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教学设计
课题 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析 通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的代数表示，理解两个复数相等的概念。
学情分析 学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，本节引入虚数单位i，可以解决一些在实数集上无法解决的问题。
学习目标 1.通过回忆数系的扩充过程，知道引进虚数单位i的必要性． 2.通过教师讲解，理解复数的概念、代数形式及相关概念． 3.通过典例及练习，掌握复数的分类及复数相等求参．
重难点 1.通过回忆数系的扩充过程，知道引进虚数单位i的必要性． 2.通过教师讲解，理解复数的概念、代数形式及相关概念．
教学和活动过程 （一）创设情境，引入新课 1. 数系经历了哪些扩充过程？（提问学生）
用图形表示正整数集N*、自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R之间的关系。（展示） 设计意图：从学生已有的认知入手，激发学生对数系扩充过程的兴趣，培养学生的归纳、概括与表达能力。
2.复数的引入 问题1：我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？ 设计意图：通过梳理数的发展史，抓住知识点的“生长点”和学生的“最近发展区”，使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两方面原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要。 问题2：可以看出，数系的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加 “新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有新运算，数集中的数只是一个个孤立的符号.加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算（减法、除法运算分别可以转化成加法、乘法运算）. 梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的“性质”有一致性吗？由此，你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？ 师生活动：教师引导分析，从自然数集扩充到整数集时，原来在自然数集中规定的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中仍然成立；从整数集到有理数集以及从有理数集到实数集的扩充中，加法和乘法满足的 “性质”，教师特别强调从有理数集扩充到实数集满足的“性质”，总结这些性质的一致性，得出数系的扩充“规则”：数系扩充过程后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 设计意图：梳理数系扩充过程和方法的“一致性”，总结数系扩充的一般“规则”，为后续数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点。 问题3：方程在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个过程有解吗？ 可以添加一个新数，对实数系进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法和乘法运算，与实数集中的加法和乘法运算协调一致，并且运算律保持不变.引入一个什么样的数呢？ 师生活动：通过课件介绍虚数的引入历史，并给出虚数单位的概念。 设计意图：教师介绍与虚数单位i有关的历史，激发学生的兴趣，强化对i的认识。 问题4：数学家欧拉引入新数i，（imaginary想象的、假象的首字母）规定。则i是方程的解。把新引进的数i添加到实数集中后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充.那么，实数系扩充后，得到的新数系由哪些数组成？ 教师引导，可以类比有理数系扩充到实数系的过程与方法，以及实数系中新数的形式，如等，让学生举出关于实数与虚数单位i进行四则运算的例子，类似于3i，1+i，3-i，2+3i等具体的数.教师引导学生归纳：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i经过适当“组合”而成的，构成方法就是将实数和i进行运算，组成新数，这里主要进行实数和虚数i之间的加法和乘法运算. 实数可以与进行加法和乘法运算： 实数与相加记为： 实数与相乘记为： 实数与实数和相乘的结果相加记为： （二）探究新知 1.复数的有关概念： （1）我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，。
（2）全体复数所构成的集合叫做复数集，用大写字母表示。 （3）复数的代数形式： 复数通常用小写字母表示，即,这一表示形式叫做复数的代数形式，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部。
（易混点：虚部是b不是bi）。 设计意图：梳理数系扩充和方法的 “一致性”，总结数系扩充的一般“规则”，为后续数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点. 练习 1.请找出下列复数的实部和虚部：
练习2.课本70页第1题
设计意图：通过提问口答，认清复数的实部和虚部。 2、复数的分类 对于复数 当且仅当时，复数表示实数 当时，复数叫做虚数 当且时，复数叫做纯虚数 用图示法将复数集、实数集、虚数集和纯虚数集的关系。 练习 1.说出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数
练习2.课本70页第2题 设计意图：通过提问口答，巩固复数的分类和标准。 3、复数相等的充要条件 实数能相等，那么复数能相等吗？
（注：两个虚数不能比大小，只有实数能比较大小） 练习：若a-2i=bi+1，a，b∈R，则a2+b2=__________ 设计意图：知道复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解,并为复数的几何意义的理解打好基础. （三）游戏环节
通过学生参与中设计的游戏，对所学的概念进行辨析。 1.若a,b为实数，则a+bi为虚数。(错) 2.若b为实数，则bi为纯虚数。(错) 3.若a为实数，则z=a一定不是虚数。(对) 4.复数的实部不存在，虚部为0.(错) 5.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数相等。(对) 设计意图：通过游戏积分，两人对决，激发学生的学习兴趣，掌握概念中的易混易错点。 （三）应用举例 【例1】实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数. 设计意图：巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解。 （四）达标检测 1.当实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 设计意图：通过学生演板，考察学生对复数基本概念和复数的分类标准的理解。 2.求满足下列条件的实数x,y的值。 (1)（x+y）+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i (2)(x+y-3)+(x-2)i=0 设计意图：通过学生演板，考察学生利用两个复数相等的含义解决简单数学问题的能力。 （五）课堂小结 知识方面： 本节课我们了解了数系的扩充“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算与原数系中的加法运算和乘法运算协调一致； 复数的基本概念（复数、实部、虚部、虚数、纯虚数等）、两个复数相等的含义、复数的分类等； 思想方法方面：实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法，解决复数相等问题运用了转化的数学思想等； 经验：研究新的数学问题可以类比已学过的问题. 设计意图：通过对数系扩充规则、扩充过程以及复数相关概念等知识和方法的总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识，一方面深化对复数知识的理解，另一方面总结研究方法，积累研究数学问题的经验. （六）课后作业 课本70页习题第3题、学习指导58、59页。 设计意图：巩固复数的概念，复数的分类及复数的相等。
（七）板书设计 学习目标： 1. 2. 3. 课题：数系的扩充和复数的概念 复数的概念 复数的分类 复数的相等 例题 学生演板 达标检测
（八）作业 课本70页习题第3题，学习指导58、59页
（九）特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写） 游戏引入—通过游戏让学生感受数学的乐趣，掌握概念中的易混易错点； —呈现课件；
（十）教学反思与改进 （1）板书上的字体有待改进； （2）要让学生感受到数学源于生活，又服务于生活，并培养学生的创新思维； （3）应当结合单元教学，让学生将前（向量）后（四则运算）知识串联起来，形成一个较完整地系统； （4）应注意学生演板过程中的解题步骤，严格要求，规范书写。

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