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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 方程
5.1.2等式的性质
学习目标：
1.理解、掌握等式的性质.
2.能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.
重点：掌握等式的性质，会运用等式的性质解简单的一元一次方程.
难点：由具体实例抽象出等式的性质.
老师告诉你
利用等式性质解一元一次方程，实质就是将方程变形为x=a的形式，对于方程x+a=b的方程两边减去a，得x=b-a;对于ax=b（a≠0）的方程，两边都除以a,得x=.
注意：（1）等式两边都要参与运算，并且是做同一种运算；（2）等式两边加、减、乘、除的数一定是同一个数或同一个式子；（3）0不能作除数。
知识点拨
知识点1 等式的性质
　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
　　如果a=b，那么a (c为一个数或一个式子) .
　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果，那么；如果，那么.
注意：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋=这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零。
【新知导学】
例1．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（　　）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【对应导练】
1．下列运用等式性质正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b-c B．如果ac＝bc，那么a＝b
C．如果＝，那么a＝b D．如果a2＝ab，那么a＝b
2．根据等式的性质，如果，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，由等式的性质可以得到如下结论，其中错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．如果p=q成立，则：（1）ap=aq；（2）成立吗？
知识点2 等式的性质应用
利用等式性质解方程
利用等式性质求式子的值
利用等式性质比较大小
【新知导学】
例2． 根据等式的性质填空：
（1） 如果x=y， 那么x+1=y+　 　；
（2） 如果x+2=y+2， 那么　 　=y；
（3） 如果x=y， 那么　 　·x=5y；
（4） 如果3x=6y， 那么x=　 　·y.
【对应导练】
1．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
2．下列运用等式的性质变形正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为　 　．
二、题型训练
1.利用等式性质变形
1．已知a，b，c三种物体如图所示摆放.
回答下列问题：
（1）a，b，c三种物体就单个而言哪个最重
（2）若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c
2．由等式=0能变形成4a=3b吗？若能，请说出每一步的变形过程及其依据．
3．根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式．
（1）a-b-1=0，等式的两边都加上1．
（2）a+b=2b，等式的两边都减去b．
（3），等式的两边都乘60．
（4）-8a=24b，等式的两边都除以-8．
2.利用等式性质解方程
4．用等式性质解方程：10x﹣3=x．
5．利用等式的性质解方程：
（1）5﹣x=﹣2
（2）3x﹣6=﹣31﹣2x．
6．利用等式的性质解方程：3x+6=31﹣2x．
7（1）小兵今年13岁，约翰的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求约翰的年龄．
（2）若干年前，创维牌25英寸彩电的价格为3000元，现在只卖1600元，求降低了百分之几？
3.利用等式性质作判断
8．下面是张铭同学今天做的家庭作业：
问题：将等式5x﹣3y=4x﹣3y变形．
解：因为5x﹣3y=4x﹣3y，
所以5x=4x（第一步）
所以5=4（第二步）
上述过程中，第一步是怎么得到的？第二步得出错误的结论，其原因是什么？
一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列变形符合等式性质的是 (　　)
A．若 则x=1 B．若2a-b=4，则b=4-2a
C．若 则a=b D．若 则x=2
2．根据等式的性质，下列变形正确的是 (　　)
A．如果8a=4，那么a=2 B．如果 ac= bc，那么a=b
C．如果 那么2a=3b D．如果1-2a=3a，那么3a+2a=1
3．下列结论不正确的是（　　）
A．若a+c=b+c，则a=b B．若ac=bc，则a=b
C．若，则a=b D．若ax=b（a≠0），则x=
4．下列方程变形错误的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
5．下列说法：
①若，则；②若，则；③若，则；
④若方程与的解相同，则的值为0．正确的个数有（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．下列解方程的变形中，依据“等式的性质1”的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
7．对幻方的研究体现了中国古人的智慧．如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为（　　）
A．5 B．1 C．0 D．
8．把等式变形为是根据（　　）．
A．等式左右两端都加上 B．在等式左右两端都加上
C．在等式左右两端都加上 D．在等式左右两端都加上
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．由3x+5=10，得到3x=10-5的依据是　 　.
10．将方程x+3y=8变形为用含y的式子表示x，那么x=　 　
11．已知 ，利用等式性质可求得a+b的值是　 　.
12．已知5a+2b=3b+10，利用等式的性质可求得10a-2b的值是　 　
13．阅读框图，在四个步骤中，不是依据等式性质变形的是　 　（填序号即可）．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．已知a-b=0．下列等式成立吗？请说明理由．
（1）a=b．
（2）2a=2b．．
（3）
（4）a=b+1．
15．已知a，b，c三个物体的质量如下图所示．
回答下列问题：
（1）a，b，c三个物体中哪个最重？
（2）若在天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c？
16．某天王强对张涛同学说：“我发现5可以等于4．这里有一个方程：5x﹣8=4x﹣8，等式两边同时加上8得5x=4x，等式两边同时除以x得5=4．”请你想一想，王强说的对吗？请简要说明理由．
17．已知m﹣1=n，试用等式的性质比较m与n的大小．
18．阅读下列材料：
问题：怎样将表示成分数？
小明的探究过程如下：
设①，
②，
③，
④，
⑤，
⑥，
⑦.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）从步骤①到步骤②，变形的依据是　 　，从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是　 　.
（2）仿照上述探究过程，请你将表示成分数的形式.
19．已知，小明发现在该等式中，当时，可以得到.请根据小明的发现，解答下列问题：
（1）　 　，　 　.
（2）求的值；
（3）求的值.
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 方程
5.1.2等式的性质
学习目标：
1.理解、掌握等式的性质.
2.能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.
重点：掌握等式的性质，会运用等式的性质解简单的一元一次方程.
难点：由具体实例抽象出等式的性质.
老师告诉你
利用等式性质解一元一次方程，实质就是将方程变形为x=a的形式，对于方程x+a=b的方程两边减去a，得x=b-a;对于ax=b（a≠0）的方程，两边都除以a,得x=.
注意：（1）等式两边都要参与运算，并且是做同一种运算；（2）等式两边加、减、乘、除的数一定是同一个数或同一个式子；（3）0不能作除数。
知识点拨
知识点1 等式的性质
　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
　　如果a=b，那么a (c为一个数或一个式子) .
　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果，那么；如果，那么.
注意：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋=这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零。
【新知导学】
例1．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（　　）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】如果设第一个天平中左右砝码质量为a，b，则由题意得：a=b，
第二个天平中增加的小砝码质量为c，则a+c=b+c，
∴与如图的事实具有相同性质的是，如果 ，那么 ，
故答案为：C.
【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；（2）在不等式两边同乘一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等.
【对应导练】
1．下列运用等式性质正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b-c B．如果ac＝bc，那么a＝b
C．如果＝，那么a＝b D．如果a2＝ab，那么a＝b
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】如果a＝b，那么a+c＝b+c，故A不符合题意；
当c=0时，ac＝bc，但a和b不一定相等，故B不符合题意；
根据＝成立，即，故等式两边同时乘c，即得出a＝b，故C符合题意；
当a=0时，a2＝ab，但a和b不一定相等，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一分析判断即可.
2．根据等式的性质，如果，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、如果，不一定成立，故本选项不符合题意；
B、如果，不成立，故本选项不符合题意；
C、如果，不一定成立，故本选项不符合题意；
D、如果，一定成立，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘(或除)相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方(或开方)，两边依然相等.
3．已知，由等式的性质可以得到如下结论，其中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、当时，，选项错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据等式的基本性质，逐一进行判定即可．
4．如果p=q成立，则：（1）ap=aq；（2）成立吗？
【答案】解：（1）当a=0时候，ap=aq不成立，否则，成立；（2）当b=0时不成立，否则成立．
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】等式的两个基本性质分别是：等式的两边同时加上或减去同一个数，等式的大小不变；等式的两边同时乘上同一个数或除以同一个不为0的数，等式的大小不变；据此解答．
知识点2 等式的性质应用
利用等式性质解方程
利用等式性质求式子的值
利用等式性质比较大小
【新知导学】
例2． 根据等式的性质填空：
（1） 如果x=y， 那么x+1=y+　 　；
（2） 如果x+2=y+2， 那么　 　=y；
（3） 如果x=y， 那么　 　·x=5y；
（4） 如果3x=6y， 那么x=　 　·y.
【答案】（1）1
（2）x
（3）5
（4）2
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：（1）∵x=y，
∴x+1=y+1；
故答案为：1；
（2）∵x+2=y+2，
∴x+2-2=y+2-2，
∴x=y；
故答案为：x；
（3）∵x=y，
∴5x=5y；
故答案为：5；
（4）∵3x=6y，
∴，
即x=2y；
故答案为：2.
【分析】根据等式的性质“①等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；
②等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立.”计算即可求解.
【对应导练】
1．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A．如果，两边都加，那么，该选项不符合题意；
B．如果，那么，该选项符合题意；
C．如果，如果，那么，该选项不符合题意；
D．如果，那么或，该选项不符合题意．
故答案为：B
【分析】等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或整式，等式仍成立．根据等式的性质分别对各选项进行分析，从而可得答案．
2．下列运用等式的性质变形正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A： 若，则 ，所以A不正确；
B： 若，则 或a=-b，所以B不正确；
C： 若，等式两边都乘c（由等式知c≠0），则 ，所以C正确；
D： 若，如果a≠0时，则 ，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据等式的性质，分别判断，即可得出答案。
3．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】等式的基本性质；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设第三行与第二列交点的数为，根据九宫图的填法，如图所示：
∴，
解得：；
故答案为．
【分析】设第三行与第二列交点的数为，根据“ 每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等 ”列出方程，再求出即可.
二、题型训练
1.利用等式性质变形
1．已知a，b，c三种物体如图所示摆放.
回答下列问题：
（1）a，b，c三种物体就单个而言哪个最重
（2）若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c
【答案】（1）解：由图可得：3a=4b，3b=4c
∴3a=4b，等式两边同时除以3，得a=43b，
3b=4c，等式两边同时除以4，得34b=c.
∵43b＞b＞34b
∴a＞b﹥c
∴ a，b，c三种物体就单个而言a最重.
（2）解：∵3a=4b，3b=4c
∴b=34a，b=43c
∴34a=43c
∴9a=16c
∴若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c、要使天平平衡，天平一边至少放9个物体a，天平另一边至少放16个物体c
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】（1）运用等式性质2，可得a=43b，34b=c.运用等式性质4：如果 a=b，b=c，那么 a=c.(传递性)，可得a＞b﹥c.即得答案；
（2）运用等式性质2，可得b=34a，b=43c；运用等式性质4，可得9a=16c.即可以得出答案.
2．由等式=0能变形成4a=3b吗？若能，请说出每一步的变形过程及其依据．
【答案】解：等式两边同时加得：
（等式的性质1），
即，
等式两边同时乘以12得：
4a=3b（等式的性质2）.
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】根据等式的性质1和等式的性质2可求解.
3．根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式．
（1）a-b-1=0，等式的两边都加上1．
（2）a+b=2b，等式的两边都减去b．
（3），等式的两边都乘60．
（4）-8a=24b，等式的两边都除以-8．
【答案】（1）解：∵a-b-1=0，
∴a-b-1+1=0+1，
∴a-b=1.
（2）解：∵a+b=2b，
∴a+b-b=2b-b，
∴a=b.
（3）解：∵，
∴，
∴5a=12b.
（4）解：∵-8a=24b，
∴-8a÷(-8)=24b÷(-8)，
∴a=-3b.
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质1，在方程两边同时加1，等式的值不变可求解；
（2）根据等式的性质1，在方程两边同时减去b，等式的值不变可求解；
（3）根据等式的性质2，在方程两边同时乘以60，等式的值不变可求解；
（4）根据等式的性质2，在方程两边同时除以-8，等式的值不变可求解.
2.利用等式性质解方程
4．用等式性质解方程：10x﹣3=x．
【答案】解：∵10x﹣3=x，
∴10x﹣3﹣x+3=x﹣x+3，
∴9x=3，
∵9=9，
∴x==．
【知识点】等式的基本性质；一元一次方程的解
【解析】【分析】本题需利用等式的性质对等式进行变形，从而解决问题．
5．利用等式的性质解方程：
（1）5﹣x=﹣2
（2）3x﹣6=﹣31﹣2x．
【答案】解：（1）两边都减5，得﹣x=﹣7，
两边都除以﹣1，得
x=7；
（2）两边都加（2x+6），得
5x=﹣25，
两边都除以5，得
x=﹣5．
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；
（2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．
6．利用等式的性质解方程：3x+6=31﹣2x．
【答案】解：
3x+6=31﹣2x
3x+6+2x﹣6=31﹣2x+2x﹣6
5x=25
x=5．
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】在等式的两边同时加上（2x﹣6），然后再除以5．
7（1）小兵今年13岁，约翰的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求约翰的年龄．
（2）若干年前，创维牌25英寸彩电的价格为3000元，现在只卖1600元，求降低了百分之几？
【答案】（1）设约翰的年龄是x岁，得3x=13×2+10（2）设降低了x，得：3000×（1-x）=1600
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】（1）设约翰的年龄是x岁.
根据题意列方程：3x=13×2+10
（2）设降低的百分数为x.
根据题意列方程:3000×（1-x）=1600
【分析】解决本题主要是找准题干中的等量关系，两题的等量关系分别是：小兵年龄×2+10=约翰的年龄×3；原价×（1-降低率）=现价.
3.利用等式性质作判断
8．下面是张铭同学今天做的家庭作业：
问题：将等式5x﹣3y=4x﹣3y变形．
解：因为5x﹣3y=4x﹣3y，
所以5x=4x（第一步）
所以5=4（第二步）
上述过程中，第一步是怎么得到的？第二步得出错误的结论，其原因是什么？
【答案】解：第一步是两边都加3y，
第二步错误的原因是x=0时，两边都除以x无意义．
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】根据等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．
9．已知3b﹣2a﹣1=3a﹣2b，请利用等式性质比较a与b的大小．
【答案】解：等式两边同时加2a+1，得3b=5a﹣2b+1．
等式两边同时加2b，得5b=5a+1．
等式两边同时除以5，得．所以b＞a．
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断．
一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？
【答案】方程为：
【分析】
根据个位上的数是1，十位上的数是x，再用把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小18列出方程，解出即可．
【详解】
解：根据题意列方程得：
解得：x＝3，
答：x是方程的解，是3．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的关键表示出这个数，据题意列出方程解决问题．
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列变形符合等式性质的是 (　　)
A．若 则x=1 B．若2a-b=4，则b=4-2a
C．若 则a=b D．若 则x=2
【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】A、若，x=9，故A不符合题意；
B、若2a-b=4，则b=2a-4，故B不符合题意；
C、若，则a=b，故C符合题意；
D、若，则x=-18，故D不符合题意；
故答案选：C.
【分析】根据等式的性质即可求出答案.
2．根据等式的性质，下列变形正确的是 (　　)
A．如果8a=4，那么a=2 B．如果 ac= bc，那么a=b
C．如果 那么2a=3b D．如果1-2a=3a，那么3a+2a=1
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】如果8a =4，那么，
故A选项不符合题意；
如果ac = bc(c≠0)，那么a=b，
故B选项不符合题意；
如果，那么3a=2b，
故C选项不符合题意；
如果1-2a=3a，那么3a+2a=1，
故D选项符合题意，
故答案选：D.
【分析】根据等式的性质分别判断即可.
3．下列结论不正确的是（　　）
A．若a+c=b+c，则a=b B．若ac=bc，则a=b
C．若，则a=b D．若ax=b（a≠0），则x=
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、a+c=b+c，两边同时减去c，则a=b，故选项正确；
B、当c=0时，a=b不一定成立，故选项错误；
C、，两边同时乘以c，则a=b，故选项正确；
D、若ax=b（a≠0），两边同时除以a得x= ，故选项正确．
故选B．
【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．即可解决．
4．下列方程变形错误的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】A、∵等式两边都乘以2得到，∴A正确，不符合题意；
B、∵等式两边都除以-2可得，∴B不正确，符合题意；
C、∵等式两边都减去5可得，∴C正确，不符合题意；
D、∵等式都加上x再减去3可得，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用等式的性质逐项分析判断即可.
5．下列说法：
①若，则；②若，则；③若，则；
④若方程与的解相同，则的值为0．正确的个数有（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】等式的基本性质；一元一次方程的解
【解析】【解答】若，则，说法错误，如当c=0时，a，b的值可以为任意数，故①错误，不符合题意；
若，则，说法正确，故②符合题意；
若，则，说法错误，故③不符合题意；
解方程得，解方程得，因为解相同，所以，解得=0，故④说法正确，符合题意．
正确得有②④ ，
故答案为：C.
【分析】根据等式的基本性质以及一元一次方程得解对选项进行逐一判断即可求解.
6．下列解方程的变形中，依据“等式的性质1”的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、由4x-x=-2-4，合并同类项，得3x=-6，是没有运用等式的性质，A不符合题意；
B、由2x-3=7x+4，等号的两边同时加上3-7x，得2x-7x=4+3，依据的是“等式的性质1”，B符合题意；
C、由6x=3，等号的两边同时除以6，得，依据的是“等式的性质2”，C不符合题意；
D、由，等号的两边同时乘以10，得4x+10=5x，依据的是“等式的性质2”，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，逐项分析即可得出答案.
7．对幻方的研究体现了中国古人的智慧．如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为（　　）
A．5 B．1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：如图所示：
则
∴
解得：，
故答案为：B
【分析】先根据题意列出方程，进而根据等式的性质结合题意解一元一次方程即可求解。
8．把等式变形为是根据（　　）．
A．等式左右两端都加上 B．在等式左右两端都加上
C．在等式左右两端都加上 D．在等式左右两端都加上
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A： 等式左右两端都加上 ，可得：3m-2n=n，所以A不正确；
B： 在等式左右两端都加上 ，得：m=3n-2m，所以B不正确；
C： 在等式左右两端都加上 ，得：m+2m=n+2n，所以C正确；
D： 在等式左右两端都加上 ，得：3m-4n=n-2n，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据等式的性质，分别进行判断，即可得出答案。
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．由3x+5=10，得到3x=10-5的依据是　 　.
【答案】等式的性质1
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据等式的性质1，在方程两边同时减去5可得：
3x=10-5.
故答案为：等式的性质1.
【分析】根据等式的性质1可求解.
10．将方程x+3y=8变形为用含y的式子表示x，那么x=　 　
【答案】8-3y
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解： x+3y=8 ，
移项：x=8-3y.
故答案为：8-3y.
【分析】直接将3y移到等号右边即可.
11．已知 ，利用等式性质可求得a+b的值是　 　.
【答案】2
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：5a+8b＝3b+10，
5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10，
5a+5b＝10，
5（a+b）＝10，
a+b＝2.
故答案为：2.
【分析】根据等式的性质，等式的两边同时减去3b，可得5a+5b=10，再把等式的两边同时除以5即可.
12．已知5a+2b=3b+10，利用等式的性质可求得10a-2b的值是　 　
【答案】20
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：5a+2b= 3b+ 10，
5a-b= 10，
10a- 2b=20，
故答案为：20.
【分析】先运用等式的性质1，等式两边同时减去3b，再运用等式性质2，两边同时乘以2，即可得到答案.
13．阅读框图，在四个步骤中，不是依据等式性质变形的是　 　（填序号即可）．
【答案】③
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：①去分母时，在方程两边同时乘上10，依据为：等式的性质2；
②移项时，等式两边同时减去2x，依据为：等式的性质1；
③合并同类项时，依据是合并同类项法则；不是等式性质；
④系数化为1时，在等式两边同时除以3，依据为：等式的性质2；
故答案为：③．
【分析】根据等式的性质逐步判断即可。
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．已知a-b=0．下列等式成立吗？请说明理由．
（1）a=b．
（2）2a=2b．．
（3）
（4）a=b+1．
【答案】（1）解：∵a-b=0，
∴a-b+b=0+b（等式的性质1），
即：a=b.
（2）解：∵a-b=0，
∴a-b+b=0+b（等式的性质1），
∴a=b，
∴2a=2b(等式的性质2）.
（3）解：∵a-b=0，
∴a-b+b=0+b（等式的性质1），
∴a=b，
∴(等式的性质2）.
（4）解：∵a-b=0，
∴a-b+b=0+b（等式的性质1），
∴a=b，
∴a+1=b+1（等式的性质1），即a≠b+1.
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】(1)根据等式的性质1在等式两边同时加b即可判断求解；
（2）根据等式的性质1在等式两边同时加b，然后根据等式的性质2在等式两边同时乘以2即可判断求解；
（3）根据等式的性质1在等式两边同时加b，然后根据等式的性质2在等式两边同时除以3即可判断求解；
（4）根据等式的性质1在等式两边同时加b，然后根据等式的性质1在等式两边同时加1即可判断求解.
15．已知a，b，c三个物体的质量如下图所示．
回答下列问题：
（1）a，b，c三个物体中哪个最重？
（2）若在天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c？
【答案】（1）解：2a= 3b，2b=3c，
a=b，b=c，
a=c，c>c>c
∴a>b>c
∴a物体最重．
（2）解：由（1）知a=c
∴4a=9c，
∴天平两边至少应该分别放4个物体a和9个物体c．
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据图可列出，a 与b，b与c的等式，再利用等式的性质2即可得出a与c，即可比较a，b，c的大小；
（2）根据（1）可导出a与c的等量关系即可得出答案.
16．某天王强对张涛同学说：“我发现5可以等于4．这里有一个方程：5x﹣8=4x﹣8，等式两边同时加上8得5x=4x，等式两边同时除以x得5=4．”请你想一想，王强说的对吗？请简要说明理由．
【答案】解：不对．
理由：∵5x﹣8=4x﹣8的解为x=0，当5x=4x两边除以x时，即两边除以0，
∴不对．
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】等式两边除以的未知数也有可能是0，所以不能把等式两边都除以未知数．
17．已知m﹣1=n，试用等式的性质比较m与n的大小．
【答案】解：已知等式去分母得：3m﹣4=3n，
整理得：3（m﹣n）=4，
∴m﹣n＞0，
则m＞n．
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】已知等式变形，即可得到结果．
18．阅读下列材料：
问题：怎样将表示成分数？
小明的探究过程如下：
设①，
②，
③，
④，
⑤，
⑥，
⑦.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）从步骤①到步骤②，变形的依据是　 　，从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是　 　.
（2）仿照上述探究过程，请你将表示成分数的形式.
【答案】（1）等式的基本性质2；等式的基本性质1
（2）解：设，
.
，
，
，
.
【知识点】等式的基本性质；一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）从步骤①到步骤②，是在等式的两边都乘以了10，变形的依据是等式的基本性质2，从步骤⑤到步骤⑥，是在等式的两边同时减去x，变形的依据是等式的基本性质1；
故答案为：等式的基本性质2，等式的基本性质1；
【分析】（1）根据等式的性质即可求解；
（2）设＝x，根据等式的性质2，方程的两边都乘10得出10x＝10×，求出10x＝3＋x，再求出方程的解即可．
19．已知，小明发现在该等式中，当时，可以得到.请根据小明的发现，解答下列问题：
（1）　 　，　 　.
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）0；1
（2）解：当时，可以得到
=
（3）解：
【知识点】等式的基本性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）当x=-1时，-a+b-c+d=0；
当x=0时，可得d=1；
故答案为：0；1.
【分析】（1）根据等式的性质和题中的发现，分别将x=-1和0代入等式，即可求得；
（2）根据代数式前面的系数的规律，可将x=2代入即可直接求得代数式的值；
（3）分析所求代数式的系数，发现刚好一 一等于等于8a+4b+2c+d和-a+b-c+d的系数之和，所以所求代数式的值就等于8a+4b+2c+d和-a+b-c+d代数式的值之和.
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