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第一章 集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
1.初步了解集合与元素的特性，能准确使用符号表示集合与元素间的关系.
2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述具体问题，感受集合语言的意义和作用，可以用适当的方法表示集合(包括常用数集专用符号).
3.基于集合知识的学习，积累抽象思维的经验，提升数学抽象素养.
重点：集合的基本概念，元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合．
难点：用列举法和描述法正确表示集合．
（一）创设情境
你能举例出生活中集合的例子吗？(学生举例)
师生活动：教师展示生活中集合的实例，让学生也列举生活中的实例. 之后提出问题，引导学生用数学的眼光去观察和认识周围的事物.
设计意图：结合身边的事物举例，引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究集合和元素的含义
思考：
(1) 你能结合情境中的实例说出，什么是集合？什么是元素？
(2) 分析P2给出的例子，分析能否组成集合？如果能组成集合的话，它们的元素分别是什么
(3) 结合情境中的实例，总结出集合中元素的性质.
合作探究：先独立思考，再小组内交流，并汇报得出的结论.
师生活动：学生从情境视频中抽象出集合的概念，并由教师引导得到集合、元素的概念，类比判断实例是否可以组成集合，鼓励学生得出集合中元素的性质，最后由教师归纳总结.
预设答案：
(1) 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).
(2) 实例:
（2.1）1－10之间的每个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合．
（2.2） 立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合．
（2.3）每一个正方形作为元素，所有的正方形构成一个集合．
（2.4）到直线l的距离等于定长d的点作为元素，满足条件的点全体构成的一个集合．
（2.5）方程x2－3x＋2＝0的根作为元素，这些元素构成了一个集合．
（2.6）地球上的四大洋作为元素，这些大洋构成了一个集合．
(3) 确定性(给定的集合，它的元素必须是确定的)和互异性(一个给定集合中的元素是互不相同的).
设计意图：通过对上述问题的探索与研究,引导学生从实例中得出集合、元素的概念，形成对集合、元素的正确认识和理解,深刻理解集合中元素的性质.
追问1：你觉得“漂亮的衣服”、“著名的舞蹈家”能组成集合吗？
答：不能.因为没有准确的标准，无法确定集合中的元素，不具备确定性.
追问2：你从哪个角度分析一些研究对象能否构成集合？
答：从集合中的元素是否确定来分析．
设计意图：通过追问的形式，更加深刻的理解集合中元素的性质，并能熟练进行运用.
任务2：元素、集合及其关系的表示
说一说：1~10的质数构成一个集合，判断2,3,6是否是这个集合中的元素？元素与集合之间存在什么关系？
答：2,3是在集合中的元素，6不是在集合中的元素.元素与集合的关系：“属于”、“不属于”，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果b不是集合A中的元素，就说b不属于集合A，记作bA.
思考：
(1)咱班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？ 集合中的元素除了确定性、互异性之外是否存在其他性质？
(2)如何判断两个集合相等？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
预设答案：
(1)没有变化.元素位置调换，但集合中的元素是没有顺序的，集合中的元素具备无序性.
(2)元素是否完全一样，两个集合中元素是一样的，则这两个集合相等．
任务3：集合的表示：列举法和描述法
阅读课本回答问题．常用数集及其记法有哪些？
师生活动：学生独立阅读完成．给出练习检测其阅读效果．
设计意图：通过对常用数集及其记法，建议在运用中逐渐熟练掌握.
预设答案：常用数集及其记法：
非负整数（自然数集）N;
正整数集N*或N+;
整数集Z;
有理数集Q;
实数集R．
思考1：以下例子是否存在其他表示集合的方法吗？
①四大发明组成的集合；②大于0小于3的整数组成的集合.
预设答案：存在.四大发明包括造纸术、印刷术、火药、指南针，集合中有“造纸术、印刷术、火药、指南针”这四个元素.大于0小于3的整数有1,2，集合由1,2组成.
答：存在.
四大发明包括造纸术、印刷术、火药、指南针，那么可以表示为{造纸术,印刷术,火药,指南针}.
大于0小于3的整数有1,2，那么可以表示为{1,2}.
把集合的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
追问：使用列举法表示时需要注意什么？
答：利用列举法表示集合时应注意：①大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；②元素虽然与顺序无关，但是防止不重不漏，按一定的顺序列举较好，如：从小到大或者从大到小等．
设计意图：通过实例展示集合的表示方法，使学生逐步熟悉列举法，引导学生总结列举法表示集合时的注意事项，并在运用中逐渐熟练掌握.
思考2：你能用列举法表示不等式的解集吗
预设答案：不能.
答：不能.不等式的解是，因为满足的实数有无数个，所以的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：是实数，且，把解集表示为.同样可以表示为，或者，或者．
追问：例如：，，，.这些就是集合的描述法.观察例子，你觉得使用描述法表示时需要注意什么？
答：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征，一般形式为：．
设计意图：通过问题引入描述法，通过观察实例中集合，引导学生总结描述法表示集合时的注意事项，使学生逐步熟悉描述法，并在运用中逐渐熟练掌握.
探究：(1)用合适的方法表示以下集合：
①方程x2-3x+2=0的所有实数根；②所有偶数组成的集合；③所有奇数组成的集合.
(2)自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？
答：(1)①{x|x2-3x+2=0},{1,2}；
②{x|x=2k,k∈Z};
③{x|x=2k-1,k∈+1,k∈±1,k∈Z}.
(2)
表示方法 特点 适用对象
自然语言 简单易懂、生活化 元素不可列或无共同特征
列举法 每个元素一一列举出来，直观明显 元素有限、可列
描述法 元素具有明显的共同特征 元素是无限的或比较多
追问：集合只有一个表示方法吗？
答：不一定.一个集合可能有多种表示方法，例如所有奇数组成的集合可以用{x|x=2k-1,k∈+1,k∈±1,k∈Z}表示.
设计意图：通过集合的表示法，学生对实例或问题的思考，去体验知识方法．不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关．通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性．学习描述法时，先用自然语言描述集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法．在这个过程中提升学生的数学抽象素养．
（三）应用举例
例1 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合.
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么.
注：集合中的元素是无序的.
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合:
(1)方程的所有实数根组成的集合A;
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
解：(1)设x∈A，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为.
方程有两个实数根,，因此，用列举法表示为.
(2)设，则是一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.
大于10且小于20的整数有，因此，用列举法表示为.
例3 用“∈”或“”填空．
（1）若集合，则1 A，5 A.
（2）若集合，则5 B，-1 B．
解：（1），Z是整数，所以.所以，.
（2），N是自然数，所以.所以.
【总结】判断元素是否属于集合的方法：
①集合较为复杂时，需要先用更加简略的形式进行表示；
②判断元素是否在集合所在的区域内（可用数轴、图象等表示集合所在的区域）.
设计意图：通过例题，熟悉元素与集合之间的关系、常用数集及其记法、集合的表示的方法．
（四）课堂练习
1.有下列各组对象：
某校的年轻教师；
被除余数是的所有整数；
著名数学家；
直线上的所有点；
大于且小于的所有有理数．
其中能构成集合的对象有 填写序号
解：“某校”和“年轻”都不确定，不能构成集合的对象；
”被除余数是的所有整数”是确定的，可以构成集合的对象；
“著名”是不确定的，不能构成集合的对象；
“直线上的所有点”是确定的，能构成集合的对象；
“大于且小于的所有有理数”是确定的，能构成集合的对象．
故答案为：．
2.“”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是( )
A. B. C. D.
解：“”中的字母构成一个集合，
根据元素互异性可得该集合为，
故元素个数为，
故选B．
3.下列元素与集合的关系不正确的是( )
A. B. C. D.
解：是自然数集，，故A正确；
是整数集，，故B正确；
为有理数集，故，故C正确；
是无理数，故，故D不正确．
故选D．
4.已知，则实数的值为 ( )
A. B. C. 或 D. 无解
解：因为，
所以或．
当，即时，满足题意
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
综上可得，的值为．
故选A．
5.含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ．
解：由题意，及，
可得，
从而，
进而有，即或（舍去）（集合元素的互异性），
故答案为．
6.一次函数与的图象的交点组成的集合是( )
A. B. C. D.
解：由题意，联立方程组可得解得
所以一次函数与的图象的交点为
所以组成的集合是故选D．
7.已知集合且，则集合中的元素个数为( )
A. B. C. D.
解：，集合中的元素有4个，
故选：C．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固集合和元素的概念及性质、集合与元素的关系、集合的表示方法，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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