资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法6
学习目标
掌握多项式除以单项式的法则，并运用它进行计算；
掌握整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算，并能灵活地应用运算律进行混合运算。
老师告诉你
应用多项式除以单项式的法则的“两点注意”
先确定商的每一项符号，它是由单项式的每一项符号与单项式的符号共同决定的；
相除的过程中不要漏项，多项式除以单项式的结果仍然是一个多项式，商的项数与原多项式相同。
一、知识点拨
知识点1 多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注意：
计算时，多项式的每一项包含它前面的符号，结果所得的项数与原多项式项数相同，当被除式某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
【新知导学】
例1．计算：
（1）；
（2）．
【对应导练】
1．化简：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝　 　．
2． 计算：　 　．
3．计算：．
知识点2 整式的混合运算
运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减，有括号时先算括号里面的
【新知导学】
例2 .化简：．
【对应导练】
1．计算：．
2．计算：
3．计算：
（1）；
（2）．
4．计算：.
二、题型训练
1.利用整式乘除化简求值
1．先化简，再求值：，其中．
2．先化简再求值：，其中，．
3．当时，求的值
4．
（1）计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）；
（2）先化简，再求值.[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝ ．
2.利用整式乘除运算关系去字母的值
5．已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4．求：
（1）系数与的值；
（2）二项式与的积．
6． 的积中不含x的二次项，求m的值．
7．已知（ambn）3÷（ab2）2=a4b5，求m、n的值．
利用整式乘除运算辨析正误
8．已知是一个多项式，单项式等于，某同学计算时，把误写成，结果得出，求．
9．已知：A=2x，B是多项式，小明同学在计算A+B时，误把A+B看成了A×B，结果得4x3-2x2-8x
（1）求多项式B。
（2）求A+B。
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下面计算正确的是（　　）
A．（a+1）2＝a2+1 B．（a2）3﹣a8÷a4＝a4
C．（m2n）3 m2n＝m8n4 D．（12a2b2c﹣4a2b）÷4a2b＝3bc
2．一个长方形的面积为4a2-6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的周长为( )
A．4a-3b B．8a-6b C．4a-3b+1 D．8a-6b+2
3．三角形的面积是， 它的一条高是3a， 这条高对应的底边长是（　　）
A． B． C． D．
4．若的乘积中不含和项，则的值是（　　）
A．-4 B．-8 C．-2 D．8
5．如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为．设面积为的长方形一条边为．若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
6．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　）
A． B． C． D．
7．一个长方形的面积为 ，长为 ，则这个长方形的宽为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形不重叠无缝隙，若拼成的长方形一边长为，则长方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9． 计算： （21a3-7a）÷7a= 　 　．
10． 已知当x＝﹣3时，ax3﹣bx+5＝9，则x＝3时，ax3﹣bx+9的值为 　 　．
11．已知与一个整式的积是，则这个整式是　 　．
12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积为　 　．
13．对a，b，c，d定义一种新运算：，如，计算　 　.
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．先化简，再求值：
[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b，其中a=﹣ ，b= ．
15．计算：（1）．
（2）．计算：（2m2﹣m）2÷（﹣m2）．
16． 先化简，再求值：，其中，．
17．下列各式的运算是一种新定义运算：
；；
；．
请你按照上述的运算方法，完成下列各题．
（1）填空：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
（4）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”对于不相等的两个有理数是否具有交换律？请写出你的探究过程．
18．阅读下面材料，完成任务．
多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算，先把多项式按照某个字母的降幂进行排列，缺少的项可以看做系数为零，然后类比多位数的除法利用竖式进行计算．
∴∴
请用以上方法解决下列问题：（计算过程要有竖式）
（1）计算：
（2）若关于x的多项式 能被二项式 整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值．
19．某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部分计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像．
（1）请用含a，b的代数式表示绿化面积s；
（2）当a=3，b=2时，求绿化面积s．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法6
学习目标
掌握多项式除以单项式的法则，并运用它进行计算；
掌握整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算，并能灵活地应用运算律进行混合运算。
老师告诉你
应用多项式除以单项式的法则的“两点注意”
先确定商的每一项符号，它是由单项式的每一项符号与单项式的符号共同决定的；
相除的过程中不要漏项，多项式除以单项式的结果仍然是一个多项式，商的项数与原多项式相同。
一、知识点拨
知识点1 多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注意：
计算时，多项式的每一项包含它前面的符号，结果所得的项数与原多项式项数相同，当被除式某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
【新知导学】
例1．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）
．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式的性质进行计算即可求出答案.
（2）根据单项式乘单项式，多项式乘多项式去括号，再合并同类项即可求出答案
【对应导练】
1．化简：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝　 　．
【答案】4a2﹣2a+7
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝4a2﹣2a+7，
故答案为： 4a2﹣2a+7.
【分析】利用多项式除以单项式的计算方法分析求解即可.
2． 计算：　 　．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】利用多项式除以单项式的计算方法分析求解即可.
3．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】先算乘方、然后再根据多项式除以单项式即可解答
知识点2 整式的混合运算
运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减，有括号时先算括号里面的
【新知导学】
例2 .化简：．
【答案】解：原式，
，
.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据题意先将中括号内平方差和完全平方公式展开合并同类项再除以（-3y）即可得到本题答案．
【对应导练】
1．计算：．
【答案】解：原式，
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先根据多项式乘以单项式计算法则及单项式除以单项式法则计算，然后合并同类项即可求解.
2．计算：
【答案】解：解：
.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据同底数幂相乘的公式和积的乘方直接计算即可.
3．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】单项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用单项式乘多项式的计算方法分析求解即可；
（2）利用多项式除以单项式的计算方法分析求解即可.
4．计算：.
【答案】解：原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】整式的混合运算的运算顺序，计算求解即可．
二、题型训练
1.利用整式乘除化简求值
1．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，代入得：
原式．
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算，即可求解．
2．先化简再求值：，其中，．
【答案】解：化简得：
把a，b的值代入原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解得】解：
=
=
=3a-2b
把a，b的值代入原式=
【分析】根据完全平方公式和平方差公式化简括号内，再根据多项式除以单项式化简，再代入a，b值即可求出答案.
3．当时，求的值
【答案】解：
当时，
原式
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据单项式乘以多项式去括号，再合并同类项进行化简，再将代入即可求出答案.
4．
（1）计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）；
（2）先化简，再求值.[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝ ．
【答案】（1）原式＝2（m2+2m+1）﹣（4m2﹣1）
＝2m2+4m+2﹣4m2+1
＝﹣2m2+4m+3
（2）原式＝（x2+4xy+4y2﹣3x2﹣2xy+y2﹣5y2）÷2x
＝（﹣2x2+2xy）÷2x
＝﹣x+y，
当x＝﹣2，y＝ 时，
原式＝2+ ＝ .
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）直接利用乘法公式化简进而合并同类项即可；（2）直接利用多项式的乘法运算进而结合整式的混合运算法则计算得出答案.
2.利用整式乘除运算关系去字母的值
5．已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4．求：
（1）系数与的值；
（2）二项式与的积．
【答案】（1）解：根据题意得：
，
关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，
，
解得：，
系数的值为，系数的值为；
（2）解：由（1）得：系数的值为，系数的值为，
二项式与的积为：
．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；二元一次方程组的其他应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）先求出该多项式，不含二次项，说明二次项的系数为0，在根据一次项的系数是4，列出二元一次方程组，即可求出a、b的值；
（2）根据（1）中a、b的值，先表示出ax+b的值，然后在进行乘积运算，合并同类项，最终求出结果。
6． 的积中不含x的二次项，求m的值．
【答案】解：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）＝3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，
∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，
∴2+3m＝0，
解得，m＝ ，
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开为3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，根据它们的乘积中不含x的二次项，可得2+3m＝0，从而求出m的值.
7．已知（ambn）3÷（ab2）2=a4b5，求m、n的值．
【答案】解答: （ambn）3÷（ab2）2=a3mb3n÷a2b4=a3m-2b3n-4=a4b5，∴3m-2=4，3n-4=5，∴m=2，n=3．
【知识点】整式的混合运算；单项式除以单项式
【解析】【分析】根据单项式除单项式的法则计算，再根据系数相等，相同字母的次数相同列式求解
利用整式乘除运算辨析正误
8．已知是一个多项式，单项式等于，某同学计算时，把误写成，结果得出，求．
【答案】解：依题意，
∴
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先根据题意求出A，进而运用整式的混合运算即可得到A÷B的值。
9．已知：A=2x，B是多项式，小明同学在计算A+B时，误把A+B看成了A×B，结果得4x3-2x2-8x
（1）求多项式B。
（2）求A+B。
【答案】（1）解：由题意，得2x·B=4x3-2x2-8x
∴B=(4x3-2x2-8x)÷2x
=2x2-x-4
（2）解：A+B=2x+(2x2-x-4)
=2x2+x-4
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据A×B得4x3-2x2-8x 列出等式2x×B=4x3-2x2-8x ，从而求出多项式B；
（2）根据整式的加法运算求解即可。
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下面计算正确的是（　　）
A．（a+1）2＝a2+1 B．（a2）3﹣a8÷a4＝a4
C．（m2n）3 m2n＝m8n4 D．（12a2b2c﹣4a2b）÷4a2b＝3bc
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、∵（a+1）2=a2+2a+1，∴A不正确，不符合题意；
B、∵（a2）3-a8÷a4=a6-a4，∴B不正确，不符合题意；
C、∵（m2n）3×m2n=m8n4，∴C正确，符合题意；
D、∵（12a2b2c﹣4a2b）÷4a2b＝3bc -1，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法，同底数幂的乘法和多项式除以单项式的计算方法逐项分析判断即可.
2．一个长方形的面积为4a2-6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的周长为( )
A．4a-3b B．8a-6b C．4a-3b+1 D．8a-6b+2
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：另一边长是：（ ﹣6ab+2a）÷2a=2a﹣3b+1，
则周长是：2[（2a﹣3b+1）+2a]=8a﹣6b+2．
故答案为：D．
【分析】首先利用长方形的面积除以一边长即可求得另一边长，然后根据长方形的周长+相邻两边之和的2倍，列式计算即可求解。
3．三角形的面积是， 它的一条高是3a， 这条高对应的底边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；多项式除以单项式
【解析】【解答】解： ∵三角形的面积是， 它的一条高是3a，
∴这条高对应的底边长为2（）÷ 3a=.
故答案为：A.
【分析】三角形的面积=底×高÷2，据此列式计算即可.
4．若的乘积中不含和项，则的值是（　　）
A．-4 B．-8 C．-2 D．8
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
∵不含与项，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据整式的混合运算进行化简，进而根据题意即可求解。
5．如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为．设面积为的长方形一条边为．若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵的长为m，宽为1，的长为3，宽为（x+2-m），
∴，，
∴，
∵无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，
∴m-3=0，
解得：m=3，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出，再求出m-3=0，最后计算求解即可。
6．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的除法
【解析】【解答】解：（10x2-2x）÷2x=5x-1.
故答案为：A.
【分析】根据多项式除以单项式法则，即可得出答案。
7．一个长方形的面积为 ，长为 ，则这个长方形的宽为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题可得： .
故答案为：A.
【分析】根据长方形的宽=长方形的面积÷长方形的长，先列式，再利用多项式除以单项式的法则进行计算.
8．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形不重叠无缝隙，若拼成的长方形一边长为，则长方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】根据题意可得：
拼成的长方形的面积=S大正方形-S小正方形，
=（m+n）2-m2
=，
故答案为：D.
【分析】利用割补法及长方形的面积=S大正方形-S小正方形，再将数据代入求解即可.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9． 计算： （21a3-7a）÷7a= 　 　．
【答案】3a2-1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（21a3-7a）÷7a= （21a3-7a）×=21a3×-7a×=3a2-1，
故答案为：3a2-1.
【分析】利用多项式除以单项式的计算方法分析求解即可.
10． 已知当x＝﹣3时，ax3﹣bx+5＝9，则x＝3时，ax3﹣bx+9的值为 　 　．
【答案】5
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵时，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
故答案为：
【分析】先根据题意代入x=-3即可得到，进而代入x=3即可求解。
11．已知与一个整式的积是，则这个整式是　 　．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵与一个整式的积是，
∴这个整式是：，
故答案为： .
【分析】根据 与一个整式的积是，列式计算求解即可。
12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】∵a+b＝17，ab＝60，
∴
故答案为：
【分析】由于，然后整体代入计算即可.
13．对a，b，c，d定义一种新运算：，如，计算　 　.
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据新运算法则列出整式混合运算式子，进而再根据单项式乘以多项式的法则去括号，最后合并同类即可.
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．先化简，再求值：
[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b，其中a=﹣ ，b= ．
【答案】解：[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b
=[a3b2﹣a2b﹣a2b+a3b2]÷2a2b
=[2a3b2﹣2a2b]÷2a2b
=ab﹣1，
当a=﹣ ，b= 时，原式=﹣1
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
15．计算：（1）．
【答案】解：原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=[x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)]÷4xy
=4xy÷4xy=1.
【分析】利用完全平方公式将括号里展开，再合并，最后利用单项式除以单项式计算即可.
（2）．计算：（2m2﹣m）2÷（﹣m2）．
【答案】解：（2m2﹣m）2÷（﹣m2）
=（4m4-4m3+m2）÷（-m2）
=-4m2+4m-1．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用多项式除单项式法则计算求解即可。
16． 先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式，
将，．代入原式得．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据整式的混合运算顺序去括号化简，利用完全平方公式、平方差公式解（2x+3y)2-（2x+3y)（2x-3y)化简合并同类项得3y(4x+6y)，再除以3y计算可得原式=4x+6y。将x、y值代入得-6.
17．下列各式的运算是一种新定义运算：
；；
；．
请你按照上述的运算方法，完成下列各题．
（1）填空：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
（4）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”对于不相等的两个有理数是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【答案】（1）
（2）解：由（1）知：
∴
.
（3）解：∵，
∴
∴，
∵
把代入得：
=2．
（4）解：不具有交换律，理由如下：
设，
∵，
∵4a+b-(4b+a)
=4a+b-4b-a
=3a-3b
∵
∴3a-3b≠0
∴
∴
∴这种新运算“”对于不相等的两个有理数不具有交换律．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】
解：（1）
∵
通过观察得到：
∴
故答案为：.
【分析】
（1）先观察题目给出的新定义式子，进行对比，可以得到：
（2）根据，计算得出：=6a-3b+8
（3）先计算出，再根据新定义化简：，再把整体代入即可.
（4）设，分别求出，，再根据作差法比较，是否相等即可，若相等，则具有交换律，否则，不具有．
（1）解：，
故答案为：；
（2）
；
（3）∵，
∴，整理得：，
由（2）可得，
把代入得：．
（4）设，
则，，
∵
∴，
∴，
∴这种新运算“”对于不相等的两个有理数不具有交换律．
18．阅读下面材料，完成任务．
多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算，先把多项式按照某个字母的降幂进行排列，缺少的项可以看做系数为零，然后类比多位数的除法利用竖式进行计算．
∴∴
请用以上方法解决下列问题：（计算过程要有竖式）
（1）计算：
（2）若关于x的多项式 能被二项式 整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值．
【答案】（1）解：列竖式如下：
（2）解：列竖式如下：
∵多项式 能被二项式 整除
∴余式
∵a，b均为自然数
∴ ， ； ， ； ，
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【分析】（1）直接利用竖式计算即可；
（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可。
19．某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部分计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像．
（1）请用含a，b的代数式表示绿化面积s；
（2）当a=3，b=2时，求绿化面积s．
【答案】（1）解：根据题意得：S=（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2=6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2=5a2+3ab
（2）解：当a=3，b=2时，原式=45+18=63
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）由长方形的面积减去正方形的面积表示出S即可；（2）把a与b的值代入计算即可求出值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑