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21.1 一元二次方程
内容索引·常考题型
内容 常考题型
重点 一元二次方程的定义 选择题、填空题
难点 一元二次方程的一般形式 选择题、填空题
易错点 一元二次方程的解 选择题、填空题
■重点 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2．三要素： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2．
【典例1】　（2024 杭锦后旗校级开学）下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：．含有两个未知数，不是一元二次方程，选项不符合题意；
．符合一元二次方程的定义，选项符合题意；
．未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，选项不符合题意；
．未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，选项不符合题意．
故选：．
【典例2】　（2024春 历下区期末）下列是关于的一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”进行分析即可．
【解答】解：、该方程是分式方程，不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意；
、该方程是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意；
、该方程是关于的一元三次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
【典例3】　（2023秋 昆明期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进而得出答案．
【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得：．
故选：．
1．一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）． （2）只含有一个未知数． （3）未知数项的最高次数是2． 2．判断一个整式方程是否为一元二次方程，应以化简后的结果为准．若化简前含有未知数项的最高次数是2，但是化简后最高次数是1，则该方程不是一元二次方程．如，就不是一元二次方程．
■难点 一元二次方程的一般形式
一般形式：，其中ax2，bx，c分别叫做二次项、一次项、常数项，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
【典例1】　（2023秋 成都期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可．
【解答】解：，
，
即，
故选：．
【典例2】　（2024春 淮北期末）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是　　
A．9，3 B．9， C．， D．，3
【答案】
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：，
，
所以一次项系数、常数项分别为、3，
故选：．
【典例3】　（2024 裕华区校级模拟）一元二次方程的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为　　
A．3，1 B．， C．3， D．，
【答案】
【分析】根据一次项系数是6化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可．
【解答】解：，
，
，
一次项系数是6，
二次项系数是，常数项是，
故选：．
1．一元二次方程经过整理都可化成一般形式：，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项． 注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数． 2．中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． 3．在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号．
■易错点 一元二次方程的解
一元二次方程的解（根）： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
【典例1】　（2023秋 武汉期末）若一元二次方程的一个根为，则的值为　　
A．2 B． C．4 D．
【答案】
【分析】转化成解的一元一次方程求解．
【解答】解：把代入方程可得，
解得，
故选：．
【典例2】　（2024春 泗阳县期末）若是方程的一个解，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【分析】将方程的解代入方程中求解即可．
【解答】解：是方程的一个解，
，解得，
故选：．
【典例3】　（2024 贵州一模）已知是一元二次方程的解，则　　
A．8 B． C．4 D．
【答案】
【分析】根据题意，把代入方程中，进行计算可得，然后再把所求的式子变形为，即可解答．
【解答】解：由题意得：
把代入方程中，
，
，
，
故选：．
1．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解． 2．（1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=1；若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0． （2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=﹣1； 若x=﹣1是一元二次方程的一个根，则a﹣b+c=0． 3．要注意区分“解方程”与“方程的解”．中小学教育资源及组卷应用平台
21.1 一元二次方程
内容索引·常考题型
内容 常考题型
重点 一元二次方程的定义 选择题、填空题
难点 一元二次方程的一般形式 选择题、填空题
易错点 一元二次方程的解 选择题、填空题
■重点 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2．三要素： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2．
【典例1】　（2024 杭锦后旗校级开学）下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024春 历下区期末）下列是关于的一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2023秋 昆明期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
1．一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）． （2）只含有一个未知数． （3）未知数项的最高次数是2． 2．判断一个整式方程是否为一元二次方程，应以化简后的结果为准．若化简前含有未知数项的最高次数是2，但是化简后最高次数是1，则该方程不是一元二次方程．如，就不是一元二次方程．
■难点 一元二次方程的一般形式
一般形式：，其中ax2，bx，c分别叫做、一次项、常数项，a，b，c分别称为、一次项系数、常数项．
【典例1】　（2023秋 成都期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024春 淮北期末）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是　　
A．9，3 B．9， C．， D．，3
【典例3】　（2024 裕华区校级模拟）一元二次方程的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为　　
A．3，1 B．， C．3， D．，
1．一元二次方程经过整理都可化成一般形式：，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项． 注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数． 2．中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． 3．在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号．
■易错点 一元二次方程的解
一元二次方程的解（根）： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
【典例1】　（2023秋 武汉期末）若一元二次方程的一个根为，则的值为　　
A．2 B． C．4 D．
【典例2】　（2024春 泗阳县期末）若是方程的一个解，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
【典例3】　（2024 贵州一模）已知是一元二次方程的解，则　　
A．8 B． C．4 D．
1．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解． 2．（1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=1；若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0． （2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=﹣1； 若x=﹣1是一元二次方程的一个根，则a﹣b+c=0． 3．要注意区分“解方程”与“方程的解”．

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