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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 方程
5.2.1解一元一次方程2
学习目标：
1.了解“去括号”是解方程的重要步骤.
2.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.
重点：会用去括号法解一元一次方程，用一元一次方程解决简单的实际生活问题.
难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程解决.
老师告诉你
去括号注意问题：
若括号前有数字因数，去括号不要漏乘括号内的项；
括号前是负号，去括号后原括号内各项都要变号。
既有小括号，又有中括号，一般先去小括号，再去中括号，若小括号、中括号、大括号都有时，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，以上顺序也不是一成不变的，要灵活利用方程特点去括号。
知识点拨
知识点1 利用去括号解一元一次方程
(1)去括号：
①定义：解方程中，把方程中含有的括号去掉的过程．
②目的：化简方程，便于求解．
③依据：去括号法则．
(2)解含括号的一元一次方程的一般步骤：
①去括号．②移项．③合并同类项．④系数化为1
解含括号的一元一次方程注意事项
解方程中去括号的一般顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号．此时，要注意把里面的括号看作一个整体。
去括号时要注意
①当括号外的因数是负数，括号内的每一项都应改变符号
②去括号时，括号外的因数要乘括号内的每一项，不要漏乘任何一项。
【新知导学】
例1．解方程：．
【对应导练】
1．已知关于y的方程2(y+1)-m=-2(m-2)的解比方程5(x+1)-1=4(x-1)+1的解大2，求m的值.
2．解方程-2(x-1)-4(x-2)=1时，去括号的结果正确的是 (　　)
A．-2x+2-4x-8=1 B．-2x+1-4x+2=1
C．-2x-2-4x-8=1 D．-2x+2-4x+8=1
3． 解下列方程：
2(x+3)=5x；
（1） 4x+3(2x-3)=12-(x+4)；
2-3(x+1)=1-2(1+0.5x).
知识点2 利用去括号解一元一次方程实际问题
通过实际问题，重点让学生经历和感受方程较算式的优越性，突出数学模型的广泛性和有效性.
顺流逆流问题：顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
【新知导学】
例2．练习本比铅笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支铅笔，正好用去14元.如果设铅笔的单价为x元，根据题意，可列方程为　 　.
【对应导练】
1．河北省某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有 名，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4h.已知水流速度为2km/h，则船在静水中的平均速度为　 　.
3．元朝数学家朱世杰著的《算法启蒙》中，有一道数学应用题．“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”译文：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”设快马x天可以追上慢马，根据题意，列方程为　 　．
二、题型训练
利用去括号解一元一次方程
1．解方程．
2．解方程：
3．解方程：．
4．张华同学在解方程时步骤如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）张华同学的解法从第　 　步开始错误，错误的原因是　 　．
（2）请你写出正确的解题过程．
5．解方程：
利用去括号解一元一次方程的实际问题
5．我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳子三折来量，井外余绳四尺；把绳子四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用小时，已知轮船在静水中的速度为千米时，求水流的速度，若设水流的速度为千米时，则列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．某车间有28名工人生产螺钉和螺母，每人每小时平均能生产螺钉12个或螺母18个，1个螺钉需要配2个螺母，若安排 名工人生产螺钉时每小时生产的螺栓和螺母刚好配套，那么可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．小明以每小时千米的速度从家步行到学校上学，放学时以每小时千米的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多分钟，如果设上学路上所花的时间为小时，根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．方程 去括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．将方程5(x - 3)- 2(x - 7)= 3去括号，正确的是（　　）
A．5x-15-2x-14=3 B．5x-3-2x＋7=3
C．5x-15-2x＋7=3 D．5x-15-2x＋14=3
3．若关于x的方程x-2=m的解与2(x+1)=m+2的解之和等于5，则m的值是（　　）
A．-1 B．3 C．2 D．
4．解方程的步骤如图所示，则在每一步变形中，依据“等式的基本性质”有（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
5．冉冉解方程时，发现★处一个常数被涂抹了，已知方程的解是，则★处的数字是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百三十里．驽马先行一十一日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走130里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．某同学骑车从家到学校，每分钟行1.5km，某天回家时，速度提高到每分钟2km，结果提前5分钟回到家，设原来从学校到家之间骑x分钟，则列方程为
(　　)．
A．1.5x=2(x+5) B．1.5x=2(x-5) C．1.5(x+5)=2x D．1.5(x-5)=2x
8．学校组织义务劳动，已知在甲处有10人，在乙处有16人，现调19人去支援，使在乙处的人数是在甲处人数的2倍．设应调往甲处x人，则可列方程为（　　）
A．10+x＝2（16+19﹣x） B．2（10+x）＝16+19﹣x
C．10+19﹣x＝2（16+x） D．2（10+19﹣x）＝16+x
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．下面的框图表示解方程7y+(3y-5)=y-2(7-3y)的流程，其中A代表的步骤是　 　，步骤A对方程进行变形的依据是　 　
10．已知方程与有相同的解，则的值是 　 　．
11．阅读课上王老师将一批书分给各小组，若每小组分得8本，则剩余3本；若每小组分得9本，则缺少2本，问有几个小组？若设有x个小组，则依题意列方程为　 　.
12．，，，为有理数，先规定一种新的运算：，那么，　 　.
13．，两地相距千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，已知甲速度为千米/时，乙速度为千米/时，小时后两车相距千米，满足的方程是　 　.
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．解方程：4x-3+6(3-4x)=7(4x-3)．你有几种不同的解法？你认为哪一种方法比较简便？
15．下面解方程的过程对不对？如果不对，应怎样改正？
解方程：4(x- 1)-x=2(x+)．
解：去括号，得4x-1-x=x+1，
移项，得4x-x-x=1+1，
合并同类项，得2x=2，
两边同除以2，得x=1．
16．关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解与5（x﹣3）＝4x﹣10的解互为相反数，求﹣3a2+7a﹣1的值．
17．小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了A、B两家水果店的苹果和橘子，这两家水果店的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买 5 千克橘子的费用相等，设橘子的价格为每千克 x元.
（1）根据题意列出方程.
（2）在x=6，x=7，x=8中，哪一个是（1）中所列方程的解.
18．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数．
（1）若4与是关于7的关联数，求的值；
（2）若与是关于6的关联数，求的值；
（3）若与是关于的关联数，，的值与无关，求的值．
19．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．
中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析和解答过程：
设共有x辆车；
（1）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为　 　(用含x的式子表示)；
（2）由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为　 　(用含x的式子表示)；
（3）根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为　 　
（4）写出解方程的过程．
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 方程
5.2.1解一元一次方程2
学习目标：
1.了解“去括号”是解方程的重要步骤.
2.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.
重点：会用去括号法解一元一次方程，用一元一次方程解决简单的实际生活问题.
难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程解决.
老师告诉你
去括号注意问题：
若括号前有数字因数，去括号不要漏乘括号内的项；
括号前是负号，去括号后原括号内各项都要变号。
既有小括号，又有中括号，一般先去小括号，再去中括号，若小括号、中括号、大括号都有时，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，以上顺序也不是一成不变的，要灵活利用方程特点去括号。
知识点拨
知识点1 利用去括号解一元一次方程
(1)去括号：
①定义：解方程中，把方程中含有的括号去掉的过程．
②目的：化简方程，便于求解．
③依据：去括号法则．
(2)解含括号的一元一次方程的一般步骤：
①去括号．②移项．③合并同类项．④系数化为1
解含括号的一元一次方程注意事项
解方程中去括号的一般顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号．此时，要注意把里面的括号看作一个整体。
去括号时要注意
①当括号外的因数是负数，括号内的每一项都应改变符号
②去括号时，括号外的因数要乘括号内的每一项，不要漏乘任何一项。
【新知导学】
例1．解方程：．
【答案】
【解析】解：去括号得：2x-x+10=5x+2x-2
移项得：2x-x-5x-2x=-2-10
合并同类项得：-6x=-12
系数化为1得：x=2
【知识点】解含括号的一元一次方程
【对应导练】
1．已知关于y的方程2(y+1)-m=-2(m-2)的解比方程5(x+1)-1=4(x-1)+1的解大2，求m的值.
【答案】解：5(x+1)-1=4(x-1)+1，
解得x=-7，
∵方程2(y+1)-m=-2(m-2)的解比方程5(x+1)-1=4(x-1)+1的解大2，
∴y=-5，
把y=-5代入2(y+1)-m=-2(m-2)中，
解得m=12.
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】按一元一次方程的解法步骤，可求出5(x+1)-1=4(x-1)+1的解x=-7，从而可求得y=-5，再将y代入2(y+1)-m=-2(m-2)中可求出m=12.
2．解方程-2(x-1)-4(x-2)=1时，去括号的结果正确的是 (　　)
A．-2x+2-4x-8=1 B．-2x+1-4x+2=1
C．-2x-2-4x-8=1 D．-2x+2-4x+8=1
【答案】D
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：去括号得：-2x＋2-4x+8=1
∴故答案为：D.
【分析】运用去括号法则可得结果.
3． 解下列方程：
2(x+3)=5x；
（1） 4x+3(2x-3)=12-(x+4)；
2-3(x+1)=1-2(1+0.5x).
【答案】（1）解：(1)去括号得：2x+6=5x，
移项得：2x-5x=-6，
合并同类项得：-3x=-6，
系数化为1得：．
(2)去括号得：4x+6x-9=12-x-4，
移项得：4x+6x+x=12-4+9，
合并同类项得：11x=17，
系数化为1得： ．
(3)去括号得：3x-24+2x=7-x+1，
移项得：3x+2x+x=7+1+24，
合并同类项得：x=32，
系数化为1得： ．
(4) 去括号得：2-3x-3=1-2-x，
移项得：-3x+x=1-2-2+3，
合并同类项得：-2x=0，
系数化为1得：．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】根据一元一次方程的解题步骤“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解.
知识点2 利用去括号解一元一次方程实际问题
通过实际问题，重点让学生经历和感受方程较算式的优越性，突出数学模型的广泛性和有效性.
顺流逆流问题：顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
【新知导学】
例2．练习本比铅笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支铅笔，正好用去14元.如果设铅笔的单价为x元，根据题意，可列方程为　 　.
【答案】5(x-2)+3x=14
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设铅笔的单价为x元，
∵练习本比铅笔的单价少2元，
∴练习本的单价为x-2元，
∵小刚买了5本练习本和3支铅笔，正好用去14元，
∴可列出方程5(x-2)+3x=14.
故答案为：5(x-2)+3x=14.
【分析】先根据“ 练习本比铅笔的单价少2元 ”写出练习本的单价，再根据“ 小刚买了5本练习本和3支铅笔，正好用去14元 ”列出方程.
【对应导练】
1．河北省某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有 名，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】设加工大齿轮的工人有 名，则每天加工小齿轮的有（34-x）人，根据题意，得
故答案为：B.
【分析】设加工大齿轮的工人有 名，则每天加工小齿轮的有（34-x）人，根据“已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套”即可列出方程。
2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4h.已知水流速度为2km/h，则船在静水中的平均速度为　 　.
【答案】14km/h
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设船在静水中的平均速度为，则顺流速度为，逆流速度为，由题意得，
解得
∴船在静水中的平均速度为．
故答案为：
【分析】设船在静水中的平均速度为，则顺流速度为，逆流速度为，进而结合题意即可列出一元一次方程，从而即可求解。
3．元朝数学家朱世杰著的《算法启蒙》中，有一道数学应用题．“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”译文：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”设快马x天可以追上慢马，根据题意，列方程为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马x天可以追上慢马，由题意，得240x-150x=150×12；
故答案为：240x-150x=150×12.
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程=快慢马速度之差×快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程.
二、题型训练
利用去括号解一元一次方程
1．解方程．
【答案】解：去小括号得：，
去中括号得：，
移项合并得：，
系数化为得：．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】先根据题意去括号，进而移项合并同类项，最后系数化为1即可求解。
2．解方程：
【答案】解：
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
3．解方程：．
【答案】解：去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：.
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项、合并同类项、系数化为1，据此求解。
4．张华同学在解方程时步骤如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）张华同学的解法从第　 　步开始错误，错误的原因是　 　．
（2）请你写出正确的解题过程．
【答案】（1）一；去括号时，括号前面是负号，去掉括号没全变号
（2）解：
，
，
．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1），
去括号，得：，
∴张华同学的解法从第一步就开始出错，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，去掉括号没全变号；
故答案为：一；去括号时，括号前面是负号，去掉括号没全变号；
【分析】（1）去括号时，括号前面是“-”号，把括号和“-”号去掉，括号里面全部变号，张华犯了变号错误；
（2）先去括号，移项，合并同类项，再化系数为1．
5．解方程：
【答案】解：整理得：
去分母得，
去括号得：
移项，合并同类项得，
系数化为，得：；
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤，先整理方程，再去分母，去括号，移项、合并同类项，最后系数化为1，解方程求解即可。
利用去括号解一元一次方程的实际问题
5．我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳子三折来量，井外余绳四尺；把绳子四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】设井深为x尺，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设井深为x尺， 根据“绳子的长度不变”列出方程即可.
6．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用小时，已知轮船在静水中的速度为千米时，求水流的速度，若设水流的速度为千米时，则列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】设水流的速度为千米时，则逆水船速为（30-x）千米/时，顺水船速为（30+x）千米/时，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】设水流的速度为千米时，根据“甲、乙两码头的距离一定”可列出方程.
7．某车间有28名工人生产螺钉和螺母，每人每小时平均能生产螺钉12个或螺母18个，1个螺钉需要配2个螺母，若安排 名工人生产螺钉时每小时生产的螺栓和螺母刚好配套，那么可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设安排m名工人生产螺钉，则（28-m）人生产螺母，由题意得：
故答案为：C
【分析】题目已经设出安排m名工人生产螺钉，则（28-m）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知，螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．
8．小明以每小时千米的速度从家步行到学校上学，放学时以每小时千米的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多分钟，如果设上学路上所花的时间为小时，根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：放学路上比上学所花的时间多10分钟，上学路上所花的时间为x小时
∴放学路上所花的时间为（x＋）小时
根据题意得：4x=3(x+)
故选：A.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．方程 去括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号.当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“-”号时，去掉括号和前面的“-”号，括号内各项的符号都要变号.
2．将方程5(x - 3)- 2(x - 7)= 3去括号，正确的是（　　）
A．5x-15-2x-14=3 B．5x-3-2x＋7=3
C．5x-15-2x＋7=3 D．5x-15-2x＋14=3
【答案】D
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵5(x - 3)- 2(x - 7)= 3，
去括号得：；
故答案为：D
【分析】根据去括号法则，即可求出答案.
3．若关于x的方程x-2=m的解与2(x+1)=m+2的解之和等于5，则m的值是（　　）
A．-1 B．3 C．2 D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：解方程x-2=m，得x= m+2，
解方程2(x+1)=m+2，得x= m，
则m+2+m=5，
解得m=2．
故答案为：C.
【分析】分别求出两方程的解，再由两方程的解之和等于5 ，建立关于m方程并解之即可.
4．解方程的步骤如图所示，则在每一步变形中，依据“等式的基本性质”有（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解∶，
①（去括号法则）
②（等式的基本性质）
③（合并同类项法则）
④（等式的基本性质）.
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质“①等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；
②等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立.”并结合题意可判断求解.
5．冉冉解方程时，发现★处一个常数被涂抹了，已知方程的解是，则★处的数字是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得，
即★处的数字是1，
故答案为：A.
【分析】根据方程解的定义，将x=5代入原方程，求解即可得出答案.
6．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百三十里．驽马先行一十一日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走130里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为.
故答案为：D.
【分析】快马追上慢马时，快马走的路程等于慢马走的路程与慢马先走的路程之和.
7．某同学骑车从家到学校，每分钟行1.5km，某天回家时，速度提高到每分钟2km，结果提前5分钟回到家，设原来从学校到家之间骑x分钟，则列方程为
(　　)．
A．1.5x=2(x+5) B．1.5x=2(x-5) C．1.5(x+5)=2x D．1.5(x-5)=2x
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】本题考查的是根据题意列方程根据等量关系：速度提高到每分钟2km，结果提前5分钟回到家，即可列出方程。
由题意得，可列方程为1.5x=2(x-5)，故选B.
思路拓展：解答本题的关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程
8．学校组织义务劳动，已知在甲处有10人，在乙处有16人，现调19人去支援，使在乙处的人数是在甲处人数的2倍．设应调往甲处x人，则可列方程为（　　）
A．10+x＝2（16+19﹣x） B．2（10+x）＝16+19﹣x
C．10+19﹣x＝2（16+x） D．2（10+19﹣x）＝16+x
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设应调往甲处x人，则调往乙处人，
由题意可得：
故答案为：B．
【分析】设应调往甲处x人，则调往乙处人，根据支援后乙处的人数是在甲处人数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．下面的框图表示解方程7y+(3y-5)=y-2(7-3y)的流程，其中A代表的步骤是　 　，步骤A对方程进行变形的依据是　 　
【答案】移项；等式的性质1
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解： 7y+(3y-5)=y-2(7-3y)
去括号： 7y+3y-5=y-14+6y，
移项： 7y+3y-y-6y=5-14，
合并同类项：3y=-9，
系数化为1：y=-3.
故答案为：移项，等式的性质1.
【分析】利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解方程即可.
10．已知方程与有相同的解，则的值是 　 　．
【答案】
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵3(x+2)=5x，
∴3x+6=5x，
∴x=3.
∵方程3(x+2)=5x与4(a-x)=2x有相同的解，
∴方程4(a-x)=2x的解为x=3，
将x=3代入可得4(a-3)=6，
∴a=.
故答案为：.
【分析】首先求出方程3(x+2)=5x的解，然后代入4(a-x)=2x中可得关于a的方程，求解可得a的值.
11．阅读课上王老师将一批书分给各小组，若每小组分得8本，则剩余3本；若每小组分得9本，则缺少2本，问有几个小组？若设有x个小组，则依题意列方程为　 　.
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x个小组，由题意得
．
故答案为：．
【分析】设有x个小组，则课外书本的数量为，或表示为，联立得出方程．
12．，，，为有理数，先规定一种新的运算：，那么，　 　.
【答案】3
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∵，
解得
故答案为：3.
【分析】根据定义的新运算可得=10-4(1-x)=18，求解可得x的值.
13．，两地相距千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，已知甲速度为千米/时，乙速度为千米/时，小时后两车相距千米，满足的方程是　 　.
【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：①当甲、乙两车未相遇时，根据题意得：，
②当两车相遇后，两车又相距50千米时，根据题意得：，
故答案为或.
【分析】分两种情况：①当甲、乙两车未相遇时，②当两车相遇后，两车又相距50千米时，再根据题意分别列出方程即可。
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．解方程：4x-3+6(3-4x)=7(4x-3)．你有几种不同的解法？你认为哪一种方法比较简便？
【答案】解：方法一：去括号得：4x-3+18-24x=28x-21，
移项得：4x-24x-28x=-21+3-18，
合并同类项得：-48x=-36，
系数化为1得：x=.
方法二：整理得：（4x-3）-6（4x-3）-7(4x-3)=0，
合并同类项得：-9(4x-3)=0，
解得：x=.
方法二比较简便.
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】方法一：根据一元一次方程的解题步骤“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”可求解；
方法二：由题意将（4x-3）看作一个整体，然后移项、合并同类项、系数化为1可求解.
15．下面解方程的过程对不对？如果不对，应怎样改正？
解方程：4(x- 1)-x=2(x+)．
解：去括号，得4x-1-x=x+1，
移项，得4x-x-x=1+1，
合并同类项，得2x=2，
两边同除以2，得x=1．
【答案】解：不对，改正如下：
去括号，得4x-4-x=2x+1，
移项，得4x-x-2x=4+1，
合并同类项，得x=5．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】利用去括号、移项、合并同类项、进行解方程，再判断即可.
16．关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解与5（x﹣3）＝4x﹣10的解互为相反数，求﹣3a2+7a﹣1的值．
【答案】解：解方程5（x﹣3）＝4x﹣10
得：x＝5，
∵两个方程的根互为相反数，
∴另一个方程的根为x＝﹣5，
把x＝﹣5代入方程 4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1
得：4×（﹣5）﹣（3a+1）＝6×（﹣5）+2a﹣1，
解这个方程得：a＝2，
所以﹣3a2+7a﹣1
＝﹣3×22+7×2﹣1
＝1．
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】先解方程5（x﹣3）＝4x﹣10得x＝5，由两个方程的根互为相反数，可得另一个方程的根为x＝﹣5，将x=-5代入方程 4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1中，可求出a值，然后代入代数式中即可求值.
17．小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了A、B两家水果店的苹果和橘子，这两家水果店的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买 5 千克橘子的费用相等，设橘子的价格为每千克 x元.
（1）根据题意列出方程.
（2）在x=6，x=7，x=8中，哪一个是（1）中所列方程的解.
【答案】（1）解： 设橘子的价格为每千克 x元.，
根据题意，得2(x+12)=5x
（2）解：把x=6，x=7，x=8分别代入2(x+12)=5x.当x=6时，2(x+12)=36，5x=30，∴等号的左右两边不相等，∴x=6不是该方程的解；当x=7时，2(x+12)=38，5x=35，∴等号的左右两边不相等，∴x=7不是该方程的解；当x=8时，2(x+12)=40，5x=40，∴等号的左右两边相等，∴x=8是该方程的解.
【知识点】列一元一次方程；用尝试、检验的方法解简单的一元一次方程
【解析】【分析】 (1) 设橘子的价格为每千克 x元，根据“ 买2千克苹果与买 5 千克橘子的费用相等 ” 列出方程.
(2) 把3个x的值分别代入方程左、右两边，判断左边与右边是否相等，以此来判断是否是方程的根.
18．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数．
（1）若4与是关于7的关联数，求的值；
（2）若与是关于6的关联数，求的值；
（3）若与是关于的关联数，，的值与无关，求的值．
【答案】（1）解：4与是关于7的关联数，
由关联数定义可得，解得；
（2）解：与是关于6的关联数，
由关联数的定义可得，解得；
（3）解：与是关于的关联数，
由关联数的定义可得，即，
，
，
的值与无关，
，解得，
．
【知识点】定义新运算；利用等式的性质解一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据关联数的定义可得，解方程即可求出答案.
（2）根据关联数的定义可得，解方程即可求出答案.
（3）由关联数的定义可得，即，将M代入可得，再根据的值与无关，可得，解方程即可求出答案.
19．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．
中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析和解答过程：
设共有x辆车；
（1）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为　 　(用含x的式子表示)；
（2）由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为　 　(用含x的式子表示)；
（3）根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为　 　
（4）写出解方程的过程．
【答案】（1）3 (x- 2)
（2）2x+9
（3）3 (x-2) =2x+9
（4）解：3 (x-2)=2x+9
3x-6=2x+9
3x-2x= 9+6
x=15
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程．
（1）根据题意列出关于x代数式即可；
（2）根据题意列出关于x的代数式即可；
（3）直接利用总人数不变得出方程；
（4）根据解一元一次方程的步骤解出即可
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