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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法5
学习目标
理解并掌握单项式除以单项式运算法则；
会进行简单的单项式除以单项式的运算；
重点：单项式除以单项式的运算法则；
难点：单项式除以单项式运算法则的应用。
老师告诉你
运用单项式乘以单项式的法则的“三点注意”
单项式的系数包括它前面的符号；
被除式中单独含有的字母及其指数作为商的一个因式，不要遗漏；
运算顺序为：先系数、后字母；先同底，后单独，要牢记。
一、知识点拨
知识点1 单项式除以单项式的法则
单项式除以单项式，就是把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
单项式相除的实质就是将单项式除以单项式转化为同底数幂除法运算，结果仍是单项式。
【新知导学】
例1．已知单项式、满足等式，则，.
【对应导练】
1．计算：　 　．
2．计算：3（x2）3 x3﹣（x3）3+（﹣x）2 x9÷x2
3．计算（2a+b）4÷（2a+b）2
4．计算：（2ab2）4 （-6a2b）÷（-12a6b7）
知识点2 单项式除以单项式法则的应用
应用法则注意
法则包括三方面（1）系数相除（2）同底数幂相除（3）只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
单项式的除法实质就是有理数除法，（系数部分）和同底数幂除法的组合，单项式除以单项式结果仍是单项式。
【新知导学】
例2．计算：　 　．
【对应导练】
1．计算：（6xy2）（-2x2y）÷（-3y3）
2．计算：（﹣a3b）2÷（﹣3a5b2）．
3．红光中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为x m、长为30x m的塑料扣板，已知这件陈列室的长为5ax m、宽为3ax m，如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当a=4时，求出具体的扣板数．
4． 计算：
二、题型训练
1.利用单项式除以单项式法则化简求值
1．先化简，再求值：，其中．
2.利用单项式除以单项式法则求含条件的式子的值
2．已知，求的值．
3．计算：
（1）已知，，求的值．
（2）若n为正整数，且，求的值．
4．已知 ，，求
（1）的值；
（2）的值．
5．解答题
（1），则m的值为_____．
（2）已知，求的值．
3.利用单项式除法探究规律
6 .观察下列单项式：，，，，，．．．,从第2个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你发现的规律是________，按照这一规律，第7个单项式应是___________。
7．观察下列单项式:….
(1)计算一下这里任一个单项式与前面相连的单 项式的商是多少.据此规律请你写出第n个单 项式.
(2)根据你发现的规律写出第10个单项式.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．5a2 a＝5a3 B．（a﹣1）2＝a2+1
C． D．（4a+b）（b﹣4a）＝16a2﹣b2
3．下列运算中，正确的是（　　）
A．3x2+2x3＝5x5 B．a a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2 D．（ab）3＝a3b
4．下列是一位同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题10分，满分40分，那么他的测试成绩是（　　）
（1）（2）（3）（4）
A．40分 B．30分 C．20分 D．10分
5．若，则☆代表的代数式是（　　）
A． B． C． D．
6．的运算结果是（　　）．
A． B． C． D．
7．一个三角形的面积是，它的一边长是，那么这条边上的高为（　　）
A． B． C． D．
8．若，那么代表的整式是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．　 　．
10． 计算　 　.
11．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是　 　．
12．一个三角形的面积为4a3b4.底边的长为2ab2，则这个三角形的高为　 　.
13．已知A=2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成B÷A，结果得x+，则B+A=　 　
七、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．（1）[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣4xy）
（2）计算：
15．计算：
（1）计算：28x4y2÷7x3y；
（2）先化简：再求值，（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝，y＝．
16先化简，再求值：，其中，的一个平方根为，的立方根为．
17．【发现】有三个连续的正奇数，其中最小的奇数与最大的奇数的乘积一定等于中间的奇数的平方减4.
（1）【验证】如5×9＝45，45可以表示一个正奇数的平方减4，则这个奇数是　 　．
（2）【探究】设“发现”的最小的奇数为2n＋1，请论证“发现”中的结论正确．
18．如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化.
（1）求绿化的面积.（用含a、b的代数式表示）
（2）当a＝2，b＝4时，求绿化的面积.
19．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为 ， ．
（1）请比较 和 的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含m的代数式表示）．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法5
学习目标
理解并掌握单项式除以单项式运算法则；
会进行简单的单项式除以单项式的运算；
重点：单项式除以单项式的运算法则；
难点：单项式除以单项式运算法则的应用。
老师告诉你
运用单项式乘以单项式的法则的“三点注意”
单项式的系数包括它前面的符号；
被除式中单独含有的字母及其指数作为商的一个因式，不要遗漏；
运算顺序为：先系数、后字母；先同底，后单独，要牢记。
一、知识点拨
知识点1 单项式除以单项式的法则
单项式除以单项式，就是把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
单项式相除的实质就是将单项式除以单项式转化为同底数幂除法运算，结果仍是单项式。
【新知导学】
例1．已知单项式、满足等式，则，.
【答案】,
【解析】根据题意得：
=3mx-15x2
所以：3x=
M= N=
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式
【对应导练】
1．计算：　 　．
【答案】
【解析】
=x3x6x6
=x3
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
2．计算：3（x2）3 x3﹣（x3）3+（﹣x）2 x9÷x2
【答案】解：3（x2）3 x3﹣（x3）3+（﹣x）2 x9÷x2
=3x6 x3﹣x9+x2 x9÷x2
=3x9﹣x9+x9
=3x9
【知识点】同底数幂的除法；整式的混合运算
【解析】【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变，计算即可．
3．计算（2a+b）4÷（2a+b）2
【答案】解答: （2a+b）4÷（2a+b）2
=（2a+b）2
=4a2+4ab+b2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【分析】运用同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减运算，再运用完全平方公式展开
4．计算：（2ab2）4 （-6a2b）÷（-12a6b7）
【答案】解答：原式=16a4b8 6a2b÷12a6b7
=8a4+2-6b8+1-7
=8b2．
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【分析】根据积的乘方、幂的乘方以及单项式的乘除法进行计算
知识点2 单项式除以单项式法则的应用
应用法则注意
法则包括三方面（1）系数相除（2）同底数幂相除（3）只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
单项式的除法实质就是有理数除法，（系数部分）和同底数幂除法的组合，单项式除以单项式结果仍是单项式。
【新知导学】
例2．计算：　 　．
【答案】
【解析】
= (-164) (a4a4) (b2b2) c
=
【知识点】单项式除以单项式
【对应导练】
1．计算：（6xy2）（-2x2y）÷（-3y3）
【答案】解答: （6xy2）（-2x2y）÷（-3y3）
=（6xy2）（-2x2y）÷（-3y3）=-12x3y3÷（-3y3）
=4x3
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【分析】首先根据单项式乘以单项式的方法，求出算式（6xy2）（-2x2y）的值是多少；然后根据单项式除以单项式的运算方法，求出算式（6xy2）（-2x2y）÷（-3y3）的值
2．计算：（﹣a3b）2÷（﹣3a5b2）．
【答案】解：原式=（a6b2）÷（﹣3a5b2）
=﹣a．
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得单项式的除法，根据单项式的除法，可得答案．
3．红光中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为x m、长为30x m的塑料扣板，已知这件陈列室的长为5ax m、宽为3ax m，如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当a=4时，求出具体的扣板数．
【答案】解：根据题意得：（5ax 3ax）÷（x 30x）
=15a2x2÷30x2
=a2，
则应该至少购买a2块这样的塑料扣板，
当a=4时，原式=8，即具体的扣板数为8张．
【知识点】代数式求值；单项式除以单项式
【解析】【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果，把a的值代入计算即可得到具体数．
4． 计算：
【答案】解：原式
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】本题考查积的乘方和单项式乘除法，熟知积的乘方和单项式乘除法的运算法则是解题关键。本题先算积的乘方，再算单项式乘除法即可得出答案.
二、题型训练
1.利用单项式除以单项式法则化简求值
1．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
原式
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据整式的混合运算进行化简，进而代入求值即可求解。
2.利用单项式除以单项式法则求含条件的式子的值
2．已知，求的值．
【答案】15
【解析】
=x (x2n)34x(x2n)2+x2n
=x33x4x32+3
= 12+3
=15
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
3．计算：
（1）已知，，求的值．
（2）若n为正整数，且，求的值．
【答案】（1）9
（2）2450
【解析】（1）
=32m34n
=(3m)2(32)2n
=(3m)2(9n)2
=6222
=9
(2 )
=32(x2n)3-13(x2n)2
=9x73-13x72
=72(63-13)
49x50
=2450
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
4．已知 ，，求
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】（1）
=maxmb
=3x5
=15
=(ma)2mb
=325
=
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
5．解答题
（1），则m的值为_____．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）2
（2）
【解析】
=3x32mx33m
=35m+1
所以5m+1=11
M=2
（2）．
=(am)3an)2
=2352
=
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
3.利用单项式除法探究规律
6 .观察下列单项式：，，，，，．．．,从第2个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你发现的规律是________，按照这一规律，第7个单项式应是___________。
答案：,
解析：∵, , , ,，…，
∴，
∴第7个单项式应是，
故答案为,.
7．观察下列单项式:….
(1)计算一下这里任一个单项式与前面相连的单 项式的商是多少.据此规律请你写出第n个单 项式.
(2)根据你发现的规律写出第10个单项式.
答案：(1)
(2) 第n个单项式为，则第10个单项式为
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、
B、
C、
D、
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，单项式除单项式，商的系数为原单项式系数的商，各个字母的幂等于原单项式各字母幂指数的差可得结果，A错误；
根据单项式乘单项式，积的系数等于原两个单项式系数的积，各个字母的幂等于原单项式各字母幂指数的和可得结果，B正确；
由差的完全平方公式可得结果，C错误；
由平方差公式可得结果，D错误.
2．下列运算正确的是（　　）
A．5a2 a＝5a3 B．（a﹣1）2＝a2+1
C． D．（4a+b）（b﹣4a）＝16a2﹣b2
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 5a2 a＝5a3 ，故A正确
B、 （a﹣1）2＝a2-2a+1 ，故B错误
C、，故C错误
D、（ 4a+b ）（b ﹣ 4a ）＝b2-16a2，故D正确
故答案为：D.
【分析】A、 根据同底数幂相乘底数不变，指数相加可得5a2 a＝5a3.
B、根据 （a﹣b）2＝a2-2ab+b2 可得：（a﹣1）2＝a2-2a+1 .
C、先根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，以及积的乘方等于各因式乘方的积，得到：， 根据同底数幂相除底数不变，指数相减进行计算即可.
D、根据平方差公式（a+b ）（a ﹣ b ）＝a 2-b2进行计算即可.
3．下列运算中，正确的是（　　）
A．3x2+2x3＝5x5 B．a a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2 D．（ab）3＝a3b
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，逐项分析判断即可求解．
4．下列是一位同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题10分，满分40分，那么他的测试成绩是（　　）
（1）（2）（3）（4）
A．40分 B．30分 C．20分 D．10分
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；单项式除以单项式；完全平方式
【解析】【解答】解：（1） ，正确
（2），错误
（3），正确
（4），正确
正确有3个，则测试成绩为30分
故答案为：B
【分析】根据0次幂性质，完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式逐项进行判断即可求出答案.
5．若，则☆代表的代数式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据单项式除以单项式即可求出答案.
6．的运算结果是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】本题直接根据单项式除以单项式的法则进行计算即可.
7．一个三角形的面积是，它的一边长是，那么这条边上的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵一个三角形的面积是，它的一边长是
∴这条边上的高为÷
故答案为：B．
【分析】根据三角形的面积公式，单项式的除法进行计算即可求解．
8．若，那么代表的整式是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
，
代表的整式是，
故选：C.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．　 　．
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
.
故答案为： .
【分析】单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
10． 计算　 　.
【答案】
【知识点】单项式除以单项式；整式的除法
【解析】【解答】解：原式=-8x6y3÷4x2y2
=-2x4y.
故答案为：-2x4y.
【分析】先计算积的乘方与幂的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可.
11．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是　 　．
【答案】2022
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
，
．
故填： ．
【分析】根据幂的乘方，单项式的乘除法计算得到单项式，再根据规律即可得出结果 ．
12．一个三角形的面积为4a3b4.底边的长为2ab2，则这个三角形的高为　 　.
【答案】4a2b2
【知识点】三角形的面积；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：4a3b4×2÷2ab2=8a3b4÷2ab2
=4a2b2.
故答案为：4a2b2.
【分析】利用三角形的面积乘以2再除以三角形的底边长，根据单项式的除法法则即可算出答案.
13．已知A=2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成B÷A，结果得x+，则B+A=　 　
【答案】2x2+3x
【知识点】整式的混合运算；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意得：2x（x+）+2x
=2x2+x+2x
=2x2+3x，
故答案为：2x2+3x．
【分析】根据题意表示出B，即可确定出B+A．
七、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．（1）[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣4xy）
【答案】（1）解：[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣4xy）
=（4xy2﹣8xy+2x﹣2x）÷（﹣4xy）
=（4xy2﹣8xy）÷（﹣4xy）
=﹣y+2．
【知识点】整式的混合运算；单项式除以单项式
【解析】【分析】根据整式的除法，即可解答．
（2）计算：
【答案】（2）解：原式
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式；积的乘方运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（1）
【分析】（2）先利用单项式除以单项式的除法法则、积的乘方法则进行计算，再运用单项式乘以单项式的乘法法则计算即可求解；
15．计算：
（1）计算：28x4y2÷7x3y；
（2）先化简：再求值，（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝，y＝．
【答案】（1）解：28x4y2÷7x3y＝4xy；
（2）解：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当x＝，y＝时，
原式＝12×
＝2+
＝4.5．
【知识点】单项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）利用单项式除以单项式的计算方法分析求解即可；
（2）先利用整式的混合运算化简，再将x、y的值代入计算即可.
16先化简，再求值：，其中，的一个平方根为，的立方根为．
【答案】解：
，
∵的一个平方根为，的立方根为，
∴，
∴原式．
【知识点】整式的混合运算；去括号法则及应用；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，接着根据平方根和立方根的定义求出x、y的值，再代入即可求出答案.
17．【发现】有三个连续的正奇数，其中最小的奇数与最大的奇数的乘积一定等于中间的奇数的平方减4.
（1）【验证】如5×9＝45，45可以表示一个正奇数的平方减4，则这个奇数是　 　．
（2）【探究】设“发现”的最小的奇数为2n＋1，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】（1）7
（2）证明：∵最小的奇数为2n＋1，
∴中间奇数为2n＋3，最大奇数为2n＋5，
∴（2n＋1）（2n＋5）＝4n2＋12n＋5＝（2n＋3）2－4
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）∵，而，
∴这个奇数是，
故答案为：
【分析】（1）根据有理数的混合运算结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到中间奇数为2n＋3，最大奇数为2n＋5，进而结合题意根据整式的混合运算即可求解。
18．如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化.
（1）求绿化的面积.（用含a、b的代数式表示）
（2）当a＝2，b＝4时，求绿化的面积.
【答案】（1）解：依题意得：
（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝（5a2+3ab）平方米.
答：绿化面积是（5a2+3ab）平方米；
（2）解：当a＝2，b＝4时，原式＝20+24＝44（平方米）.
答：绿化面积是44平方米.
【知识点】代数式求值；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据图形可得绿化的面积为长为(3a+b)，宽为(2a+b)的矩形的面积与边长为(a+b)的正方形的面积之差，据此解答；
（2）将a=2、b=4代入（1）结果中计算即可.
19．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为 ， ．
（1）请比较 和 的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）解： ＝（m+1）（m+5）
＝ +6m+5，
＝（m+2）（m+4）
＝ +6m+8，
∵ －
＝ +6m+5﹣（ +6m+8）
＝ +6m+5﹣ ﹣6m﹣8
＝﹣3＜0，
∴ ．
即甲的面积小于乙的面积；
（2）解：甲乙两个长方形的周长和为：
2（m+1+m+5+m+4+m+2）
＝8m+24，
正方形的边长为：（8m+24）÷4
＝2m+6．
该正方形的面积为：
＝4 +24m+36．
答：该正方形的面积为：4 +24m+36．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先计算两个长方形的面积，再利用求差法比较它们面积大小即可；
（2）先计算两个长方形的周长，再计算该正方形的边长和面积即可。
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