资源简介

《导数的概念及其几何意义》教学设计
课型：新授课
一、教学内容分析
导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过案例分析抽象出函数模型，列表计算进行数据分析、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想.
本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.
二、学情分析
本节课授课对象是巩义一高中学生，属于学习能力中上的学生，他们的数学学习经验，计算能力和逻辑思维水平处于中游水平.
如何正确理解瞬时速度、切线的斜率是极限，这是第一个教学问题.要解决这个教学问题，需要用好前面学习过的案例，通过数值变化和图象直观，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义，这也是建立导数概念的关键.
如何从已经学习过的求瞬时速度、求切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学问题，也是教学难点.要解决好这个问题，需要先从学习过的具体案例中提练出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来.在此基础上，通过自变量的改变量趋于的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.
导数概念的建立过程中，涉及大量的相关概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学问题.教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号.
教学重难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.
三、学习目标
1.从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养.
2.通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.
3.通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.
四、评价任务
1．注重由特殊到一般的思维引导
本课以预设问题链激发学生思考、推动课堂教学.问题的设置体现了由特殊到一般的认知规律，即学生从跳水运动员的平均速度到瞬时速度的逼近和割线斜率到切线斜率的逼近，然后再推广到一般情形，建立导数的概念.
2．引导学生借助直观想象理解导数的几何意义
借助技术平台(如EXCEL软件等)使学生直观感受极限的“逼近”的过程，通过割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率的过程，向学生展示切线形成及切线斜率计算的过程，帮助学生理解导数的几何意义.
3．强化数学抽象的核心素养
在学生充分经历瞬时速度和切线斜率的计算过程后，引导学生归纳概括函数的平均变化率的概念，导数的概念.
五、教学评价活动过程
环节一
【问题1】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系.
如何求出时刻的瞬时速度？
师生活动预设：①教师通过提示学生上节课用平均速度逼近瞬时速度的方法计算出，时刻的瞬时速度，提问：如何求出时刻的瞬时速度？
②学生复习上节课求瞬时速度的方法，并思考教师提出的问题.
③教师利用信息技术演示平均速度逼近瞬时速度的计算过程：先计算时间段的平均速度，再令时间间隔无限趋近于，平均速度趋近于一个确定的值，这个(极限)值就是时的瞬时速度，同时进行极限运算的时候要向学生强调极限的运算过程，体会无限逼近的思想.
追问：(1)现在我们算出，，时刻的瞬时速度，那么对于某一时刻，你能否算出瞬时速度？如果能，请计算求出；如果不能，请说明理由.
解：时间段内的平均速度，令
，则，可见瞬时速度是一个只与有关的值，不妨记为，即，所以
运动员在某一时刻的瞬时速度为.
师生活动预设：①学生思考；
②教师展示计算过程，强调极限的表示和描述性定义.
设计意图：通过复习上节课瞬时速度的计算，提出一般时刻的瞬时速度的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.
追问：①类似地，我们还研究了抛物线在点某点处的切线斜率，如点，，其他点处切线的斜率能不能求？
②一般的点怎么表示？其斜率如何计算？
设计意图：继续复习上节课切线斜率的计算，提出一般的点处切线斜率的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.
【问题2】如果把高台跳水和求抛物线斜率问题中的函数换为一般函数，你可以类似地得出什么结论？
师生活动预设：①给学生充分思考的时间，引导学生抽象概括导数的概念.
如果学生归纳概括有困难，可以给出下表帮助学生思考：
函数 平均变化率 瞬时变化率(导数)
②教师引导学生归纳概括出导数的概念，学生在学案上归纳概括导数的概念并通过展台展示；教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其中的问题，同时完善学生的表达，强调其中符号的表示.
③教师给出函数的平均变化率、导数的定义：
对于函数，设自变量从变化到，相应的，函数值就从变化到.这时，的变化量为，的变化量为
.
我们把比值，即
叫做函数从到的平均变化率.
如果当时，平均变化率趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(derivative)，记作或，即
.
设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法. 设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法.
例题示范 例1 设，求.
解：，
.
师生活动预设：①学生思考.
②教师板书演示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念.
环节二
【问题3】 曲线()上的点到直线距离的最小值为________.
师生活动预设：①教师先回忆上节课研究的抛物线上一点到直线距离的最小值问题，然后提出问题：将抛物线换成曲线()如何解决.
②学生有可能给出如下回答：类似于抛物线的解决方法，如(1)设点坐标直接求，困难是三次函数的最值求不出来；(2)数形结合，利用几何方法，将点到直线的距离转化为平行线间的距离，当直线与曲线相切时取得最小值，从而引出求切线方程的问题.
③教师利用信息技术动态演示距离的变化情况，引出切线问题.
追问：①现在我们需要求得曲线()上一点()的切线，使其平行于直线，也就是让切线斜率等于？
②现在的关键是求出曲线()上一点()的切线斜率，那么切线怎么定义？是类似于圆的切线定义还是抛物线的切线定义？
师生活动预设：①学生思考并讨论，如何定义曲线()上一点()的切线.
②学生有可能给出如下回答：小部分回答圆的切线定义方式，大部分抛物线的切线定义方式.
追问：我们上节课已经知道圆的切线定义方式不适用于抛物线，那么抛物线的切线定义方式是否适用于圆呢？
师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.
②教师利用信息技术动态演示圆的割线逼近切线的过程.
追问：对于曲线()呢？一般曲线呢？
师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.
②教师利用信息技术动态演示圆及一般曲线的割线逼近切线的过程，并给出一般曲线在一点处的切线定义：
取曲线上的一动点，当点沿着曲线趋近于点时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线称为点处的切线(tangent line).
追问：现在切线定义已经解决了，如何求切线斜率？
师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：用割线斜率逼近切线斜率.
②教师投影切线斜率.
追问：现在我们称为？
师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(函数在处的)导数.
追问：导数的几何意义就是？
师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(曲线在点处的)切线斜率.
追问：曲线()上的哪个点处的切线斜率为？
师生活动预设：①教师提示：设点()处切线斜率为，则.
②学生在学案上计算的值并在展台上展示.
③教师点评学生的答案，并给出解答过程.
追问：曲线()上的点到直线距离的最小值是？
设计意图：通过研究一道解析几何经典问题，引出一般曲线的切线定义及某点处切线斜率的计算方法，直观形象地让学生体会导数的几何意义.
追问：通过前面的例子，你知道求函数在处的导数的步骤吗？
师生活动预设：学生思考并回答问题：
第一步，求函数的平均变化率并化简；
第二步，求极限，令，得到导数.
设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵，掌握导数运算.
【问题 4】你认为下列命题哪些是正确的？
①瞬时速度是导数.
②导数是切线斜率.
③导数是特殊的极限.
④曲线在点处的切线方程是.
师生活动预设：①学生在技术平台上完成解答；
②教师通过信息技术平台展示学生的解答情况并点评出错较多的问题，并由此进行小结.
③教师布置课后检测作业.
设计意图：通过【问题 4】对本节课内容进行小结，进一步加深学生对导数概念的理解，加强数学抽象、直观想象等核心素养.
环节三
例4. 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像.
根据图像，描述运动员在，，附近的变化情况.
师生活动预设：教师着重引导学生用导数的几何意义研究问题.“曲线”描述的是运动员的高度变化，要描述运动员的瞬时变化率可以应用函数的导数,而导数的几何意义就是切线斜率.因此，应用“切线斜率”研究“曲线变化”是十分必要的，让学生感悟“以直代曲”的意义.引导学生感知：因为可以“局部以直代曲”，所以可以用切线的上升、下降近似替代曲线的上升、下降.而切线的上升、下降可以用斜率反映.引导学生应用切线的斜率解释运动员的瞬时变化率.体会“数”与“形”的结合，深刻体会导数几何意义的应用价值.教师提问，学生独立思考、作答在学案上，教师将学生答案在大屏幕上分享，学生互评.
设计意图：学以致用，应用导数的几何意义解释情境中的瞬时变化率问题.体会导数的几何意义就是切线斜率，感受“以直代曲”重要思想的应用价值.将“高台跳水”情境贯穿本单元、本课时教学，让学生感知数学源于生活、用于生活.既可以从“数”的角度解释瞬时变化率，也可以从“形”的角度解释瞬时变化率.深化对导数概念及其几何意义的理解.通过切线斜率的正、负、零，为用导数研究函数的性质埋下伏笔，使学生的思维延伸到课堂之外.
六、板书设计
5.1.2 导数的概念及其几何意义
导数的概念
例1.
2.导数的几何意义
3.切线的定义 例4. 4.研究方法
七、作业与拓展设计
1.圆的面积与半径的关系为，问时面积关于半径的瞬时变化率是多少？
(设计意图：认识瞬时变化率(导数)的概念，练习导数的计算)
2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是
(设计意图：理解导数的概念及其几何意义)
3.求曲线在点处的切线的倾斜角的大小.
(设计意图：理解导数的几何意义)
八、特色学习资源分析，技术手段应用说明
本节内容需要恰当地应用信息技术辅助教学，并利用几何画板动态演示“逼近”与“放大”，让学生直观感受“切线比割线更贴近曲线”和“以直代曲”的极限思想，大大提高了探究效率，巧妙突破了难点，“导学案”、“演示课件”与展台相互结合，让学生不仅仅是听课学习，更重要的参与到教学过程中，锻炼数学素养
九、教学反思与改进
本节课较为抽象需要学生大量的参与，体会知识概念的形成并且会简单应用。在此过程中需要不断地鼓励学生独立思考、小组合作、交流分享，深刻体会知识的形成过程，使学生真正成为学习的主人.
综观整节课，本人认为需要不断地钻研了课程标准，才能更好地把控教材，课堂教学过程中需要合理精准设计“问题串”将数学思想方法与教学资源完美整合.使教学设计紧凑流畅、目标明确、重点突出、难点巧破，引导学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界，从根本上提升学生的数学抽象和直观想象的核心素养.
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