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21.2 解一元二次方程
内容索引·常考题型
内容 常考题型
重点01 直接开平方法 选择题、填空题
重点02 配方法 选择题、填空题、解答题
重点03 公式法 选择题、填空题、解答题
重点04 因式分解法 选择题、填空题、解答题
重点05 根的判别式 选择题、填空题
难点 用合适的方法解一元二次方程 填空题、解答题
易错点 根与系数的关系 选择题、填空题
■重点01 直接开平方法
直接开平方法：根据平方根的意义将一元二次方程“降次”为一元一次方程进行求解． 解形如的方程： 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当时，方程有两个不相等的实数根，即； 当时，方程没有实数根．
【典例1】　（2021秋 海陵区期末）方程的解是　　
A．， B． C．， D．，
【答案】
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：，
或，
故选：．
【典例2】　（2024春 孝义市期末）若，则　　．
【分析】把看作整体直接开方后再计算即可求解．
【解答】解：
或
或．
【典例3】　（2024春 淮北月考）方程的解是 　　．
【答案】，．
【分析】先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：，
，
，
解得：，，
故答案为：，．
1．等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数． 2．降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程． 3．方法是根据平方根的意义开平方． 4．形如的一元二次方程若有解，则两个解互为相反数． 5．直接开平方法：形如的方程，可直接开平方求解． 记忆口诀：左平方，右非负，系数化为1，开平方取正负．
■重点02 配方法
1．概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2．用配方法解一元二次方程“ax2＋bx+c=0（a≠0）”的一般步骤是： （1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0； （2）移项，将常数项移到方程的右边ax2＋bx=﹣c； （3）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数a； （4）配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n≤0，则原方程无解． 3．一般地，如果将一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有： （1）当时，方程有两个不相等的实数根：，． （2）当时，方程有两个相等的实数根：． （3）当时，方程没有实数根．
【典例1】　（2023秋 克州期末）用配方法解方程，变形正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【典例2】　（2024 兰陵县三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 　　．
【答案】48．
【分析】利用完全平方公式进行计算可得：，从而可得，进而可得，，然后求出的值，从而代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，，
解得：，
，
故答案为：48．
【典例3】　（2023秋 未央区期末）用配方法解方程：．
【分析】先移项，再配方，最后开方，即可求出答案．
【解答】解：，
，
配方得：，
，
开方得：，
，．
1．先看一元二次方程，是否适合用配方法． 2．注意符号． 一次项系数决定了完全平方式是两数差的平方还是两数和的平方． + +
■重点03 公式法
1．解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式（）．当时，方程（）的实数根可以写成的形式．这个式子叫做一元二次方程（）的求根公式． 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 2．解题步骤： （1）化：把一元二次方程化为一般形式． （2）定：确定a，b，c的值． （3）算：计算判别式的值． （4）求：在的前提下，将a，b，c的值代入求根公式求解． （若，则方程无实数根）
【典例1】　（2024 武都区校级二模）方程的一个根是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．
【解答】解：，，，
△，
则，
所以，．
故选：．
【典例2】　（2023秋 虹口区校级期末）的根为 　　．
【答案】．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【典例3】　（2024春 苍梧县期末）利用公式法解方程：．
【分析】观察方程为一般形式，找出此时二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解．
【解答】解：，
，，，
△，
，
，．
先把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）． 当时，可应用求根公式解一元二次方程．
■重点04 因式分解法
利用因式分解求解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 基本原理： 左边为整式的乘积的形式，右边等于0，则让左边的整式分别等于0即可求解． 即：，则0或0． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）整理：移项，使方程的右边化为零； （2）分解：将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）转化：令每个因式分别为零； （4）求解：两个因式分别为零的解就都是原方程的解．
【典例1】　（2024 鄞州区模拟）方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
【典例2】　（2024 永修县一模）一元二次方程的根是 　　．
【答案】，．
【分析】把方程左边因式分解得，解之即可求出方程的根
【解答】解：，
，
或，
，，
故答案为：，．
【典例3】　（2024春 莒县校级期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1），
因式分解得，
即或，
解得，．
（2），
移项得，
因式分解得，
即或，
解得，．
1．因式分解的方法： （1）提公因式法； （2）公式法：包含平方差公式和完全平方公式； （3）十字相乘法． 2．可化为的方程，用因式分解法求解． 3．切记不能在方程两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根．
■重点05 根的判别式
求出判别式的值，判断根的情况： （1）方程有两个不相等的实数根． （2）方程有两个相等的实数根． （3）方程没有实数根．
【典例1】　（2023秋 惠城区期末）关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】
【分析】化成一般形式，计算方程根的判别式，根据计算属性判断即可．
【解答】解：，
，
，，，
△，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
【典例2】　（2024 娄底二模）一元二次方程的根的情况是　　
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：，，，
△，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【典例3】　（2024 大观区校级二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
【答案】
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
则的取值范围是且．
故选：．
（1）应用根的判别式时，必须先把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）． （2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程只有一个实数根． （3）在一元二次方程中，注意隐含条件．
■难点 用合适的方法解一元二次方程
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
【典例1】　（2024春 亭湖区月考）解下列一元二次方程：
（1）；
（2）（公式法）；
（3）（配方法）；
（4）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
【分析】（1）先移项，再开方，即可得出方程的解；
（2）先准确找到方程的，，，求出△，代入公式即可得解；
（3）先把方程移项，再配方，直接开平方即可；
（4）先提公因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个方程的解即可
【解答】解：（1），
，
，
即，；
（2），
，，，
△，
，
解得：，；
（3），
，
，
，
解得：，；
（4）
，
，，
解得：，．
【典例2】　（2024 南关区校级开学）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1），
，
则或，
解得，；
（2），
，
或，
解得，．
【典例3】　（2023秋 西峰区校级月考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程；
（3）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
（4）根据因式分解解一元二次方程，即可求解．
【解答】解：（1），
，
或，
解得：，；
（2），
，
或，
解得：，；
（3），
，，，△，
，
解得：；
（4），
，
或，
解得：．
方程没有一次项时用直接开平方法较为简单． 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法较为简单． 当各项系数均为整数，且较小时，首选公式法． 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式时，用因式分解法较为简单． 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
■易错点 根与系数的关系
若关于的一元二次方程 有两个根分别为，则．注意运用根与系数关系的前提条件是．
【典例1】　（2024 蓬江区校级二模）若，是方程的两个根，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，进行判断即可．
【解答】解：，是方程的两个根，
，．
故选：．
【典例2】　（2024 当阳市模拟）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　　
A． B． C． D．0
【答案】
【分析】若，是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．
【解答】解：根据根与系数的关系得：，，
所以，
故选：．
【典例3】　（2024 鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据关于的方程的两根之和为，两根之积为，可以得到关于的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题．
【解答】解：设关于的方程的两根分别为，，
关于的方程的两根之和为，两根之积为，
，，
，，
化简，得：，，
整理可得，，
故选：．
已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解． 例如：，注意． 常见的公式变形： （1） （2） （3） （4）中小学教育资源及组卷应用平台
21.2 解一元二次方程
内容索引·常考题型
内容 常考题型
重点01 直接开平方法 选择题、填空题
重点02 配方法 选择题、填空题、解答题
重点03 公式法 选择题、填空题、解答题
重点04 因式分解法 选择题、填空题、解答题
重点05 根的判别式 选择题、填空题
难点 用合适的方法解一元二次方程 填空题、解答题
易错点 根与系数的关系 选择题、填空题
■重点01 直接开平方法
直接开平方法：根据平方根的意义将一元二次方程“降次”为一元一次方程进行求解． 解形如的方程： 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当时，方程有两个不相等的实数根，即； 当时，方程没有实数根．
【典例1】　（2021秋 海陵区期末）方程的解是　　
A．， B． C．， D．，
【典例2】　（2024春 孝义市期末）若，则　　．
【典例3】　（2024春 淮北月考）方程的解是 　　．
1．等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数． 2．降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程． 3．方法是根据平方根的意义开平方． 4．形如的一元二次方程若有解，则两个解互为相反数． 5．直接开平方法：形如的方程，可直接开平方求解． 记忆口诀：．
■重点02 配方法
1．概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2．用配方法解一元二次方程“ax2＋bx+c=0（a≠0）”的一般步骤是： （1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0； （2）移项，将常数项移到方程的右边ax2＋bx=﹣c； （3）化二次项系数为1，即方程两边同除以a； （4）配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n≤0，则原方程无解． 3．一般地，如果将一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有： （1）当时，方程有两个不相等的实数根：，． （2）当时，方程有两个相等的实数根：． （3）当时，方程没有实数根．
【典例1】　（2023秋 克州期末）用配方法解方程，变形正确的是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024 兰陵县三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 　　．
【典例3】　（2023秋 未央区期末）用配方法解方程：．
1．先看一元二次方程，是否适合用配方法． 2．注意符号． 一次项系数决定了完全平方式是两数差的平方还是两数和的平方．
■重点03 公式法
1．解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式（）．当时，方程（）的实数根可以写成的形式．这个式子叫做一元二次方程（）的． 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做． 2．解题步骤： （1）：把一元二次方程化为一般形式． （2）：确定a，b，c的值． （3）：计算判别式的值． （4）：在的前提下，将a，b，c的值代入求根公式求解． （若，则方程无实数根）
【典例1】　（2024 武都区校级二模）方程的一个根是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2023秋 虹口区校级期末）的根为 　　．
【典例3】　（2024春 苍梧县期末）利用公式法解方程：．
先把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）． 当时，可应用求根公式解一元二次方程．
■重点04 因式分解法
利用求解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 基本原理： 左边为的形式，右边等于0，则让左边的整式分别等于0即可求解． 即：，则0或0． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）：移项，使方程的右边化为零； （2）：将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）：令每个因式分别为零； （4）：两个因式分别为零的解就都是原方程的解．
【典例1】　（2024 鄞州区模拟）方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【典例2】　（2024 永修县一模）一元二次方程的根是 　　．
【典例3】　（2024春 莒县校级期末）解方程：
（1）； （2）．
1．因式分解的方法： （1）提公因式法； （2）公式法：包含平方差公式和完全平方公式； （3）十字相乘法． 2．可化为的方程，用因式分解法求解． 3．．
■重点05 根的判别式
求出判别式的值，判断根的情况： （1）方程有的实数根． （2）方程有的实数根． （3）方程实数根．
【典例1】　（2023秋 惠城区期末）关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【典例2】　（2024 娄底二模）一元二次方程的根的情况是　　
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【典例3】　（2024 大观区校级二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
（1）应用根的判别式时，必须先把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）． （2）当时，方程有的实数根，方程实数根． （3）在一元二次方程中，注意隐含条件．
■难点 用合适的方法解一元二次方程
要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，直接利用求根公式解方程；要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
【典例1】　（2024春 亭湖区月考）解下列一元二次方程：
（1）；
（2）（公式法）；
（3）（配方法）；
（4）．
【典例2】　（2024 南关区校级开学）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【典例3】　（2023秋 西峰区校级月考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
方程没有一次项时用较为简单． 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用较为简单． 当各项系数均为整数，且较小时，首选． 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式时，用较为简单． 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
■易错点 根与系数的关系
若关于的一元二次方程 有两个根分别为，则．注意运用根与系数关系的前提条件是．
【典例1】　（2024 蓬江区校级二模）若，是方程的两个根，则　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024 当阳市模拟）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　　
A． B． C． D．0
【典例3】　（2024 鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　
A． B． C． D．
已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解． 例如：，注意． 常见的公式变形： （1） （2） （3） （4）

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