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罗湖区中考备考“百师助学”课程之《将军饮马与最值问题》
深圳市红桂中学 陈伟钊
一、内容分析
最值问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”以及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”、三角形三边关系为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本专题以“将军饮马模型”为载体开展对最值问题的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”以及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”、三角形三边关系问题．
二、学情分析
作为初中生，在解决最值问题这方面的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手．
三、教学任务分析
1.教学目标
能利用轴对称、平移解决最值问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感．
2.教学重点
利用轴对称、平移等变换将线段和、差最值问题转化为“两点之间，线段最短”“垂线段最短”、三角形三边关系问题．
四、教学过程
步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
模型一：两定一动 【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 例题：在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接， 的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积． 跟进练习： 1、（2008年深圳中考第14题）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是　　． 2、（2010年深圳中考第22题)如图所示，抛物线y＝ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； 3、（2012年深圳中考第22题）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）． （1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE； （3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？ （4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标． 4、（2014年深圳中考第22题）如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC＝4CA，连接BD． （1）求⊙M的半径； （2）证明：BD为⊙M的切线； （3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大． 教师提问:求线段和最小值，线段差最大值的原理 师生一起解答例题 教师巡视学生解题情况，答疑解惑 学生探讨思考原理。 师生一起解答例题 学生先独立思考后，再相互探讨 学生通过问题分析其原理，掌握求最值的原理并通过题目加以检验、巩固
模型二：一定两动 【问题1】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小 【问题2】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小 例题：如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ． 跟进练习： 1、如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=6，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． 2、（2023下·湛江·二模）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标； （3）试求出AM+AN的最小值． 4、（2023·西安·二模）如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ． 师生一起解答例题 教师巡视学生解题情况，答疑解惑 学生探讨思考原理 师生一起解答例题 学生先独立思考后，再相互探讨 学生通过问题分析其原理，掌握求最值的原理并通过题目加以检验、巩固
模型三：两定两动 【问题1】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值 【问题2】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小 【问题3】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求四边形ABNM周长的最小值 例题1：如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为　 　。 例题2：如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ． 跟踪练习： 如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为 ． 2、（2011年深圳中考第23题）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由； 3、（2019年深圳中考第22题）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． 师生一起解答例题 教师巡视学生解题情况，答疑解惑 学生探讨思考原理 师生一起解答例题 学生先独立思考后，再相互探讨 学生通过问题分析其原理，掌握求最值的原理并通过题目加以检验、巩固
板书设计 解题思路： 确定动点运动轨迹 求出定点关于运动轨迹的对称点 由两点确定函数表达式 （或由两点距离公式求出线段和最小值） 联立运动轨迹的函数表达式求出交点坐标 教师引导，学生总结解题思路 学生总结解题思路

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