对边与斜边的比值。 任务二：经历探索直角三角形中边与角的关系的过程。 任务三：例题精讲，经历求正弦值的过程。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（2）1.理解并掌握锐角正弦的定义，能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。 3.学会利用正弦函数解决直角三角形中的相关问题。1.能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手计算，求出特殊锐角的正弦值。 任务三：用计算器求锐角的正弦值。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（3）1.理解锐角余弦的概念，掌握余弦函数的定义和计算方法，能够运用余弦函数解决相关问题。 2.用计算器求锐角的余弦值。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的余弦值。 2.用计算器求锐角的余弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角余弦的概念。 任务三：掌握求余弦值计算方法。 任务四：习题检测。4.2正切1.经历锐角正切的探索过程，理解并掌握锐角正切的概念及其计算方法。 2.掌握正切的符号，会用符号表示一个锐角的正切函数 3.能够运用正切函数解决相关的数学问题。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正切值。 2.用计算器求锐角的正切值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角正切的概念。 任务三：掌握求正切值计算方法。 任务四：习题检测。4.3解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.探索发现解直角三角形所需的最简条件。 1.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.运用数学知识解决一些简单的实际问题任务一：回顾正弦、余弦和正切。 任务二：经历解直角三角形的过程。 任务三：探索发现解直角三角形所需的最简条件。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（1）1.学生能够理解仰角和俯角的概念。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法。3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。1.会根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。 2.利用三角函数求解边长和角度等。 3.会将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。任务一：回顾解直角三角形。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（2）运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，使学生能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。任务一：新知导入，问题驱动。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。小结与复习1.回顾锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.巩固30°，45°，60°角的三角函数值。 3.巩固由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。1.会求锐角三角函数。 2.能由已知锐角的三角函数值求锐角 3.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。任务一：回顾旧知，进行单元复习。 任务二：习题检测，查漏补缺。
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分课时教学设计
第三课时《正弦与余弦》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是初中数学九年级上册的一个重要内容，属于锐角三角函数的一部分。教材通过类比锐角的正弦概念，引导学生探究锐角的余弦概念。在直角三角形中，当一个锐角固定时，它的邻边与斜边的比值是一个定值，这个比值被定义为该锐角的余弦。教材通过详细的探究和讨论，帮助学生理解余弦函数的定义及其性质，并为余弦函数在解直角三角形中的应用做铺垫。
学习者分析 学生在本节课之前已经学习了锐角的正弦概念，对直角三角形的边角关系有了一定的认识。然而，由于学生初次接触角度与数值之间的对应关系，理解起来可能存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要注重类比和探究，通过具体的例子和图形帮助学生理解余弦函数的定义和性质。同时，考虑到学生的基础差异，需要设计不同层次的练习题，以满足不同学生的学习需求。
教学目标 1.理解锐角余弦的概念，掌握余弦函数的定义和计算方法，能够运用余弦函数解决相关问题。 2.理解锐角正弦与余弦的关系，求特殊角的余弦值。 3.用计算器求锐角的余弦值。 4.通过类比和探究，培养学生的观察、比较、分析和概括能力，提高学生的数学思维能力。 5.激发学生对数学的兴趣和热情，培养学生的探究精神和创新意识。
教学重点 理解锐角余弦的概念，掌握余弦函数的定义和计算方法。
教学难点 理解角度与数值之间的对应关系，能够灵活运用余弦函数解决相关问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾 在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα. sin= 计算： 30°45°60°sin
学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 探究 如图， △ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F = 90°， 则=成立吗？ 为什么？ 教师讲授： 法一：解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴∠B=∠E . 从而sinB=sinE. 因此=. 法二：解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴△ABC∽△DEF(两角分别相等的两个三角形相似). 从而=. 因此=. 教师讲授：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 教师讲授：在直角三角形中， 我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦（cosine）， 记作cosα. cos= 动脑筋 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别记作a,b,c.∠A,∠B的正弦值是什么？ ∠A,∠B的余弦值是什么？它们有什么关系？ 教师讲授： sinAsinBcosAcosB
sinA=cosB,sinB=cosA 思考：∠A=,∠A与∠B互余，你能用只含角的式子表示sinA=cosB,cosA=sinB吗？ 教师讲授：sin=cos(90°-)，cos=sin(90°-)学生活动2： 认真思考，进行证明 认真听讲，利用锐角的对边与斜边的比值是一个常数进行证明 认真听讲，利用相似三角形进行证明 认真听讲，了解到角α的邻边与斜边的比值是一个常数 学生认真听讲，理解余弦的概念和如何求余弦值 学生认真思考，合作交流 学生认真听讲，了解锐角正弦与余弦的关系 学生认真思考，完成思考题 学生认真听讲 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精析教师活动3： 例3求cos30°,45°,cos60°的值. 解: cos30°=sin(90°-30°)=sin60°=， cos45°=sin(90°-45°)=sin45°=， cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=. 教师讲授：求一般锐角 α 的余弦值 求 50°角的正弦值， 可以在计算器上依次按键 显示结果为 0.6427…. 已知余弦值,求对应锐角 已知sinα=0.8661，依次按键 显示结果为 29.9914…， 表示角 α 约等于 30°. 例4计算：cos30°60°+cos245°的值. 解：cos30°60°+cos245° = =学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真听讲，了解如何求一般锐角 α 的余弦值 学生认真听讲，了解已知余弦值,如何求求对应锐角 独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授： 在直角三角形中， 我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦（cosine）， 记作cosα. cos= 30°45°60°sincos
学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosA的值是(　　) A. B. C. D. 2.已知α是锐角，cosα＝，则α等于 ． 3. sin60°cos30°－＝________． 选做题： 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，那么cosA的值等于( ) A. B. C. D. 5.已知α为锐角， cosα＝sin50°，则α等于(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° 6.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝ ． 【综合拓展类作业】 计算：(1)cos30°－cos45°－cos60°； (2)2cos245°＋cos260°－3cos230°.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.对于锐角∠A，∠B，如果sinA＝cosB，那么∠A与∠B的关系一定满足(D) A．∠A＝∠B B．∠A＋∠B＝45° C．∠A＋∠B＝60° D．∠A＋∠B＝90° 2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosB＝，则BC＝ ． 3.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cosA＝________． 【综合拓展类作业】 设是任一锐角，求证：sin2+cos2=1.
教学反思 在今后的教学中，要更加注重学生的自主性和探究精神的培养，多给学生留出思考的时间和空间，鼓励学生自主发现问题和解决问题。同时教师要不断提高自己的语言表达能力，使课堂语言更加精炼和生动，以吸引学生的注意力和提高理解效果。 并且教师要进一步优化板书设计，使板书更加简洁明了，突出重点和难点，提高视觉效果。同时，要善于利用多媒体等现代教学手段，丰富教学内容和形式，提高学生的学习兴趣和积极性。
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