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第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程（第三课时）
通过建立方程模型解决球赛积分问题，初步掌握从表格中获得信息的方法，提升模型观念，增强应用意识。
上节课，我们一起探究了用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——销售中的盈亏问题，今天，我们来探究——球赛积分表问题。
积分问题多出现在球赛和知识竞赛中，赛事的规则不同，积分也不一样．解决这类问题的关键是弄清比赛积分规则．
探究：球赛积分表问题
某次篮球联赛积分
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
你能从表格中了解到哪些信息？
前进队在比赛中胜了10场
钢铁队在比赛中一场也没胜
雄鹰队在比赛中一共得了21分
……
想一想：积分与哪些量有关呢？
积分与胜、负场数有关
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（1）胜一场和负一场各积多少分？
分析 ：(1)观察表，从最下面一行数据可以看出，负一场积1分。
设胜一场积x分，由表中其他任何一行可以列方程，求出x的值
例如，由第一行得方程
10x+1×4=24
解得 x=2
用表中其他行可以验证，得出结论：胜一场积2分，负一场积1分。
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系.
（2）若一支球队胜m场，则负（14 m）场，胜场积分为2m，负场积分为14 m，总积分为
2m+(14 m)
即
m+14
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
（3）设一支球队胜了y场，则负了（14 y）场。若这支球队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程
2y=14 y
解得
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
想一想，y 表示什么量？它可以不取整数吗？由此你能得出什么结论？
解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际．因为y(所胜的场数)的值必须是整数，所以不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分.
这个问题说明：
1.用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。
2.利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断.
【知识技能类作业】必做题：
1．第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ）
A．5道 B．6道 C．7道 D．8道
D
【知识技能类作业】必做题：
3．为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场．
解：设该队平了x场，则负了场．
由题意得
解得
则
答：该队负了1场．
【知识技能类作业】选做题：
4．小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了 个．
2
【综合拓展类作业】
5．为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
(1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
(2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由．
解：（1）根据题意，设计算对了道题，则不答或错了道题，
∴，解得，，
∴计算对了道题；
（2）不能，理由如下，由（1）可得，，
解得，，∵为正整数，∴小明的最后得分不能为，
∴不能．
球赛积分表问题
注意问题
等量关系
涉及公式
总积分＝胜场总积分＋平场总积分
＋负场总积分
比赛场数＝胜场数＋平场数＋负场数
比赛中胜、平、负一场的积分
【知识技能类作业】必做题：
1．一份数学试卷共23道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了道题．则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场
A．1 B．2 C．3 D．5
D
【知识技能类作业】必做题：
3．某校七年级班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A
B 18
C 14 6
【知识技能类作业】必做题：
解：因为共有题，参赛者B答错题，故答对题，
因为参赛者答对题答错题得分，
所以答对题得分，
设答错题扣分，
由参赛者的得分可得，，
解得，
所以答错题扣分，
设参赛者答对题，
由题意得，，
解得．
故参赛者答对题，答错题．
【知识技能类作业】选做题：
4．第22届世界杯足球赛在卡塔尔开幕，已知在组的前9场比赛中，某队保持连续不败，共积25分．根据比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，输一场不计分，那么该队共有 场比赛是平局．
1
【综合拓展类作业】
5．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况：
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 18 2 86
C 15 5 65
请结合表中所给数据，回答下列问题：
(1)本次知识问答中，每答对一题加____分，每答错一题减____分；
(2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分；
5
2
解：小明的得分：分
【综合拓展类作业】
5．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况：
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 18 2 86
C 15 5 65
请结合表中所给数据，回答下列问题：
(3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）；
A．75；B．63；C．56；D．44。并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题）
D
【综合拓展类作业】
解：设他答对道题，则答错道题．
A．若，解得，故不符合题意；
B．若，解得，故不符合题意；
C．若，解得，故不符合题意；
D．若，解得，符合题意；
答：小刚同学答对了12道题．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十课时《5.3 实际问题与一元一次方程（第三课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课学习的是利用方程解决实际生活中的球赛积分表问题，这是在学生学习了一般性应用问题的基础上展开的应用探究，这些问题学生的生活更贴近，但其中的等量关系也更隐蔽，从实际问题到方程问题的抽象过程更复杂，列方程解应用题体现了现实世界中事物的相互联系，学生从这些联系中看问题的同时也为今后学习函数奠定了基础。
学习者分析 通过前面的学习，学生大部分已掌握了利用一元一次方程解决一般性实际问题的方法和步骤，体会了数学建模思想，具备了进一步研究较复杂的实际问题能力。
教学目标 通过建立方程模型解决球赛积分问题，初步掌握从表格中获得信息的方法，提升模型观念，增强应用意识。
教学重点 阅读、分析表格并从表格中提取信息，进而建立方程模型，解决问题。
教学难点 找出相等关系并列一元一次方程解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 通过建立方程模型解决球赛积分问题，初步掌握从表格中获得信息的方法，提升模型观念，增强应用意识。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 导言：上节课，我们一起探究了用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——销售中的盈亏问题，今天，我们来探究——球赛积分表问题。 指出：积分问题多出现在球赛和知识竞赛中，赛事的规则不同，积分也不一样．解决这类问题的关键是弄清比赛积分规则．学生活动2： 学生认真听老师的讲解活动意图说明： 指出本课所要解决的问题及需要注意的事项环节三：新知讲解教师活动3： 探究：球赛积分表问题 某次篮球联赛积分 提问：你能从表格中了解到哪些信息？ 预设：前进队在比赛中胜了10场 雄鹰队在比赛中一共得了21分 钢铁队在比赛中一场也没胜 …… 想一想：积分与哪些量有关呢？ 预设：积分与胜、负场数有关 （1）胜一场和负一场各积多少分？ （2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. （3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 分析 ：(1)观察表，从最下面一行数据可以看出，负一场积1分。 设胜一场积x分，由表中其他任何一行可以列方程，求出x的值 例如，由第一行得方程 10x+1×4=24 解得x=2 用表中其他行可以验证，得出结论：胜一场积2分，负一场积1分。 （2）若一支球队胜m场，则负（14 m）场，胜场积分为2m，负场积分为14 m，总积分为 2m+(14 m) 即 m+14 （3）设一支球队胜了y场，则负了（14 y）场。若这支球队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程 2y=14 y 解得 思考：想一想，y 表示什么量？它可以不取整数吗？由此你能得出什么结论？ 预设：解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际．因为y(所胜的场数)的值必须是整数，所以不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分. 归纳：这个问题说明： 1.用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。 2.利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断.学生活动3： 学生认真审题，观察积分表，思考老师提出的问题，小组讨论交流，班级内汇报，然后听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过探究，使学生会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息；掌握解决“球赛积分表”这一类问题的一般方法，并根据方程解的情况对实际问题作出判断；感受方程与生活的密切联系，增强应用意识环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：5.3 实际问题与一元一次方程（第三课时） 等量关系 比赛场数＝胜场数＋平场数＋负场数 二、公式 总积分＝胜场总积分＋平场总积分＋负场总积分 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 答案：D 3．为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场． 解：设该队平了x场，则负了场． 由题意得 解得 则 答：该队负了1场． 选做题： 4．小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了 个． 答案：2 【综合拓展类作业】 5．为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题： (1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？ (2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由． 解：（1）根据题意，设计算对了道题，则不答或错了道题， ∴， 解得，， ∴计算对了道题； （2）不能，理由如下， 由（1）可得，， 解得，， ∵为正整数， ∴小明的最后得分不能为， ∴不能．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．一份数学试卷共23道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了道题．则下列所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场 A．1 B．2 C．3 D．5 答案：D 3．某校七年级班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者答对题数答错题数得分ABC
解：因为共有题，参赛者B答错题，故答对题， 因为参赛者答对题答错题得分， 所以答对题得分， 设答错题扣分， 由参赛者的得分可得，， 解得， 所以答错题扣分， 设参赛者答对题， 由题意得，， 解得． 故参赛者答对题，答错题． 补全表格如下： 参赛者答对题数答错题数得分ABC
选做题： 4．第22届世界杯足球赛在卡塔尔开幕，已知在组的前9场比赛中，某队保持连续不败，共积25分．根据比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，输一场不计分，那么该队共有 场比赛是平局． 答案：1． 【综合拓展类作业】 5．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生答对题数答错题数得分A200100B18286C15565
请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 解：（1）答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题．
教学反思 学生通过前面的学习，能够用方程解决简单的数学问题，但像球赛积分表与生活结合度较高、复杂的综合性问题还缺乏必要的分析、理解、分类、比较、验证等解决问题的能力，因此，在教学过程中从已有的经验出发，从易到难、分散难点、逐步引导、缓慢渗透分类验证思想和方程建模思想，以提高学生的建模思想和应用意识。
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