资源简介

第一讲：折叠问题 自主学习单
一、知识技能梳理
模块一：折叠与全等
折叠，是几何学中一个基本而有趣的操作。通过折叠，我们可以将一个二维的图形转化为三维的立体形状，或者将一个复杂的图形简化为一个更易于理解和分析的形式。折叠的规则和原理，如轴对称、中心对称等，都是几何学中的重要内容。理解并应用这些规则，可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。
全等，则是另一个重要的数学概念。当两个图形在形状和大小上都完全相同时，我们就说这两个图形是全等的。全等图形的性质和判定方法，如SSS、SAS、ASA、AAS等，都是我们在学习和应用数学时需要掌握的基本知识。
折叠与全等，有着紧密的联系。通过折叠，我们可以得到全等的图形；同时，全等图形的性质也可以在折叠中得到验证和应用。在学习和理解这两个概念的过程中，我们可以培养自己的逻辑思维和空间想象能力，为未来的数学学习和实际应用打下坚实的基础。
模块二：折叠与相似
相似的图形，虽然大小不同，但形状却完全相同。这种相似性使得我们能够在不同的尺度上研究同一类图形，从而发现它们之间的共同规律。在建筑设计中，相似原理被广泛应用。建筑师们通过调整建筑的比例和尺寸，创造出既美观又实用的建筑作品。这些作品不仅体现了数学的美，更展示了人类文明的智慧。
折叠与相似，虽然看似不同，但在实际应用中却常常相互关联。在图形变换中，我们可以通过折叠得到相似的图形；而在相似图形中，我们也可以找到折叠的规律。这种相互依存的关系，使得折叠与相似成为了数学中不可或缺的一部分。
模块三：折叠与动点
动点是指在几何图形中可以移动的点，具有位置的变化性和不确定性。在几何学中，动点常用于研究图形的运动和变换。
模块四：折叠与函数
折叠与函数的关系：在数学中，函数是一种特殊的对应关系，它描述了自变量与因变量之间的关系。折叠与函数之间存在着密切的关系。我们可以通过折叠来探究函数的性质，也可以通过函数来描述折叠的规律。例如，当我们将一个图形沿x轴折叠时，对应的y值会发生变化，这种变化可以用函数来描述。通过折叠与函数的结合，我们可以更深入地理解函数的性质和应用。
为了更好地理解折叠与函数的关系，我们可以通过一些实例来进行探究。例如，我们可以考虑一个二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并将其沿x轴折叠。通过观察折叠后的图像，我们可以发现折叠后的图像关于x轴对称，这与二次函数的性质是一致的。此外，我们还可以通过折叠来探究函数的周期性、奇偶性等性质，从而加深对函数的理解。
二、基本模型展示
图示
模型总结 折叠问题 (翻折变换)实质上就是轴对称变换. 折痕是对称轴，对应点的连线被折痕垂直平分. 折叠前后的两部分图形全等，对应角、对应线段、面积都相等
学习过程
模块一：折叠与全等
1.针对训练
例1.（教材改编）如图W-4-1，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）DG＝B′G．
证明：（1）在□ABCD中，DC∥AB，∴∠2＝∠FEC.
由折叠的性质,得∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2.
（2）∵∠1＝∠2，∴EG＝GF.
∵AB∥DC，∴∠DEG＝∠EGF.
由折叠的性质,得EC′∥B′F，
∴∠B′FG＝∠EGF.∴∠DEG＝∠B′FG.
又∵DE＝BF＝B′F，∴△DEG≌△B′FG（SAS）.
∴DG＝B′G．
针对巩固
2.（教材改编）如图W-4-2，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点F的位置，AF与CD交于点E .
（1）找出一个与△AED全等的三
角形，并加以证明；
（2）已知AD＝4，CD＝8，求
△AEC的面积．

模块二：折叠与相似
针对训练
解：（1）相似的三角形有：△ADE∽△AFE，△ABF∽△FCE.
证明如下：∵将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，∴△ADE≌△AFE.∴△ADE∽△AFE.∴∠AFE＝∠D＝90°.∴∠AFB+∠BAF＝∠AFB+∠CFE＝90°.∴∠BAF＝∠CFE.
又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABF∽△FCE.
2.针对巩固
练习2
模块三：折叠与动点
1.针对训练
2.针对巩固
3.（教材改编）如图W-4-6，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10，点E在AB上，点F是AD上的动点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在边CD上的点G处，当点G在边CD上移动时，求折痕EF的最大值．
模块四：折叠与函数
1.针对训练
2.针对巩固
4.（教材改编）如图W-4-8，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，8），（6，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）把直线BC向左平移，使之经过点
A′，求平移后直线的函数表达式．
练习
1．如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论正确的是（　　）
①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(－1)AE．
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
5．如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上.给出以下结论：
①△ADE≌△FCD；② ；
③ ；④当AE＝1时，BE＝ ，
其中正确的结论共有（　　）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在平面直角坐标系中，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，3） D．（0，4）
7．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y.图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（　　）
A．12 B．24 C．10 D．20
8．如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．
参考答案
1．如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD，AD=BC，
∵把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，
∴ AF=AD=4，EF=DE=，
在Rt△ABF中，BF==2，
∴ CF=BC-BF=2，
在Rt△CEF中，
即
解得，EC= .
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得 AB=CD，AD=BC，根据翻折的性质得 AF=AD=4，EF=DE=，根据勾股定理得BF从而推出CF，再根据勾股定理得EC，即可求得.
2．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BE：EC=2：1，BE+EC=9
∴EC=3；
∵正方形 ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，
∴∠C=90°，DH=EH，
设CH=x，则DH=EH=9-x，
在Rt△ECH中
CH2+CE2=EH2即x2+9=（9-x）2
解之：x=4，
∴CH的长为4.
故答案为：B.
【分析】利用已知求出EC的长，利用正方形的性质和折叠的性质可得到∠C=90°，DH=EH，设CH=x，则DH=EH=9-x，在Rt△ECH中利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CH的长.
3．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC
【答案】D
【解析】【解答】解：BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，
故A选项正确；
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
，
故B选项正确；
，
∴EG∥HF，
故C正确；
设，则，
，
即
，同理可得
若
则
，
，
∴FG不平行CD，
即GF不垂直BC，
故D不正确.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得BC=AD=8，AB=CD=6，用勾股定理算出BD=10，据此可判断A选项；由翻折的性质得BG=AB=6，DH=CD=6，根据线段的和差可得DG=BH=4，HG=2，据此可判断B选项；由翻折可得∠EGB=∠A=∠DHF=∠C=90°，由内错角相等，两直线平行，可得EG∥HF，据此判断C选项；设AE=a，则EG=a，ED=8-a，由∠ADB的正切函数的定义可得，据此可求出AE的长，同理可得CF的长，若FG∥CD，由平行线分线段成比例定理得，而根据线段的长度可得，故FG不平行CD，即GF不垂直BC，据此可判断D选项.
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论正确的是（　　）
①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(－1)AE．
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，
∴∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=（∠BAD+∠CAD）=∠BAC=×90°=45°，故①正确；
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，
∴△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，
∴CD=DF+CF=，
∵∠BDA=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴DC=AD==BD
∴BE=DE=BD=，而C'F=，
∴C'F≠BE，故②错误；
∵CD=，BE=DE=，
∴CE=CD+CD=，故③正确；
∵∠BEC=90°，∠C=30°，
∴，
∴，
∴FC= (－1)AE ，故④正确，
综上，正确的有①③④.
故答案为：C.
【分析】由翻折得∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，进而根据∠EAF=∠EAD+∠DAF可判断①；由三角形的内角和定理及翻折得∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，则△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，进而根据三角形外角性质得∠DAC=∠C=30°，由等边对等角及线段的和差得DC=AD==BD，则E=DE=BD=，可判断②；由CE=CD+CD算出CE的长，可判断③；由含30°角直角三角形的性质得，从而代入 (－1)AE 算出结果可判断④.
5．如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上.给出以下结论：
①△ADE≌△FCD；② ；
③ ；④当AE＝1时，BE＝ ，
其中正确的结论共有（　　）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴设EF=BE=x，则AB=CD=1+x
又∵AB∥CD
∴∠DCE=∠BEC
由折叠的性质可得，∠BEC=∠DEC
∴∠DCE=∠DEC
∴DE=CD=1+x
∴点E，F，D在同一条直线上
∴DF=DE-EF=1+x-x=1=AE
∵AB∥CD
∴△DCF∽△EAF
∴=
∴
解得，x1=，x2=（舍去）
∴BE=x=，即④正确；
由以上可得，DE=CD，DF=AE，∠AED=∠FDC
∴△ADE≌△FCD，即①正确；
由题意，S△ADE=AE×AD，S△ACE=AE×AD
∴S△ADE=S△ACE
由折叠的性质可得，S△BCE=S△FCE
∴S△ADE=S△AEF+S△BCE
∴S△ADF+S△AEF=S△AEF+S△BCE
∴S△ADF=S△BCE，即②正确；
∵tan∠ACE=tan∠BCE==，即③错误
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质，结合三角形全等、相似的判定定理和性质，分别进行证明即可。
6．在平面直角坐标系中，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，3） D．（0，4）
【答案】A
【解析】【解答】过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y=-x+3，
当x=0，得y=3；
当y=0，x=4，
∴A（4，0)，B（0，3)，即OA=4，OB=3，
∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=3-n，
∴DA=OA=4，
∴DB=5-4=1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，
∴n2+12=（3-n)2，解得n=，
∴点C的坐标为（0，)．
故选：A．
【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，0)，（0，3)，得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=4，则DB=5-4=1，BC=3-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
7．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y.图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（　　）
A．12 B．24 C．10 D．20
【答案】D
【解析】【解答】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12
由翻折可知，AQ⊥BP
∴AQ=4
由勾股定理，得BC=AB==5
∴菱形ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20
故答案为：D.
【分析】由翻折可知AQ⊥BP，由图2信息可得BP=2BQ=6，S△ABP=12，根据S△ABP=BP·AQ=12，可求出AQ=4，利用勾股定理求出BC=AB=5，根据菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求解.
8．如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥CF于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°.
∵AB=2，BC=，点E是BC的中点，
∴BE=CE=，
∴AE==5.
由折叠可得∠AEB=∠AEF=∠BEF，BE=EF，
∴CE=EF.
∵EG⊥CF，
∴∠CEG=∠FEG=∠CEF，CG=FG，
∴∠AEB+∠CEG=∠BEF+∠CEF=(∠BEF+∠CEF)=90°.
∵∠ECG+∠CEG=90°，
∴∠AEB=∠ECG.
∵∠B=∠CGE=90°，
∴△ABE∽△EGC，
∴，
∴，
∴CG=，
∴CF=2CG=.
故答案为：B.
【分析】过点E作EG⊥CF于点G，根据矩形的性质可得∠B=90°，由中点的概念可得BE=CE=，利用勾股定理可得AE的值，由折叠可得∠AEB=∠AEF=∠BEF，BE=EF，则CE=EF，结合等腰三角形的性质可得∠CEG=∠FEG=∠CEF，CG=FG，则∠AEB+∠CEG=(∠BEF+∠CEF)=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△EGC，根据相似三角形的性质可得CG，进而可得CF.

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