资源简介

《基本不等式》教学设计
目标确定的依据
一、内容和内容解析
1.内容
基本不等式
2.内容解析
本节分为三课时，这是第一课时的新授课，是在学生系统学习了不等关系和不等式，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的不等式之一,为后续的学习奠定基础，是学生进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题必不可缺的重要工具。
先通过几何模型观察抽象出重要不等式（），让学生通过动手证明重要不等式，体会作差法证明不等式的同时感受数形结合的数学思想方法；再通过拓展延伸出基本不等式（），并会由作差法及分析法进行严格的证明，同时引导学生从几何图形的角度尝试对基本不等式进行几何解释，再次体会数形结合思想。
再通过引入生活实例，引导学生尝试用基本不等式解决两个变量的最值问题，过程中注重归纳总结出基本不等式求最值的三个限制条件，学习新知识的同时感受数学在生活及生产实际中的应用，感受数学力量与数学美。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用。
目标和目标解析
目标
（1）能从几何图形中抽象出重要不等式，并延伸提炼出基本不等式，会用代数方法进行证明，并能进行几何解释，感受数形结合思想。
（2）能用基本不等式解决生活中的最值问题，体会基本不等式在求最值问题中的三个限制条件。
2.目标解析
（1）首先给出第24届国际数学家大会的会标，通过观察，分析得出重要不等式，并通过几何画板展示及代数证明加深对重要不等式的认识；然后通过代数替换归纳出基本不等式，并引导学生对基本不等式进行几何解释，因此重要不等式是研究基本不等式的前提，重要不等式是从几何到代数的过程，而基本不等式是从代数到几何的过程，所以本节课首要目标就是会从数形结合的角度研究重要不等式和基本不等式，并会从不同的角度探索基本不等式的证明过程。
（2）本节课的引入是从菜农的烦恼这一实际问题入手的，所以基本不等式的求最值就是本节课的第二个目标，通过例题及变式训练体会两个正数的最值问题（积定和最小，和定积最大），以及过程中注意的三个限制条件。让学生感受到数学在生产生活中的应用。
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了不等关系与不等式，探索了不等式的基本性质，对不等式的证明也有了初步的认识，但是基本不等式是学生第一次接触，具有自身的特殊性，因此在教学中可能会遇到如下问题：
重要不等式中的当且仅当a=b时等号成立，学生是第一次听说，在学生没有学习充要条件的情况下理解起来有些难度，需要教师点拨。
由于基本不等式的形式特殊，所以在探索基本不等式的证明过程中，学生会想出不少方法，但是直接应用来证明还是不容易想到，同时分析法容易想到，但是步骤的书写会有困难。
由于重要不等式的几何解释很容易得到，而射影定理是学生初中学习的内容，时间久远，所以在探索基本不等式的几何解释的过程中学生困难很大，教师可以给以合适的时间让学生充分探索和讨论。
学生在高一的时候从函数的角度研究过求最值问题，但是最值概念有所遗忘，同时本节课的最值是跟两个变量有关的最值问题，学生刚开始的时候思路不是很清晰，需要教师引导复习最值的定义。
教学重、难点：基本不等式的几何解释的探索以及利用基本不等式求最值。
教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用多媒体展示几何图形，另外通过动态演示图形的变化，进而让学生更容易进行探索。
教学过程分析
（一）创设情境，问题引入
多媒体展示“数学来源于生活高于生活”，引入生活中的问题：“学校附近的菜农最近有了烦恼，他想用篱笆围成一个面积是100平方米的矩形菜地，想知道这个矩形菜地的长和宽各为多少的时候所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？”同时展示本节课的学习目标。
设计意图：创设生活实例情境，抛出问题，不仅调动学生的探究积极性，同时又紧扣基本不等式的应用，让学生感受数学知识的实际应用价值。展示学习目标明确本节课的学习任务。
合作探究，交流成果
分三个探究环节完成。
探究一： 由赵爽弦图引入
问题1：图中四个直角三角形面积之和及围成的大正方形的面积分别是多少？这两个面积之间有什么关系？
学生活动：主要由学生观察发现归纳并发言，教师板书。
两个面积之间的关系：
问题2：问题1中得到的式子什么时候等号成立？你能给上式进行严格的证明吗？
学生活动：学生观察，并动手进行证明。
教师展示：动画演示当且仅当a=b时等号成立，同时展示作差法证明过程。
设计意图：从几何图形入手，直观形象，同时培养学生观察归纳能力，让学生体会从形到数的过程。
探究二：
问题1：如果用去代替上式结论中的a,b，则a,b需要满足什么条件？替换之后能得到什么结论？
学生活动：学生观察，并动手写出替换后的式子。
设计意图：通过简单的代数替换，让学生体会数学中的替换思想。
问题2：问题1中得到的不等式什么时候等号成立？你会严格进行证明么？
学生活动：学生先独立思考证明方法，随后学生代表展示证明过程，再共同交流探讨证明方法的异同。
教师追问：展示的证明方法有哪些相同点和不同点呢？引导学生归纳出分析法证明基本不等式的过程。
设计意图：求同存异，寻求不同的证明方法，让学生在探究的基础上体会分析法的证明思路。
教师追问：我们发现当时，不等式成立，但是数学中我们一般把叫两个正数的算术平均数，叫两个正数的几何平均数，所以我们取a>0,b>0。请用文字语言表述基本不等式。
学生发言：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
设计意图：从均值角度研究基本不等式。
探究三：
我们通过替换得到了基本不等式，并且用分析法进行了严格的证明，那么基本不等式有什么几何解释呢？
问题：已知线段a,b,你能作出长度为与的线段吗？能对基本不等式进行几何解释吗？
学生活动：学生先独立思考，然后小组讨论交流，尝试作出长度为与的线段。
教师追问：得到结果的小组请选出代表上台展示。
学生代表用实物投影仪展示，其他学生补充，教师展示几何图形，并引导学生观察归纳出基本不等式的几何解释。
设计意图：通过小组讨论，合作交流，同时借助初中阶段学生已经熟知的射影定理，引导学生探究基本不等式的几何解释，通过数形结合，赋予基本不等式几何直观。目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式的内涵以及等号成立的条件。
教师追问：我们从不同的角度研究了基本不等式，请同学们归纳总结一下。
学生发言：三个角度，均值解释，几何解释及公式变形。
设计意图：通过归纳总结体会从不同的角度研究基本不等式，让学生对基本不等式有整体的认识。
解决问题，拓展延伸
问题解决：如图，用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
教师提问：由题意可得，求篱笆的长为的最小值，请问什么叫最小值呢？
学生活动：学生思考，尝试发言。
教师补充：即存在常数，使得，并且等号能成立，此时常数就是的最小值。
教师追问：同学们能用今天学习的知识帮这位菜农解决烦恼吗？
学生活动：学生动手尝试，学生代表上台展示。
(
A
B
C
D
x
y
)教师展示：教师展示标准解答过程，强调书写规范性及关键步骤。
(
A
B
C
D
x
y
)变式训练：如图，用一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
学生活动：学生独立思考，独立完成，并选代表展示过程。
教师追问：通过两个问题的解决，同学们有哪些体会和收获呢？
学生活动：反思过程，总结出两个正数积定和最小，和定积最大。
教师追问：同学们能总结一下利用基本不等式求最值时需要注意的问题吗？
学生活动：学生独立思考并发言。
设计意图：让学生感受数学的应用价值，同时引导学生体会基本不等式求最值的三个限制条件：一正、二定、三相等。
拓展延伸：如图，用一段长为24米的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长和宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
学生活动：学生独立思考，独立完成，并选代表展示。
教师追问：还有其他方法吗？
学生活动：学生思考，教师引导学生用函数的思想解决问题。
设计意图：让学生感受基本不等式在处理两个变量的最值问题中的作用，同时体会函数思想。
课堂小结，分层作业
这节课我们都学习了哪些内容，你有什么收获？
学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充。
教师补充：展示小结内容。
分层作业：（1）基本作业：课本P100习题组1、2题
（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．
设计意图：通过本环节，培养学生归纳概括的能力，知识的梳理再一次加深学生的印象。
目标检测设计（课后检测）
完成下列小题：
若，求的最小值；
若，求的最小值；
若，求的最大值；
设计意图：通过本题的练习检测学生是否领会了基本不等式求最值的三个限制条件，即一正，二定，三相等。
正数满足。
（1）求的最小值；
（2）求的最小值。
设计意图：通过本题的练习检测学生是否掌握了基本不等式的代数形式，同时让学生进一步体会两个变量的最值问题中蕴含的函数思想。

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