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《相似三角形的共边共角模型》教学设计
——深圳市罗湖区滨河实验中学 林翠凤
知识梳理
相似三角形的性质和判定是中考必考知识点，本节课所介绍的共边共角型相似是三角形常见的相似模型。共边共角型相似又分为一般三角形中的相似和直角三角形中的相似，在一些压轴题中，可根据题目中的条件特征，作辅助线构造共边共角型相似，达到简化问题的效果，进而解决问题。
一般三角形
条件：如图，已知∠ACD=∠ABC．
结论：△ABC∽△ACD ， ．
直角三角形
条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD⊥AB，垂足为D．
结论： △ABC∽△ACD∽△CBD
①AC2＝AB AD；
②BC2＝AB BD；
③CD2＝AD BD．
记忆口诀：公共边的平方等于共线边的乘积．图中共有6条线段AB，AC，AD，DB，CD，BC，已知任意两条线段的长度，便可求出其余的四条线段的长度。
学习过程
模块一：一般三角形
模块一：典例精讲
例1．如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（　　）
A．5 B．5 C． D．
【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝，即AC2＝CD CB，
设BD＝CD＝x，
则AC＝x，
∴＝＝＝，即＝，
解得，△ACD的周长＝5，
故选：B．
例2．已知：如图（1），在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，过点C作CF∥AB，P是AD上一点，连接BP并延长，分别与AC，CF交于点E，F．
（1）求证：PB2＝PE PF；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，如图（2），那么（1）中的结论是否成立？请直接写出结论，不需证明．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABP＝∠ACP，
∵AB‖CF，
∴∠ABP＝∠F，
∴∠F＝∠ACP，
∵∠EPC为公共角，
∴△PCE∽△PCF，
∴，
∴PC2＝PF PE
∵BP＝CP，
∴BP2＝PF PE；
（2）成立，
由（1）证得∠ABP＝∠ACP，
∵CF∥AB，
∴∠CFE＝∠ABP，
∴∠ACP＝∠CFE，
∴∠PCE＝∠CFP，
∵∠CPF＝∠CPF，
∴△CPF∽△PCE，
∴，
∴PC2＝PF PE
∵BP＝CP，
∴BP2＝PF PE．
模块一：跟踪练习
1．如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′、AC′分别交对角线BD于点E、F，若AE＝4，则EF ED的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ADB＝45°，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，
∴∠EAF＝∠BAC＝45°，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴EF ED＝AE2，
∵AE＝4，
∴EF ED的值为16，
故选：D．
2．如图，在 ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，则BC的长是（　　）
A． B． C．6 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
∵∠DEF＝∠C，
∴∠DEF＝∠A，
∵∠EDF＝∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴，
∵DE＝4，AF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝AD﹣，
∴，
∴42＝（AD一） AD，
∴AD＝或AD＝﹣3（舍去），
∴BC的长是，
故选：A．
3．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，AD，CE交于点F，若∠1＝∠B，则＝　 　．
【解答】解：∵∠1＝∠B，
而∠CAE＝∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AE AB，
∵CE是△ABC的中线，
∴AE＝AB，
∴AC2＝AE AB＝AB2，
∴AC＝AB，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAF，
而∠B＝∠1，
∴△ABD∽△ACF，
∴＝＝＝．
故答案为．
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝　 　．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BFE，
∵BE＝BF＝2，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠AED＝∠BFE＝∠DAF，
∴AD＝DE，
设∠BEF＝∠AFD＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠EAF＝x﹣y，
∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF，
∴x﹣y＝∠DAC，∠ADO＝∠ADB，
∴△ADO∽△BDA，
设AD＝DE＝m，
∴，
∴BD＝BE+DE＝2+m，
∴DO＝BD＝（2+m），
∴，
∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，即m2﹣4m﹣4＝0，
∴m1＝2+2，m2＝2﹣2（舍去），
经检验m＝2+2是分式方程的解，
∴AD＝2+2．
5．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．
（1）如图2，在△ABC中，BC＝AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；
（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．
①求证：直线CA与⊙O相切；
②若⊙O的直径为2，求线段AB的长；
（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵AD是中线，
∴BD＝BC＝AB，
∴＝＝，
∴△ABD∽△CBA，
∴△ABC是关于边BC的“优美三角形”；
（2）①证明：连接OA，
∵△ABC为关于边BC的“优美三角形”，
∴△CAD∽△CBA，
∴∠CAD＝∠CBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠CBA，
∴∠CAD＝∠OAB，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠CAD+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AC，
∵OA是⊙O的半径，
∴直线AC与⊙O相切；
②解：∵△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD BC，
∴AC＝4，
∵＝＝，
设AD＝x，则AB＝2x，
在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，即4x2+2x2＝24，
∴x＝2，
∴AB＝4；
（3）解：过点A作AE⊥BC交于E点，
①若△BAD∽△BCA，
∴AB2＝BD BC，
∴AB＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴AE＝AB＝，
∴S△ABC＝AE BC＝2；
②若△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD BC，
∴AC＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
设AE＝x，则BE＝x，
∴CE＝4﹣x，
在Rt△AEC中，AC2＝AE2+CE2，
∴x2+（4﹣x）2＝8，
解得x＝±1，
∴S△ABC＝ AE BC＝2±2；
综上所述：△ABC的面积为2或2±2．
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模块二：直角三角形
模块二：典例精讲
例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高.
若AC＝6，AB＝9，则AD＝ ；
若AC＝4，BD＝6，则CD＝ ；
若AC＝5，CD＝4，则BC＝ .
【解答】解：（1）4（2）（3）
例4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为AC中点，AE⊥BD，E为垂足，求证：∠CBD＝∠ECD．
【解答】证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AE⊥BD，
∴∠AED＝∠BAD＝90°，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴AD：BD＝DE：AD，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
∴CD：BD＝DE：CD，
∵∠CDE＝∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠CBD＝∠ECD．
模块二：跟踪练习
1．在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是　 　．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AGB＝90°＝∠ABC，
∵∠BAG＝∠CAB，
∴△ABG∽△ACB，
∴＝，
∴AG AC＝AB2（射影定理），
即（AC﹣1） AC＝12，
解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），
即AC的长为，
故答案为：．
2．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，若tan∠ABE＝，AE＝3，求BD的长．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝90°，
∵AE为⊙O的切线，
∴∠EAB＝90°，
∵∠E＝∠E，
∴△EAD∽△EBA，∴，
∴AE2＝ED EB，
在Rt△AEB中，AE＝3，tan∠ABE＝，
∴，∴AB＝6，
∴BE＝＝3
∴32＝ED 3，
∴ED＝，
∴BD＝BE﹣ED＝3﹣＝．
3．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E在边CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．求证：∠BOF＝∠BED．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF BE，
∴BO BD＝BF BE，
即 ＝，
∵∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED，
∴∠BOF＝∠BED．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连接AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；
（2）若OB＝2，OP＝，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵BC∥OP
∴∠AOP＝∠B
∵AB是直径
∴∠C＝90°
∵PA是⊙O的切线，切点为A
∴∠OAP＝90°
∴∠C＝∠OAP
∴△ABC∽△POA；
（2）解：∵△ABC∽△POA
∴
∵OB＝2，PO＝
∴OA＝2，AB＝4
∴
∴BC＝8
∴BC＝．
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模块三：共边共角模型的构造
模块三：典例精讲
例5．如图，M、N分别是平行四边形ABCD边BC、CD的中点，若∠MAN＝∠B，则的值为　 　．
【解答】解：延长AM与DC的延长线交于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，
∵∠B＝∠MAN，
∴∠ECM＝∠B＝∠MAN＝∠D，
∵M是BC的中点，N是CD的中点，
∴BM＝CM，CN＝DN＝CD，
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（ASA），
∴AB＝CE，AM＝EM，
∴AE＝2AM，EN＝AB，ED＝2AB，
∵∠EAN＝∠D，∠E＝∠E，
∴△EAN∽△EDA，
∴＝，即EA2＝ED EN，
∴（2AM）2＝2AB AB，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
例6．（1）问题背景：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，若∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB；
（2）尝试应用：如图2，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB上一点，点E为CD上一点，且＝，∠ACD＝∠ABE，求BD的长；
（3）拓展创新：如图3，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，且＝，EF∥AC，连接DE，DF，若∠EDF＝∠BAC，DF＝5，直接写出AB的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD AB；
（2）过点C作CF∥BE，交AB的延长线于点F，
∵BE∥CF，
∴∠ABE＝∠AFC，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠AFC＝∠ACD，
在△AFC和△ACD中，
，
∴△AFC∽△ACD，
∴，
∴AC2＝AD AF，
∵AB＝9，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣BD，
∵BE∥FC，
∴，
∵，
∴，
∴BF＝2BD，
∴AF＝AB+BF＝9+2BD，
∵AC＝6，
∴AC2＝AD AF，即62＝（9﹣BD）（9+2BD），
解得：BD＝或BD＝﹣3（不合题意，舍去），
∴BD＝；
（3）如图，延长EF，交DC的延长线于点G，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵EF∥AC，
∴四边形AEGC是平行四边形，
∴∠BAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴ED2＝EF EG，
∵＝，EF∥AC，
∴，
∵AB∥DC，
∴，
∴FG＝EF，
∴EG＝EF+FG＝EF，
∴，
∴ED＝EF，
∵，
∴GD＝DF＝＝15，即GD＝AB+CG，
∵AB∥CD，
∴，
∴CG＝BE，
∵，
∴BE＝2AE，
∴AB＝3AE，
∴CG＝AE＝AB，
∴CG＝AB+AB＝15，
∴AB＝．
模块三：跟踪练习
1．如图，在△ABC中，，∠B＝45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上，若，则CD的长为 ．
【解答】解：如图，过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，
∵∠B＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝∠EDF，
∴△ABD∽△DFE，
∴，
∵，，
∴，
∵∠EFD＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠EFC＝∠DEC＝135°，
∴△EFC∽△DEC，
∴
∵，
∴EC2＝FC CD＝FC×（4+FC），
∴5＝FC×（4+FC），
∴FC＝1，
∴CD＝5；
2．如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC 内一点，EF∥AC，AC＝2EF，若∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝6，则菱形ABCD的边长为 　 　．
【解答】解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC是平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE＝2，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴＝，
∴DE2＝EF EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵＝，
∴DG＝DF＝6，
∴DC＝DG﹣CG＝6﹣2，
故菱形ABCD的边长为6﹣2．
3．问题提出：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD＝1，则．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP．所以．所以，所以．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为　 　；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，P是上一点，求2PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）如图1，
连接AD，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值为，
故答案为：；
（2）如图2，
连接CP，在CA上取点D，使CD＝，
∴，
∵∠PCD＝∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
∴，
∴PD＝AP，
∴AP+BP＝BP+PD，
∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝；
（3）如图3，
延长OA到点E，使CE＝6，
∴OE＝OC+CE＝12，
连接PE、OP，
∵OA＝3，OP
∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴，
∴EP＝2PA，
∴2PA+PB＝EP+PB，
∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．

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