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第四章 一元一次不等式（组）
4.3.1一元一次不等式的解法
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
典例分析
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
08
板书设计
01
教学目标
1.理解一元一次不等式的概念，知道其标准形式 。
2.掌握解一元一次不等式的基本方法，并能熟练求解 。
3.理解不等式的解与解集的概念 。
4.通过类比一元一次方程的解法，引导学生掌握一元一次不等式的解法。
5.激发学生学习数学的兴趣，体会不等式解集的奇异数学美。
02
新知导入
1.一元一次方程的基本概念是什么？
一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程。
2.一元一次方程的求解步骤是什么？
①识别方程类型②移项③合并同类型④求解未知数⑤检验解的正确性⑥写出最终解
3.一元一次不等式的概念是什么？
03
新知讲解
一、一元一次不等式概念
已知一台升降机的最大载重量是 1 200 kg， 在一名重 75 kg 的工人乘坐的情况下， 它最多能装载多少件 25 kg 重的货物？
分析数量关系：工人重+ 货物重≤ 最大载重量
设未知数：设能载x 件 25 kg 重的货物
列不等式：75 ＋ 25x ≤ 1 200 ①
像这样的不等式叫做什么？
概念：像 75 ＋ 25x ≤ 1 200 这样， 含有一个未知数， 且含未知数的项的次数是 1的不等式， 称为一元一次不等式。
03
新知讲解
一、一元一次不等式的概念
求解一元一次不等式的步骤是什么？如：75 ＋ 25x ≤ 1 200
类比一元一次方程，根据不等式的基本性质，可有如下步骤：
移项：25x ≤ 1 200 － 75
合并同类型： 25x ≤ 1 125 ②
求解未知数：将②式两边都除以 25（即将 x 的系数化为 1）， 得：
x ≤ 45
检验、写出最终解：升降机最多装载 45 件 25 kg 重的货物.
03
新知讲解
一、一元一次不等式的概念
此不等式75 ＋ 25ｘ ≤ 1 200的解唯一吗？
不唯一，
因此把满足一个不等式的未知数的每一个值， 称为这个不等式的一个解．
例如， 5.4， 6， 都是 3x > 15 的解， 这样的解有无数个.
把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集．
例如我们用 x > 5表示 3x > 15 的解集.
求一个不等式的解集的过程称为解不等式．
03
新知讲解
一、一元一次不等式的概念
今后我们在解一元一次不等式时， 将利用前面讲述的不等式的基本性质，
将原不等式化成形如 x ≤ a （或 x ＜ a ， x ＞a ， x ≥ a）的不等式， 就可得到原不等式的解集．
03
新知讲解
二、解一元一次方程和一元 一次不等式的异同点
依据 相同点 ①两者都是基于数学中的等式和不等式的基本性质进行求解；
②都需要对原式进行移项、合并同类项等基本操作来简化问题。
不同点 ①一元一次方程依据的是等式性质，即等式两边同时做相同的运算，等式仍然成立；
②一元一次不等式依据的是不等式性质，特别需要注意的是，当乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化。
03
新知讲解
二、解一元一次方程和一元 一次不等式的异同点
步骤 相同点 ①两者都需要首先识别问题的类型，确认是一元一次方程还是一元一次不等式；
②都需要进行移项和合并同类项的操作来简化问题；
③在求解后，都需要对解进行检验（尽管在解一元一次方程时，这一步有时可以省略，但在解一元一次不等式时，由于解集可能是一个区间或数集，检验通常更为必要）。
不同点 ①在解一元一次方程时，目标是找到一个具体的数作为解。
而在解一元一次不等式时，目标是找到一个满足不等式的数的集合作为解集；
②在处理不等式时，需要特别注意不等号的方向。
当乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化，这是解一元一次不等式时独有的步骤；
③解一元一次方程通常有一个唯一的解（除非方程无解或有无穷多解），
而解一元一次不等式则可能有一个区间、一个数集或空集作为解集。
04
典例分析
例1：解下列一元一次不等式：
（1） 2 －5x ＜ 8 － 6x； （2）+1≤x
解 （1） 移项， 得： － 5x＋ 6x＜ 8－ 2，即 x ＜ 6.
（2） 去分母， 得：2（ x －5 ） ＋ 1 × 6 ≤ 9x
去括号， 得：2x －10 ＋ 6 ≤ 9x
移项， 得：2x － 9x ≤ 10－ 6
合并同类项， 得：-7x ≤4
两边都除以-7， 得：x≥ -
与解一元一次方程类似，有分母要去分母，有括号要去括号.
05
课堂练习
1.下列不等式中,是一元一次不等式的是 (　　)
A.2x-3y>4 B.-2<3
C.3x-1<0 D.y2-3>2
2. 下列哪个数是不等式2(x-1)+3<0的一个解 (　　)
A.-3 B.- C. D.2
3.关于x的方程5-a(1-x)=8x-(3-a)x的解是负数,则a的取值范围是(　　)
A.a<-4 B.a>5
C.a>-5 D.a<-5
C
A
【知识技能类作业】必做题：
B
05
课堂练习
4.不等式2x+9≥3(x+2)的解集是 (　　)
A.x≤3 B.x≤-3
C.x≥3 D.x≥-3
5.下列x的值不是不等式﹣2x+4＜0的解，答案是（　　）
A.﹣2
B.3
C.3.5
D.10
A
【知识技能类作业】选做题：
A
05
课堂练习
6.解不等式: (1)3(x+1)<4(x-2)-3; (2)+1>x-3.
解:(1)去括号,得3x+3<4x-8-3,
移项,得3x-4x<-11-3,
合并同类项,得-x<-14,
系数化为1,得x>14.
【综合拓展类作业】
(2)去分母,得x-5+2>2x-6,
移项,得x-2x>-6+5-2,
合并同类项,得-x>-3,
系数化为1,得x<3.
06
课堂小结
一元一次不等式的解法
1.一元一次不等式的概念：
含有一个未知数， 且含未知数的项的次数是 1的不等式， 称为一元一次不等式。
2.一元一次方程和一元一次不等式的异同点：
从依据和步骤两方面讨论异同点
07
作业布置
1.下列数值中,不是不等式5x≥2x+9的解的是 (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
2.下列说法正确的是 (　　)
A.5是不等式x+5>10的解 B.x<5是不等式x-5>0的解集
C.x≥5是不等式-x≤-5的解集 D.x>3是不等式x-3≥0的解集
3.不等式2x+1＜8的最大正整数解是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
D
C
【知识技能类作业】必做题：
C
07
作业布置
4.关于x的不等式(m+1)x≥m+1 ，下列说法正确的是（ ）
A. 解集为x≥1
B. 解集为x≤1
C. 解集为x取任何实数
D. 无论x取何值，不等式肯定有解
【知识技能类作业】选做题：
D
07
作业布置
5.已知a +1> 0，2a -2<0.
（1）求a的取值范围.
（1）解：解不等式a+1>0，可得a>-1；
解不等式2a-2<0，可得a<1，
∴a的取值范围为-1【综合拓展类作业】
07
作业布置
5.已知a +1> 0，2a -2<0.
（2）若a - b = 3，求a +b的取值范围.
（2）解：∵a-b=3，
∴a=b+3，
∴-1∴-4∵-1∴-5【综合拓展类作业】
08
板书设计
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的概念
一元一次方程和一元一次不等式解法的异同点
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分课时教学设计
第一课时《 4.3.1一元一次不等式的解法》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课属于一元一次不等式解法的基础内容，在此前已经介绍了一元一次方程和不等式的基本性质，为本节课的学习提供了必要的基础。教学内容主要包括一元一次不等式的概念、解与解集的概念。所以本节内容注重知识的连贯性和系统性，通过类比一元一次方程的解法，使学生更容易理解和掌握一元一次不等式的解法。同时，教材也注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
学习者分析 学生在此之前已经学习了等式的基本性质、一元一次方程的解法，对代数运算有了一定的掌握，这为学习一元一次不等式的解法提供了基础。且八年级学生处于逻辑思维发展的关键时期，他们开始能够理解较为抽象的数学概念，但仍需借助具体实例和直观教学手段来加深理解。而学生可能出现的问题是对不等式性质的理解可能不够深入，容易与等式性质混淆，在解题过程中可能缺乏耐心和细心，导致运算错误或遗漏步骤。所以需要关注学生的知识基础、认知发展以及学习难点和易错点，制定有效的教学策略，以期达到预期的学习效果。同时，通过及时的评估和反馈，帮助学生巩固所学知识并提高数学应用能力。
教学目标 1.理解一元一次不等式的概念，知道其标准形式 。 2.掌握解一元一次不等式的基本方法，并能熟练求解 。 3.理解不等式的解与解集的概念 。 4.通过类比一元一次方程的解法，引导学生掌握一元一次不等式的解法。 5.激发学生学习数学的兴趣，体会不等式解集的奇异数学美。
教学重点 掌握一元一次不等式的解法。
教学难点 不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向改变。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 1.一元一次方程的基本概念是什么？ 一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程。 2.一元一次方程的求解步骤是什么？ ①识别方程类型②移项③合并同类型④求解未知数⑤检验解的正确性⑥写出最终解 3.一元一次不等式的概念是什么？学生活动1： 学生根据所学知识回答问题活动意图说明： 通过回顾一元一次方程的相关内容，引出课题《一元一次不等式的解法》。环节二：新知讲解教师活动2： 一、一元一次不等式的概念 已知一台升降机的最大载重量是 1 200 kg， 在一名重 75 kg 的工人乘坐的情况下， 它最多能装载多少件 25 kg 重的货物？ 分析数量关系：工人重+ 货物重≤ 最大载重量 设未知数：设能载x 件 25 kg 重的货物 列不等式：75 ＋ 25x ≤ 1 200 ① 像这样的不等式叫做什么？ 概念：像 75 ＋ 25x ≤ 1 200 这样， 含有一个未知数， 且含未知数的项的次数是 1的不等式， 称为一元一次不等式。求解一元一次不等式的步骤是什么？如：75 ＋ 25x ≤ 1 200 类比一元一次方程，根据不等式的基本性质，可有如下步骤： 移项：25x ≤ 1 200 － 75 合并同类型： 25x ≤ 1 125 ② 求解未知数：将②式两边都除以 25（即将 x 的系数化为 1）， 得： x ≤ 45 检验、写出最终解：升降机最多装载 45 件 25 kg 重的货物. 此不等式75 ＋ 25x ≤ 1 200的解唯一吗？ 不唯一， 因此把满足一个不等式的未知数的每一个值， 称为这个不等式的一个解． 例如， 5.4， 6，都是 3x > 15 的解， 这样的解有无数个. 把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集． 例如我们用 x > 5表示 3x > 15 的解集. 求一个不等式的解集的过程称为解不等式． 今后我们在解一元一次不等式时， 将利用前面讲述的不等式的基本性质， 将原不等式化成形如 x ≤ a （或 x ＜ a ， x ＞a ， x ≥ a）的不等式， 就可得到原不等式的解集．学生活动2： 多媒体出示问题由学生上台作答并小组讨论其数据的规律，讨论过程中教师进行引导，了解学生的差异性，讨论结束后由学生总结规律，最后多媒体出示一元一次不等式的相关概念. 活动意图说明： 在本环节通过小组讨论可提高学生团队合作意识，提高解决问题的能力环节三：新知讲解教师活动3： 二、解一元一次方程和一元一次不等式的异同点 依据： 1.相同点：①两者都是基于数学中的等式和不等式的基本性质进行求解； ②都需要对原式进行移项、合并同类项等基本操作来简化问题。 2.不同点：①一元一次方程依据的是等式性质，即等式两边同时做相同的运算，等式仍然成立； ②一元一次不等式依据的是不等式性质，特别需要注意的是，当乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化。 步骤： 1.相同点：①两者都需要首先识别问题的类型，确认是一元一次方程还是一元一次不等式； ②都需要进行移项和合并同类项的操作来简化问题； ③在求解后，都需要对解进行检验（尽管在解一元一次方程时，这一步有时可以省略，但在解一元一次不等式时，由于解集可能是一个区间或数集，检验通常更为必要）。 2.不同点：①在解一元一次方程时，目标是找到一个具体的数作为解。 而在解一元一次不等式时，目标是找到一个满足不等式的数的集合作为解集； ②在处理不等式时，需要特别注意不等号的方向。 当乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化，这是解一元一次不等式时独有的步骤； ③解一元一次方程通常有一个唯一的解（除非方程无解或有无穷多解）， 而解一元一次不等式则可能有一个区间、一个数集或空集作为解集。学生活动3： 引导学生回顾一元一次方程的相关知识，由学生发言，然后再由小组讨论其区别与联系，师生共同归纳。活动意图说明： 学生通过自主探究可提高独立思考问题的能力。环节四：典例精析教师活动4： 例1：解下列一元一次不等式： （1） 2 －5x ＜ 8 － 6x； （2）+1≤x 解 （1） 移项， 得： － 5x＋ 6x＜ 8－ 2，即 x ＜ 6. （2） 去分母， 得：2（ x －5 ） ＋ 1 × 6 ≤ 9x 去括号， 得：2x －10 ＋ 6 ≤ 9x 移项， 得：2x － 9x ≤ 10－ 6 合并同类项， 得：-7x ≤4 两边都除以-7， 得：x≥ - 与解一元一次方程类似，有分母要去分母，有括号要去括号.学生活动4： 学生根据本节课知识完成问题活动意图说明： 通过练习加深本节课知识，并能正确运用。
板书设计 4.3.1一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是 (　C　) A.2x-3y>4 B.-2<3 C.3x-1<0 D.y2-3>2 2. 下列哪个数是不等式2(x-1)+3<0的一个解 (　A　) A.-3 B.- C. D.2 3.关于x的方程5-a(1-x)=8x-(3-a)x的解是负数,则a的取值范围是(　B　) A.a<-4 B.a>5 C.a>-5 D.a<-5 选做题： 4.不等式2x+9≥3(x+2)的解集是 (　A　) A.x≤3 B.x≤-3 C.x≥3 D.x≥-3 5.下列x的值不是不等式﹣2x+4＜0的解，答案是（　A　） A.﹣2 B.3 C.3.5 D.10 【综合拓展类作业】 6.解不等式: (1)3(x+1)<4(x-2)-3; (2)+1>x-3. 解:(1)去括号,得3x+3<4x-8-3, 移项,得3x-4x<-11-3, 合并同类项,得-x<-14, 系数化为1,得x>14.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列数值中,不是不等式5x≥2x+9的解的是 (　D　) A.5 B.4 C.3 D.2 2.下列说法正确的是 (　C　) A.5是不等式x+5>10的解 B.x<5是不等式x-5>0的解集 C.x≥5是不等式-x≤-5的解集 D.x>3是不等式x-3≥0的解集 3.不等式2x+1＜8的最大正整数解是（　C　） A.1 B.2 C.3 D.4 选做题： 4.关于x的不等式(m+1)x≥m+1，下列说法正确的是（ D ） A. 解集为x≥1 B. 解集为x≤1 C. 解集为x取任何实数 D. 无论x取何值，不等式肯定有解 【综合拓展类作业】 5.已知a +1> 0，2a -2<0. （1）求a的取值范围. （2）若a - b = 3，求a +b的取值范围. （1）解：解不等式a+1>0，可得a>-1； 解不等式2a-2<0，可得a<1， ∴a的取值范围为-1教学反思 本节课成功地将一元一次方程与一元一次不等式进行了有效的衔接，通过类比教学，使学生能够快速理解并掌握不等式的解法，降低了学习难度。课堂互动良好 ：通过提问、讨论和小组合作等方式，课堂气氛活跃，学生积极参与，有效提高了学生的学习兴趣和参与度。时间把控不够精准 ：在引入新知和例题讲解环节，时间分配略显紧张，导致部分学生可能对某些知识点理解不够深入，所以在未来的教学中，我将更加精细地规划每个环节的时间，确保每个知识点都能得到充分的讲解和练习。个别学生理解困难 ：尽管大部分学生能够掌握不等式的解法，但仍有个别学生在理解上存在困难，需要更多的个别指导和辅导，所以针对理解困难的学生，我将提供更多的个别指导和辅导，帮助他们克服学习障碍，提高学习效果。
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