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九年级数学上点拨与精练
第25章 概率初步
25.2.列举法和列表法求概率
学习目标
1 会用直接列举法、列表法列举所有可能出现的结果.
2 用列举法(列表法)计算简单事件发生的概率
老师告诉你
列表法一般适用于两个元素进行两步实验的题目，在列举可能的结果时，要分清“放回”与“不放回”两种情况。
一、知识点拨
知识点1 用枚举法求概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法.
【注意】用列举法求概率的前提有两个：
①所有可能出现的结果是有限个
②每个结果出现的可能性相等.
【新知导学】
例1 .如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　 　．
【对应导练】
1．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人.经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是( )
A. B. C. D.
2．某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山.若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为( )
A. B. C. D.
3．宋代陆游所作的哲理诗《冬夜读书示子聿》有如下四句：
①纸上得来终觉浅；
②少壮工夫老始成；
③绝知此事要躬行；
④古人学问无遗力.
这四句诗歌的顺序被打乱了，兰兰想把这几句诗歌调整为正确的顺序，则她第一次就调整正确的可能性大小是( )
A. B. C. D.
知识点2： 列表法求概率的步骤：
1）列表；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式，计算出事件的概率．
【新知导学】
例2 .同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_______________．
【对应导练】
1.小张和小王两人玩“剪刀、石头、布”游戏，当两人手势一样为平局．现在两人随机出手一次，则出现平局的概率为( )
A． B． C． D．
2．为了对学生进行消防安全教育,传播消防安全知识,某校计划将以下四张海报随机张贴在两个教室,每个教室张贴两张海报,则①③两张海报张贴在同一教室内的概率为_________________.
3．《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准：(2022年版)》正式发布,劳动课正式成为中小学的一门独立课程,日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生,B整理与收纳,C家用器具使用与维护,D烹饪与营养.学校为了较好地开设课程,对学生最喜欢的任务群进行了调查,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.
请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中,一共调查了__________名学生,其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有__________名,“D烹饪与营养”的男生有__________名；
(2)补全上面的条形统计图；
(3)求扇形统计图中“D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数；
(4)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者,请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率.
4．某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球,B：乒乓球,C：羽毛球,D：足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图(2)补充完整；
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
5．有甲、乙两个质地均匀的小正方体，每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，现抛郑这两个小正方体，记甲正方体朝上的面上的数字为点的横坐标，乙正方体朝上的面上的数字为点的纵坐标，那么点在直线上的概率为( ).
A. B. C. D.
二、题型训练
1.列举法求概率的应用
1. 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
2 .9张背面相同卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
列表法求概率在实际中的应用
3．在“阳光体育”活动时间,小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场比赛.
（1）.若已确定小英打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,求恰好选中小丽同学的概率;
（2）.用画树状图或列表的方法,求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率.
4．某校为了了解了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查调查，调查结果分为“非常了解“、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）.本次调查的学生共有　 　人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有　 人．
（2）.“非常了解”的4人中有两名男生，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图和列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
5．书法是我国的文化瑰宝，研习书法能培养高雅的品格．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用表示，并将测试结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题：
（1）本次抽取的学生人数是_________，扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是________．
（2）把条形统计图补充完整．
（3）若该学校共有2800人，等级达到优秀的人数大约有多少？
（4）A等级的4名学生中有3名女生1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
列表法求概率在游戏中的应用
6．某班甲、乙两名同学周末一同外出游玩，但游玩的景点两人意见不一致，于是用游戏的方式在大理古城与丽江古城中决定游玩的景点. 游戏规则如下：一个不透明袋子中装有质地完全相同的乒乓球共4个，分别标有数字，另一个不透明的袋子中装有质地完全相同的乒乓球共3个，分别标有数字. 甲从两个袋子中各摸出一个球，若两个球上的数字之和不大于4，则去大理古城；否则，去丽江古城.
(1)用画树状图或列表法列出所有可能的结果.
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.
7．小明、小军两同学做游戏，游戏规则是一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中随机取出一支笔（不放回），若两人取出的笔的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜.
（1）若小明先取笔，求他能取出红笔的概率；
（2）请用概率知识判断这个游戏是否公平，若不公平，你认为对谁有利？
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．从长为3,5,7,10的四条线段中任意选取三条作为边.能构成三角形的概率是( )
A. B. C. D.1
2．小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数.则小玲胜;点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是( )
A.此规则有利于小玲 B.此规则对两人是公平的
C.此规则有利于小丽 D.无法判断
4．点P的坐标是，先从这5个数中任取一个数作为x的值，再从余下的4个数中任取一个数作为y的值，则点在平面直角坐标系中第四象限内的概率是( )
A. B. C. D.
5．将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于的方程组,只有正数解的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6．一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球,这些球除颜色外完全相同,从袋子中随机摸出一个球,它是黄球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7．现有两枚质地均匀的正方体骰子,每枚骰子的六个面上都分别标有数字.同时投掷这两枚骰子,以朝上一面所标的数字为掷得的结果,那么所得结果之和为的概率是( ).
A.
B.
C.
D.
8．有甲、乙两个质地均匀的小正方体，每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，现抛郑这两个小正方体，记甲正方体朝上的面上的数字为点的横坐标，乙正方体朝上的面上的数字为点的纵坐标，那么点在直线上的概率为( ).
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．妈妈买了4块月饼,分别是2块五仁味和2块水果味,小明随意吃两块恰好都是水果味的概率是______.
10．将三支外观一样的签字笔放在桌子上，其中一支签字笔的笔芯中的墨水已写完，另两支签字笔的笔芯中的墨水还剩一半，三支笔从外观看毫无差别.若从中先后取两支笔，则恰好都是墨水还剩一半的两支的概率为____________.
11．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的，，三个队和县区学校的五个队.如果从四个队与四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是________.
12．给出下列函数：①；②；③.从中任取一个函数，则取出的函数符合条件“当时，函数值随的增大而减小”的概率是_________.
已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球,其中3个白球,4个黑球,若往口袋中再放入x个白球和y个黑球,从口袋中随机取出一个白球的概率是,则y与x之间的函数关系式为__________.
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．
(1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；
(2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或求打开的两盒都是巧克力味的概率．
15 .如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．
（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率_______；
（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．（用列表法表示）
16．某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法.为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）.对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有　　人，在扇形统计图中，的值是________；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
17．为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生总人数共有_________.
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是__________.
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率.
18．某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A.阅读数学名著；B.讲述数学故事；C.制作数学模型；D.参与数学游戏；E.挑战数学竞赛.为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；
③扇形统计图中圆心角______度；
（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；
（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率.
19．为庆祝中国共产党建党100周年，某校随机抽取了部分学生参加党史知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：A级为一等奖，B级为二等奖，C级为三等奖，D级为参与奖，现将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题.
(1)求表示B级的扇形圆心角的度数和获得D级的人数，并补全条形统计图；
(2)若全校有2100名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？
(3)本次竞赛获前五名的甲、乙、丙、丁、戊五位同学要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）.甲、乙两人先抽，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率.
九年级数学上点拨与精练
第25章 概率初步
25.2.列举法和列表法求概率
学习目标
1 会用直接列举法、列表法列举所有可能出现的结果.
2 用列举法(列表法)计算简单事件发生的概率
老师告诉你
列表法一般适用于两个元素进行两步实验的题目，在列举可能的结果时，要分清“放回”与“不放回”两种情况。
一、知识点拨
知识点1 用枚举法求概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法.
【注意】用列举法求概率的前提有两个：
①所有可能出现的结果是有限个
②每个结果出现的可能性相等.
【新知导学】
例1 .如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　 　．
【答案】2/3
【解析】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光所以P（灯泡发光）＝．
【对应导练】
1．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人.经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：用甲→乙→丙→甲→乙表示一种传球方法，
所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙→甲；
甲→乙→甲→乙→丙；
甲→乙→甲→丙→甲；
甲→乙→甲→丙→乙；
甲→乙→丙→乙→甲；
甲→乙→丙→乙→丙；
甲→乙→丙→甲→丙；
甲→乙→丙→甲→乙；
甲→丙→甲→乙→甲；
甲→丙→甲→乙→丙；
甲→丙→甲→丙→甲；
甲→丙→甲→丙→乙；
甲→丙→乙→丙→甲；
甲→丙→乙→丙→乙；
甲→丙→乙→甲→丙；
甲→丙→乙→甲→乙；
则共有16种传球方法，第4次球恰好传回给甲的有6种情况，
经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是，
故选B
2．某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山.若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山，
若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为；
故选：C.
3．宋代陆游所作的哲理诗《冬夜读书示子聿》有如下四句：
①纸上得来终觉浅；
②少壮工夫老始成；
③绝知此事要躬行；
④古人学问无遗力.
这四句诗歌的顺序被打乱了，兰兰想把这几句诗歌调整为正确的顺序，则她第一次就调整正确的可能性大小是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如果把①作为这四句诗歌的第一句，则有①②③④，①②④③，①③②④，①③④②，①④②③，①④③②，共6种排列情况，
所以四句诗歌总的排列情况共有种，只有1种是正确的，
所以兰兰第一次就调整正确的可能性大小为
故选：C.
知识点2： 列表法求概率的步骤：
1）列表；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式，计算出事件的概率．
【新知导学】
例2 .同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_______________．
【答案】
【解析】列表得：
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，
所以两枚骰子点数相同的概率为＝
【对应导练】
1.小张和小王两人玩“剪刀、石头、布”游戏，当两人手势一样为平局．现在两人随机出手一次，则出现平局的概率为( )
A． B． C． D．
【详解】解：所有可能结果列表如下：
石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布）
剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）
共有9种等可能情况，出现平局的情况有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）．
∴出现平局的概率为＝，
故选：B．
2．为了对学生进行消防安全教育,传播消防安全知识,某校计划将以下四张海报随机张贴在两个教室,每个教室张贴两张海报,则①③两张海报张贴在同一教室内的概率为_________________.
答案：
解析：设有A、B两间教室,将四张海报随机张贴在两个教室,每个教室张贴两张海报的情况有：
种类 A B
1 ①② ③④
2 ①③ ②④
3 ①④ ②③
4 ②③ ①④
5 ②④ ①③
6 ③④ ①②
由表可知,将四张海报随机张贴在两个教室,每个教室张贴两张海报的情况有6种,其中,①③两张海报张贴在同一教室内的情况有两种,
①③两张海报张贴在同一教室内的概率为,
故答案为：.
3．《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准：(2022年版)》正式发布,劳动课正式成为中小学的一门独立课程,日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生,B整理与收纳,C家用器具使用与维护,D烹饪与营养.学校为了较好地开设课程,对学生最喜欢的任务群进行了调查,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.
请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中,一共调查了__________名学生,其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有__________名,“D烹饪与营养”的男生有__________名；
(2)补全上面的条形统计图；
(3)求扇形统计图中“D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数；
(4)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者,请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率.
答案：(1)20；2；1
(2)图见解析
(3)
(4)
解析：(1)(人),
∴一共调查了20人；
∴C组人数为：(人),
∴C组女生有：(人)；
由扇形统计图可知：D组的百分比为,
∴D组人数为：(人),
∴D组男生有：(人)；
故答案为：20；2；1.
(2)补全图形如下：
(3)“D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数.
(4)用A,B,C表示3名男生,用D,E表示两名女生,列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
共有20种等可能的结果,其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种,
∴.
4．某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球,B：乒乓球,C：羽毛球,D：足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图(2)补充完整；
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
答案：(1)200
(2)图见解析
(3)
解析：(1).
(2)补全图形,如图所示：
(3)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 --- (乙,甲) (丙,甲) (丁,甲)
乙 (甲,乙) --- (丙,乙) (丁,乙)
丙 (甲,丙) (乙,丙) --- (丁,丙)
丁 (甲,丁) (乙,丁) (丙,丁) ---
∵所有等可能的结果为12种,其中符合要求的只有2种,
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为.
5．有甲、乙两个质地均匀的小正方体，每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，现抛郑这两个小正方体，记甲正方体朝上的面上的数字为点的横坐标，乙正方体朝上的面上的数字为点的纵坐标，那么点在直线上的概率为( ).
A. B. C. D.
答案：B
解析：点P在直线上时，横坐标，对应纵坐标为4，5，6，即点P的坐标为，，，因此满足条件的可能结果数有3种；
列表如下：
xy 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
由表知，所有可能的结果数为36种，则点在直线上的概率为；
故选：B.
二、题型训练
1.列举法求概率的应用
1. 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
【答案】（1）1/2（2）1/2
【解析】“掷两枚硬币”所有结果如下：
正正, 正反, 反正 ,反反
（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形；所以学生赢的概率是2/4=1/2；
（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是2/4=1/2。
2 .9张背面相同卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用列举法列出全部可能情况，从中找出是偶数的情况，根据概率公式P(A)=事件包含的结果/总体可能的结果计算即可．
从9张卡片中任意抽出一张，正面的数有1~9共9种可能，其中为偶数的情况有2、4、6、8共4种，
所以正面的数是偶数的概率P=．
【点睛】本题考查了概率，需熟练运用列举法进行分析，会使用列表法、树状图法求概率．
列表法求概率在实际中的应用
3．在“阳光体育”活动时间,小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场比赛.
（1）.若已确定小英打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,求恰好选中小丽同学的概率;
（2）.用画树状图或列表的方法,求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率.
答案：（1）
（2）.
解析：（1）.若已确定小英打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,共有种情况,而选中小丽的情况只有一种,所以.
（2）.列表如下:
所有可能出现的情况有种,其中恰好选中小敏、小洁两位同学组合的情况有两种,所以 .
4．某校为了了解了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查调查，调查结果分为“非常了解“、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）.本次调查的学生共有　 　人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有　 人．
（2）.“非常了解”的4人中有两名男生，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图和列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
答案：
（1）.本次调查的学生总人数为人，
则不了解的学生人数为人，
估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有人，
故答案为：50、600；
（2）
列表如下：
由表可知共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，
（恰好抽到2名男生）．
5．书法是我国的文化瑰宝，研习书法能培养高雅的品格．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用表示，并将测试结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题：
（1）本次抽取的学生人数是_________，扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是________．
（2）把条形统计图补充完整．
（3）若该学校共有2800人，等级达到优秀的人数大约有多少？
（4）A等级的4名学生中有3名女生1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
答案：解：（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为：40人、；
（2）B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）
列表如下：
男 女1 女2 女3
男 ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） （女，男）
女1 （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女）
女2 （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ （女，女）
女3 （男，女） （女，女） （女，女） ﹣﹣﹣
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
列表法求概率在游戏中的应用
6．某班甲、乙两名同学周末一同外出游玩，但游玩的景点两人意见不一致，于是用游戏的方式在大理古城与丽江古城中决定游玩的景点. 游戏规则如下：一个不透明袋子中装有质地完全相同的乒乓球共4个，分别标有数字，另一个不透明的袋子中装有质地完全相同的乒乓球共3个，分别标有数字. 甲从两个袋子中各摸出一个球，若两个球上的数字之和不大于4，则去大理古城；否则，去丽江古城.
(1)用画树状图或列表法列出所有可能的结果.
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.
答案：(1)见解析
(2)公平，理由见解析
解析：（1）列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
（2）我认为这个游戏公平，理由：
从表中可以看出共有12种等可能结果，其中数字之和不大于4与数字之和大于4的等可能结果各有6种，
∴，
∴
∴这个游戏公平.
7．小明、小军两同学做游戏，游戏规则是一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中随机取出一支笔（不放回），若两人取出的笔的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜.
（1）若小明先取笔，求他能取出红笔的概率；
（2）请用概率知识判断这个游戏是否公平，若不公平，你认为对谁有利？
答案：（1）
（2）这个游戏不公平，对小军有利
解析：（1）一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，若小明先取笔，他能取出红笔的概率为.
（2）将3支红笔分别记为红1，红2，红3，2支黑笔分别记为黑1，黑2，列表如下：
共20种等可能的情况，其中颜色相同的有8种，
则小明获胜的概率为，小军获胜的概率为.
，这个游戏不公平，对小军有利.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．从长为3,5,7,10的四条线段中任意选取三条作为边.能构成三角形的概率是( )
A. B. C. D.1
答案：B
解析：从长为3, 5, 7, 10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有:3，5，7;3，5，10;3，7，10;5，7, 10，共4种，
其中能构成三角形的情况有:3, 5, 7; 5, 7, 10，共2种，
则P(能构成三角形).
故选:B.
2．小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数.则小玲胜;点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是( )
A.此规则有利于小玲 B.此规则对两人是公平的
C.此规则有利于小丽 D.无法判断
答案：B
解析：共有36种等可能的情况，其中是偶数的情况有18种，则小玲胜的概率为;同理可得小丽胜的概率是，因为小玲胜的概率和小丽胜的概率相等，
所以此规则对两人是公平的.
故选B.
3．从长度分别为1,3,5,7的四条线段中任取三条作边,能构成三角形的概率为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：长度为1, 3, 5, 7四条线段中任取三条，有1、3、5，1、3、7，1、5、7，3、5、7，共4种情况;
其中能构成三角形的有3、5、7，一种情况;
故构成三角形的概率.
故选C
4．点P的坐标是，先从这5个数中任取一个数作为x的值，再从余下的4个数中任取一个数作为y的值，则点在平面直角坐标系中第四象限内的概率是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：列表如下：
由表可知，共有20种等可能的结果，其中点在平面直角坐标系中第四象限内的有4种，
点在平面直角坐标系中第四象限内的概率为，
故选A.
5．将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于的方程组,只有正数解的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：当时,方程组无解;
当时,方程组的解为由、的实际意义为可得.
易知、都为大于0的整数,则两式联合求解可得,
∵使、都大于0则有,
∴解得,或者,,而、都为到的整数,
所以可知当为时只能是;或者为时为或,
这两种情况的总出现可能有种;
又掷两次骰子出现的基本事件共种情况,故所求概率为,
故选D
6．一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球,这些球除颜色外完全相同,从袋子中随机摸出一个球,它是黄球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。因此，
∵袋子中球的总数为：，有2个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为：。
故选B。
7．现有两枚质地均匀的正方体骰子,每枚骰子的六个面上都分别标有数字.同时投掷这两枚骰子,以朝上一面所标的数字为掷得的结果,那么所得结果之和为的概率是( ).
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：用列表法求此事件的概率,投掷时,第一枚有种等可能结果,即;在每种等可能结果下面,第二枚分别有种等可能结果.所以共有种等可能结果,其中结果之和为的结果有种,即,所以所得结果之和为的概率是.即,
故选C.
8．有甲、乙两个质地均匀的小正方体，每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，现抛郑这两个小正方体，记甲正方体朝上的面上的数字为点的横坐标，乙正方体朝上的面上的数字为点的纵坐标，那么点在直线上的概率为( ).
A. B. C. D.
答案：B
解析：点P在直线上时，横坐标，对应纵坐标为4，5，6，即点P的坐标为，，，因此满足条件的可能结果数有3种；
列表如下：
xy 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
由表知，所有可能的结果数为36种，则点在直线上的概率为；
故选：D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．妈妈买了4块月饼,分别是2块五仁味和2块水果味,小明随意吃两块恰好都是水果味的概率是______.
答案：
解析：列出表格如下：
五仁1 五仁2 水果1 水果2
五仁1 (五仁1,五仁2) (五仁1,水果1) (五仁1,水果2)
五仁2 (五仁2,五仁1) (五仁2,水果1) (五仁2,水果2)
水果1 (水果1,五仁1) (水果1,五仁2) (水果1,水果2)
水果2 (水果2,五仁1) (水果2,五仁2) (水果2,水果1)
由表可知,一共有12种情况,吃两块恰好都是水果味的情况有2种,
∴吃两块恰好都是水果味的概率.
故答案为：
10．将三支外观一样的签字笔放在桌子上，其中一支签字笔的笔芯中的墨水已写完，另两支签字笔的笔芯中的墨水还剩一半，三支笔从外观看毫无差别.若从中先后取两支笔，则恰好都是墨水还剩一半的两支的概率为____________.
答案：
解析：令签字笔的笔芯中的墨水已写完的笔为A，签字笔的笔芯中的墨水还剩一半的两支笔为B、C，
列表得：
第一次第二次 A B C
A
B
C
共有6种等可能出现的结果，其中从中先后取两支笔，则恰好都是墨水还剩一半的两支的笔的情况有2种，
若从中先后取两支笔，则恰好都是墨水还剩一半的两支的概率为，
故答案为：.
11．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的，，三个队和县区学校的五个队.如果从四个队与四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是________.
答案：
解析：列表如下：
由表可知共有16种等可能的结果，两个队都是县区学校队的有，共6种结果，因此（两个队都是县区学校队）.
故答案为：
12．给出下列函数：①；②；③.从中任取一个函数，则取出的函数符合条件“当时，函数值随的增大而减小”的概率是_________.
答案：
解析：①中，随的增大而增大；②中，随的增大而减小；③图象的对称轴为，当时，随的增大而减小.所以取出的函数符合条件“当时，函数值随的增大而减小”的概率是.
故答案为
已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球,其中3个白球,4个黑球,若往口袋中再放入x个白球和y个黑球,从口袋中随机取出一个白球的概率是,则y与x之间的函数关系式为__________.
答案：y＝3x＋5
解析：∵取出一个白球的概率,
∴,即12+4x=7+x+y,
∴y与x的函数关系式为:y=3x+5。
故答案为y＝3x＋5
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．
(1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；
(2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或求打开的两盒都是巧克力味的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）4盒外包装完全相同的糖果中有1盒牛奶味的，随机打开1盒糖果恰巧是牛奶味的概率，用1除以4，即得；
（2）从4盒外包装完全相同的糖果中随机挑选两盒打开，列表写出共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒糖果都是巧克力味的概率，用2除以12，即得．
（1）
；
故答案为：；
（2）
用Q1 、Q2表示巧克力味的，N表示牛奶味的，S表示水果味的，列表如下：
糖果味道 Q1 Q2 N S
Q1 —————— Q1Q2 Q1N Q1S
Q2 Q2Q1 —————— Q2N Q2S
N NQ1 NQ2 —————— NS
S SQ1 SQ2 SN ——————
共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒都是巧克力味的概率为：．
【点睛】本题主要考查了求概率，解决问题的关键是熟练掌握概率的定义，简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率．
15 .如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．
（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率_______；
（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．（用列表法表示）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【详解】(1)
吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率，
故答案为：
(2)
① ② ③ ④
① ①② ①③ ①④
② ②① ②③ ②④
③ ③① ③② ③④
④ ④① ④② ④③
共有12种等可能结果，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的共有8种可能，
吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式与列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
16．某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法.为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）.对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有　　人，在扇形统计图中，的值是________；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
答案：解：(1)（人）
答：本次调查的学生共有50人，在扇形统计图中，的值是.
(2)（人）
（人）
.
(3)（名），
选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男 男 男 女 女
男 / （男，男） （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） / （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，男） / （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） / （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） /
所有等可能的情况有20种，所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，则
答：所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率是.
17．为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生总人数共有_________.
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是__________.
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率.
答案：（1）50人
（2）作图见解析
（3）72°
（4）
解析：（1）本次抽取的学生总人数共有：人
故答案为：50人；
（2）根据（1）的结论，得D类学生数量为：人
条形统计图补全如下：
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是：
故答案为：；
（4）列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男1，男2 男1，男3 男1，女
男2 男2，男1 男2，男3 男2，女
男3 男3，男1 男3，男2 男3，女
女 女，男1 女，男2 女，男3
∴总共有12种情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有6种
∴抽取的两位学生恰好是一男一女的概率.
18．某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A.阅读数学名著；B.讲述数学故事；C.制作数学模型；D.参与数学游戏；E.挑战数学竞赛.为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；
③扇形统计图中圆心角______度；
（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；
（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率.
答案：（1）①400
②见解析
③54
（2）385
（3）
解析：（1）①（名），
故答案为：400；
②A阅读数学名著（名），
C制作数学模型（名），
补全统计图如下：
；
③，
故答案为：54；
（2）D项目的学生：（名）
（3）
男1 男2 男3 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2）
男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1）
共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，
.
19．为庆祝中国共产党建党100周年，某校随机抽取了部分学生参加党史知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：A级为一等奖，B级为二等奖，C级为三等奖，D级为参与奖，现将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题.
(1)求表示B级的扇形圆心角的度数和获得D级的人数，并补全条形统计图；
(2)若全校有2100名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？
(3)本次竞赛获前五名的甲、乙、丙、丁、戊五位同学要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）.甲、乙两人先抽，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率.
答案：(1)表示B级的扇形圆心角的度数108°，D级的人数为15名，把条形统计图补充完整见解析.
(2)估计该校能获得一、二等奖的学生共有735名.
(3)甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率是.
解析：（1）本次抽样测试的人数是：（名，
表示B级的扇形圆心角的度数，
D级的人数为：（名，
把条形统计图补充完整如图：
（2）估计该校能获得一、二等奖的学生共有：（名.
（3）列表得：
共有20种等可能的结果，甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的有8种情况，
甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率是.
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