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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 方程
5.2.1解一元一次方程3
学习目标：
1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.
2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.
重点：含有分数系数的一元一次方程的解法.
难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程解决.
老师告诉你
去分母“三注意”
去分母时，整数项不要漏乘各分母的最小公倍数；
去分母时，分子是多项式的，要将分子作为一个整体加上括号；
去分母时，防止出现符号错误。
知识点拨
知识点1 利用去分母解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母：方程两边同乘以分母的最小公倍数，不要漏乘常数项和分母为1的项..
（2）去括号：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．去括号时，注意不要漏乘括号内的每一项；
（3）移项：一般地，含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项要变号；
（4）合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变
（5）系数化为1：方程两边同乘以系数的倒数
注意：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
【新知导学】
例1．当x为何值时，代数式 比 大1
【对应导练】
1．解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
2．解方程：
3． 当x为何值时，下列各组中两个式子的值相等
和 和
知识点2 构造一元一次方程求值
解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。
在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：
去分母 分子是多项式的，去分母后要加括号；不要漏乘不含分母的项
去括号 括号前的数要乘括号内的每一项；括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号
移项 移项时不要漏项；将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号
合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当
系数化为1 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数
【新知导学】
例2．设某数为x，根据下列条件列出方程：
（1）某数的 5 倍减去 4 等于该数的 6 倍加上 1.
（2）某数 比该数的2倍大3
（3）某数与2的差 比该数的2倍与4 差 小1
【对应导练】
1．小明解方程 去分母时方程右边的-1漏乘了最简公分母，因而求得方程的解为x=3，试求a 的值，并正确求出方程的解.
2．设a，b，c，d 为有理数，现规定一种新的运算 则满足等式 的x的值为 　 　.
知识点3 列方程解决实际问题
通过实际问题，重点让学生经历和感受方程较算式的优越性，突出数学模型的广泛性和有效性.
【新知导学】
例3．一列火车正在匀速行驶，它先用 20秒的时间通过了一条长为160米的隧道(即从车头进入入口到车尾离开出口)，又用15秒的时间通过了一条长为 80米的隧道，求这列火车的长度.设这列火车的长度为 x米，根据题意可列方程为 (　　)
A． B．
C． D．
【对应导练】
1． 某厂接到一所中学的冬季校服制作任务，计划用A，B两台大型设备进行加工.如果单独用A型设备需要90天做完；如果单独用B型设备需要60天做完.为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制.
（1）两台设备同时加工，共需多少天才能完成
（2）若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天.如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间 请通过计算说明理由.
【对应导练】
1．在小学里我们已经学过，方程是指含有未知数的等式．请你运用已学的知识，根据下列问题中的条件，分别列出方程．
（1）一件衣服按8折销售的售价为72元，这件衣服的原价是多少元？
设这件衣服的原价为x元，可列出方程：　 　.
（2）物体在水下，水深每增加10米承受的压力就会增加1个大气压．当“蛟龙”号下潜至3500米时，它承受的压力为350个大气压．问当它承受压力增加到500个大气压时，它又继续下潜了多少米？
设它又继续下潜了x米，可列出方程：　 　
（3）小强、小杰、张明参加投篮比赛，按规定每人投20次．小强投进10个球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球．问小杰和张明各投进多少个？
设张明投进x个，可列出方程：　 　.
二、题型训练
1.去分母解一元一次方程
1． 解下列方程：
2．解方程：
（1）
（2）
3．已知x=3 是方程 的解，求m的值.
2.一元一次方程的应用
4．寒假期间，小亮同学想跟着父母一起从合肥乘坐高铁去宣城，已知普通快车从合肥站到宣城站全程的平均速度为70 km/h，高铁从合肥站到宣城站全程的平均速度为 140 km/h，行完全程高铁比普通快车节省了90 min.求合肥站到宣城站的距离为多少千米
5．某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要 20天.甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书，则甲、乙两人合作还需要多少天运完图书
6． 用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天生产的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天生产的产品装满11箱后还剩1个，每台A 型机器比 B型机器一天多生产1个产品. 求每箱装多少个产品.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．解方程 ( x-1)=3，下列变形中，较简捷的是 （　　）
A．方程两边都乘以4，得3（ x-1）=12
B．去括号，得x- =3
C．两边同除以 ，得 x-1=4
D．整理，得
2．下列方程的解法中，正确的个数是(　　)
①方程2x-1=x+1移项，得3x=0；
②方程2(x-1)-3(2-x)=5去括号，得2x-2-6+3x=5；
③方程 去分母，得4-x-2=2(x-1)；
④将方程 的分母化为整数，得
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列各题正确的是（　　）
A．由 移项得
B．由 去分母得
C．由 去括号得
D．由 去括号、移项、合并同类项得
4．若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为（　　）
A．6 B． C．1 D．2
5．解方程 的步骤如下：
解：①去括号，得 .
②移项，得 .
③合并同类项，得 .
④两边同除以 ，得 .
经检验， 不是方程的解.则上述解题过程中出错的步骤是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成.问甲、乙一共用几天可以完成全部工作 若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是 (　　)
A． B．
C． D．
7．某数与8的和 等于这个数 ，则这个为（　　）
A． B． C． D．
8．中国明代著名数学家程大位所著《算法统宗》中记载：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”译文为：如果一间客房住7人，那么就剩下7人安排不下；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．问：现有客房多少间？房客多少人？设现有房客x人，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．解方程 .有以下四个步骤，其中第①步的依据是　 　.
解：①去括号，得 .
②移项，得 .
③合并同类项，得 .
④系数化为1，得 .
10．如果代数式 与 的值相等，那么x＝　 　．
11．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元一次方程 的解为　 　.
12．若 与2互为倒数，则x=　 　.
13．某班有学生45名，要选择两人作为班干部，结果有40人赞成甲做班干部，有37人赞成乙做班干部，对甲、乙两人都不赞成的人数是都赞成人数 ，那么对甲、乙两人都赞成的　 　人.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．（1）解方程：
（2） 解方程：
15． 在梯形面积公式 中，
（1） 已知S=30， a=6，h=4， 求b；
（2） 已知S=60， b=4， h=12， 求a；
（3） 已知 S=50，a=6，b= a，求h.
16．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求a的值.
17．
（1）解方程
（2）在做作业时，有一个方程“”中的■没印清，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与方程5(x﹣1)﹣2(x﹣2)﹣4＝1的解相同，”小聪很快补上了这个常数，同学们，你们能补上这个常数吗
18．如图是两张不同类型火车的车票(“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁).已知该动车和高铁的平均速度分别为 200 km/h，300 km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离.
19． 父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄 . 求女儿现在的年龄。
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 方程
5.2.1解一元一次方程3
学习目标：
1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.
2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.
重点：含有分数系数的一元一次方程的解法.
难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程解决.
老师告诉你
去分母“三注意”
去分母时，整数项不要漏乘各分母的最小公倍数；
去分母时，分子是多项式的，要将分子作为一个整体加上括号；
去分母时，防止出现符号错误。
知识点拨
知识点1 利用去分母解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母：方程两边同乘以分母的最小公倍数，不要漏乘常数项和分母为1的项..
（2）去括号：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．去括号时，注意不要漏乘括号内的每一项；
（3）移项：一般地，含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项要变号；
（4）合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变
（5）系数化为1：方程两边同乘以系数的倒数
注意：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
【新知导学】
例1．当x为何值时，代数式 比 大1
【答案】解：根据题意，得
去分母，得2(2x-1)-3(5x+1)=6.
去括号、得4. x-2-15x-3=6、
移项、合并同类项，得-11. x=11，解得x=-1.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【分析】先根据题意，列出含有分母的一元一次方程，再通过“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求得方程的解.
【对应导练】
1．解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：去分母，得4(2x-1)=3(5x+1)
去括号，得8x-4=15x+3
移项，得15x-8x=-4-3
合并同类项，得7x=-7
系数化为1，得.
（2）解：去分母，得3(x-2)-2(2-3x)=6
去括号，得3x-6-4+6x=6
移项，得3x+6x=6+6+4
合并同类项，得9x=16
系数化为1，得.
（3）解：去分母，得2(2x-1)-(10x+1)=12
去括号，得4x-2-10x-1=12
移项，得4x-10x=12+2+1
合并同类项，得-6x=15
系数化为1，得.
（4）解：去分母，得2(3x-1)=3+4x-1
去括号，得6x-2=3+4x-1
移项，得6x-4x=3-1+2
合并同类项，得2x=4
系数化为1，得2.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】利用解含有分母的一元一次方程的一般步骤求解：先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后系数化1，求得方程的解.
2．解方程：
【答案】解：由方程，
方程两边同乘以12去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程的求法，根据一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解．
3． 当x为何值时，下列各组中两个式子的值相等
和 和
【答案】解：（1）令 和 相等，即，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：
合并得：
系数化1得：x=7.
故x=7时 和 的值相等.
（2）令 和 相等，即.
去分母得：，
去括号得：，
移项得：
合并得：
系数化1得：x=-1
故x=-1时 和 的值相等.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）令 和 相等，得方程，求解得x的值，即可得到结论；
（2）令 和 相等，得方程，求解得x的值，即可得到结论；
知识点2 构造一元一次方程求值
解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。
在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：
去分母 分子是多项式的，去分母后要加括号；不要漏乘不含分母的项
去括号 括号前的数要乘括号内的每一项；括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号
移项 移项时不要漏项；将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号
合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当
系数化为1 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数
【新知导学】
例2．设某数为x，根据下列条件列出方程：
（1）某数的 5 倍减去 4 等于该数的 6 倍加上 1.
（2）某数 比该数的2倍大3
（3）某数与2的差 比该数的2倍与4 差 小1
【答案】（1）解：5x-4=6x+1.
（2）解：
（3）解：
【知识点】列一元一次方程
【解析】【分析】（1）先写出“某数的 5 倍”为5x，再写出“ 某数的 5 倍减去 4 ”为5x-4，接着写出“ 该数的 6 倍加上 1 ”为6x+1，然后用等号连起来；
（2）先写出“ 某数 ”为，再写出“ 该数的2倍大3 ”为2x+3，再用等号连起来；
（3）先写出“ 某数与2的差 ”为，再写出“ 该数的2倍与4 差 小1”为，再用等号连起来.
【对应导练】
1．小明解方程 去分母时方程右边的-1漏乘了最简公分母，因而求得方程的解为x=3，试求a 的值，并正确求出方程的解.
【答案】解：根据题意，得8x-4=3x+3a-1，把x=3代入，得24-4=9+3a-1，解得a=4，
∴原方程为
去分母，得8x-4=3x+12-12，
移项、合并同类项，得5x=4，
解得x=0.8.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；一元一次方程-错解复原问题
【解析】【分析】先根据错解，求出a，再代回原方程，解这个方程即可.
2．设a，b，c，d 为有理数，现规定一种新的运算 则满足等式 的x的值为 　 　.
【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由 ，得，解得.
故答案为：.
【分析】先将转化为一元一次方程，解这个方程即可求得x的值.
知识点3 列方程解决实际问题
通过实际问题，重点让学生经历和感受方程较算式的优越性，突出数学模型的广泛性和有效性.
【新知导学】
例3．一列火车正在匀速行驶，它先用 20秒的时间通过了一条长为160米的隧道(即从车头进入入口到车尾离开出口)，又用15秒的时间通过了一条长为 80米的隧道，求这列火车的长度.设这列火车的长度为 x米，根据题意可列方程为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设这列火车的长度为x米；
依题意，得：
故答案选：B.
【分析】设这列火车的长度为x米，根据速度=路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
【对应导练】
1． 某厂接到一所中学的冬季校服制作任务，计划用A，B两台大型设备进行加工.如果单独用A型设备需要90天做完；如果单独用B型设备需要60天做完.为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制.
（1）两台设备同时加工，共需多少天才能完成
（2）若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天.如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间 请通过计算说明理由.
【答案】（1）解：设共需x天才能完成，
根据题意，得(+)x=1，解得x=36，
所以两台设备同时加工，共需36天才能完成.
（2）解：会影响.理由如下：
设用A型设备单独完成剩下的任务需要y天，
由题意，得(+)×30+=1，解得y=15，15>13，
所以会影响学校发校服的时间.
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【分析】（1）非常典型的用一元一次方程解决工程问题，工作效率乘以工作时间=总工作量；
（2）仍然根据工作效率乘以工作时间=总工作量列方程，计算出还需要的天数，比较之下可以判断是否影响发校服。
【对应导练】
1．在小学里我们已经学过，方程是指含有未知数的等式．请你运用已学的知识，根据下列问题中的条件，分别列出方程．
（1）一件衣服按8折销售的售价为72元，这件衣服的原价是多少元？
设这件衣服的原价为x元，可列出方程：　 　.
（2）物体在水下，水深每增加10米承受的压力就会增加1个大气压．当“蛟龙”号下潜至3500米时，它承受的压力为350个大气压．问当它承受压力增加到500个大气压时，它又继续下潜了多少米？
设它又继续下潜了x米，可列出方程：　 　
（3）小强、小杰、张明参加投篮比赛，按规定每人投20次．小强投进10个球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球．问小杰和张明各投进多少个？
设张明投进x个，可列出方程：　 　.
【答案】（1）0.8x=72
（2）
（3）x+x+2+10=14×3
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）设这件衣服的原价为x元，可列出方程：
0.8x=72；
（2）设它又继续下潜了x米，可列出方程：
；
（3）设张明投进x个，则小杰投进(x+2)个，可列出方程：
x+x+2+10=14×3.
【分析】（1）设这件衣服的原价为x元，根据相等关系“标价×折数=售价”可列方程；
（2）设它又继续下潜了x米，根据相等关系“水深每增加增加1个大气压，海水下降的米数相等”可列方程；
（3）设张明投进x个，根据相等关系“小强投进球的个数+小杰投进球的个数+张明投进球的个数=三人平均投进球的个数×3”可列方程.
二、题型训练
1.去分母解一元一次方程
1． 解下列方程：
【答案】解：(1)去分母得：3（3x+5）=2(2x-1)，
去括号得：9x+15=4x-2，
移项得：9x-4x=-2-15，
合并同类项得：5x=-17，
系数化为1得： ．
(2)去分母得：-3（x-3）=(3x+4)，
去括号得：-3x+9=3x+4，
移项得：-3x-3x=4-9，
合并同类项得：-6x=-5，
系数化为1得： ．
(3) 去分母得：3（3y-1）-12=2(5y-7)，
去括号得：9y-3-12=10y-14，
移项得：9y-10y=-14+3+12，
合并同类项得：-y=1，
系数化为1得：．
(4) 去分母得：4（5y+4）+3(y-1)=24-(5y-5)，
去括号得：20y+16+3y-3=24-5y+5，
移项得：20y+3y+5y=24+5-16+3，
合并同类项得：28y=16，
系数化为1得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据一元一次方程的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解.
2．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母，得5x-(1.5-x)=2，
去括号，得5x-1.5+x=2，
移项，得5x+x=2+
合并同类项，得
系数化为1，得
（2）解：方程可以化为
即
去分母，得6(5x+1)-2(2x-1)=10x-15
去括号，得30x+6-4x+2=10x-15
移项，得30x-4x-10x=-15-6-2
合并同类项，得16x=-23
方程两边同除以16，得
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）方程两边乘以2，可去掉分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求得方程的解；
（2）先将分子、分母中的小数化去，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求得方程的解.
3．已知x=3 是方程 的解，求m的值.
【答案】解：∵x=3是方程 的解，
∴解得
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】利用方程解的意义，将解代入方程，转化为待求字母的方程求解.
2.一元一次方程的应用
4．寒假期间，小亮同学想跟着父母一起从合肥乘坐高铁去宣城，已知普通快车从合肥站到宣城站全程的平均速度为70 km/h，高铁从合肥站到宣城站全程的平均速度为 140 km/h，行完全程高铁比普通快车节省了90 min.求合肥站到宣城站的距离为多少千米
【答案】解：设合肥站到宣城站的距离为x千米，
依题意，得 解得x=210.
答：合肥站到宣城站的距离为210千米
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设合肥站到宣城站的距离为x千米，分别用x表示出普通快车从合肥站到宣城站全程需要时间与从合肥乘坐高铁去宣城需要时间，根据“ 行完全程高铁比普通快车节省了90 min ”列出方程求解.
5．某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要 20天.甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书，则甲、乙两人合作还需要多少天运完图书
【答案】解：设甲、乙两人合作还需要x天运完图书，
依题意，得 解得x=4.
答：甲、乙两人合作还需要4天运完图书.
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设甲、乙两人合作还需要x天运完图书，根据“甲搬运图书的天数乘以它的工作效率+乙搬运图书的天数乘以它的工作效率=1”列出方程求解.
6． 用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天生产的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天生产的产品装满11箱后还剩1个，每台A 型机器比 B型机器一天多生产1个产品. 求每箱装多少个产品.
【答案】解：设每箱装x个产品.
由题意列方程得：
，
解得：x=12(个）.
答：每箱装 12 个产品．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】设每箱装x个产品，根据题中的相等关系“1台A型机器一天生产的产品个数=1台B型机器一天生产的产品个数+1”可列关于x的方程，解方程即可求解.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．解方程 ( x-1)=3，下列变形中，较简捷的是 （　　）
A．方程两边都乘以4，得3（ x-1）=12
B．去括号，得x- =3
C．两边同除以 ，得 x-1=4
D．整理，得
【答案】B
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：解方程 ( x-1)=3，
较简捷的是去括号，得x- =3,
移项并合并同类项，得x=3.
故答案为：B.
【分析】观察方程的特点发现先去括号比较简捷.
2．下列方程的解法中，正确的个数是(　　)
①方程2x-1=x+1移项，得3x=0；
②方程2(x-1)-3(2-x)=5去括号，得2x-2-6+3x=5；
③方程 去分母，得4-x-2=2(x-1)；
④将方程 的分母化为整数，得
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】①方程2x-1=x+1移项，得x=2，错误；
②方程2(x-1)-3(2-x)= 5去括号得，2x-2-6+3x=5，正确；
③方程去分母，得4-x+2=2(x-1)错误；
④方程分母化为整数，得错误；
故答案选：A.
【分析】各方程整理得到结果，即可做出判断.
3．下列各题正确的是（　　）
A．由 移项得
B．由 去分母得
C．由 去括号得
D．由 去括号、移项、合并同类项得
【答案】D
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：A、由 移项得 ，故错误；
B、由 去分母得 ，故错误；
C、由 去括号得 ，故错误；
D、由 去括号得： ，移项、合并同类项得 ，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据将方程的步骤，①去分母，但去分母的时候是在方程的左右两边都乘以最简公分母，此步最容易出错的是将没有分母的项漏乘，从而即可判断B；②去括号，用括号前面的数连同符号一起利用乘法分配律与括号内的各项分别相乘，最容易出错的是漏乘及符号变不变的问题，从而即可判断C,D，③移项，凡是从方程的左边移到右边或从右边移到左边的项改变符号，只是在方程的一边调换位置的项不需要改变符号，从而即可判断A.
4．若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为（　　）
A．6 B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】一元一次方程-同解问题
【解析】【解答】解：，
去分母得2(1-2x)+4(x+1)=12-3(2x+1)，
2-4x+4x+4=12-6x-3
6x=3
x=，代入方程得
+=-，解得a=6
故答案为：A.
【分析】先解出第一个方程的根，代入第二个方程即可得a的值.
5．解方程 的步骤如下：
解：①去括号，得 .
②移项，得 .
③合并同类项，得 .
④两边同除以 ，得 .
经检验， 不是方程的解.则上述解题过程中出错的步骤是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】第②步中将y的符号弄错，而出现不符合题意，应为4y y 2y=1+4而不是4y+y 2y=1+4.
故答案为：B
【分析】第②步中将y的符号弄错，而出现不符合题意，注意不移项时不变号，移项要变号．
6．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成.问甲、乙一共用几天可以完成全部工作 若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了(x-22)天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的.
根据等量关系列方程得：，
故答案选：A.
【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=总的工作量，根据此列方程即可.
7．某数与8的和 等于这个数 ，则这个为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设这个数为x，则，
解得.
故答案为：A.
【分析】设这个数为x，列出关于x的一元一次方程求解.
8．中国明代著名数学家程大位所著《算法统宗》中记载：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”译文为：如果一间客房住7人，那么就剩下7人安排不下；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．问：现有客房多少间？房客多少人？设现有房客x人，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设现有房客人，
依题意，得：．
故答案为：B．
【分析】本题考查一元一次方程的应用．设现有房客人，根据题意“一房七客多七客，一房九客一房空”，可找出等量关系，据此可列出一元一次方程．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．解方程 .有以下四个步骤，其中第①步的依据是　 　.
解：①去括号，得 .
②移项，得 .
③合并同类项，得 .
④系数化为1，得 .
【答案】乘法分配律
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：第①步去括号的依据是：乘法分配律.
故答案为：乘法分配律.
【分析】用括号外的5与6分别乘以括号内的各项，故去括号的依据是：乘法分配律，据此解答即可.
10．如果代数式 与 的值相等，那么x＝　 　．
【答案】6
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式 与 的值相等,
∴ ，
3x-24+2x=7- x+1，
5x+ x=32，
16x=96，
x=6.
故答案为：6.
【分析】根据已知可得 ， 然后对方程进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出x的值.
11．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元一次方程 的解为　 　.
【答案】y=-1
【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：把 代入 得
把 变形为
∴原式=
∴
∴ 解得y=-1
故答案为：-1.
【分析】把 代入 得出 ，把 变形为 ，然后代入求解即可.
12．若 与2互为倒数，则x=　 　.
【答案】
【知识点】有理数的倒数；解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵与2互为倒数，
∴，解得x=.
故答案为：.
【分析】根据互为倒数的两个数的积为1， 列出方程求解.
13．某班有学生45名，要选择两人作为班干部，结果有40人赞成甲做班干部，有37人赞成乙做班干部，对甲、乙两人都不赞成的人数是都赞成人数 ，那么对甲、乙两人都赞成的　 　人.
【答案】36
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设甲、乙两人都赞成的人数是x人，则都不赞成的人数是x人，
根据题意可得：，
解得：x=36，
答：甲、乙两人都赞成的人数是36人，
故答案为：36.
【分析】设甲、乙两人都赞成的人数是x人，则都不赞成的人数是x人，根据“总人数不变”列出方程求解即可.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．（1）解方程：
（2） 解方程：
【答案】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤进行计算即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤进行计算即可.
15． 在梯形面积公式 中，
（1） 已知S=30， a=6，h=4， 求b；
（2） 已知S=60， b=4， h=12， 求a；
（3） 已知 S=50，a=6，b= a，求h.
【答案】（1）解：把 S=30， a=6，h=4 代入得：
，
解得： b=9
（2）解：把 S=60， b=4， h=12，代入得：
解得：
（3）解：把 S=50，a=6，b= a，代入得：
解得：
【知识点】解一元一次方程
【解析】【分析】（1）把S=30， a=6，h=4 代入得方程，求解即可；
（2）把S=60， b=4， h=12代入得方程，求解即可；
（3）把S=50，a=6，b= a代入得方程，求解即可；
16．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求a的值.
【答案】解：解方程，得，
是方程的解，
代入得：，即：，
，
【知识点】解一元一次方程；相反数的意义与性质
【解析】【分析】先解方程，解得，可知方程的解为x=-2，将-2代入方程计算即可求出a的值.
17．
（1）解方程
（2）在做作业时，有一个方程“”中的■没印清，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与方程5(x﹣1)﹣2(x﹣2)﹣4＝1的解相同，”小聪很快补上了这个常数，同学们，你们能补上这个常数吗
【答案】（1）解：去分母得：6x-2（1﹣x）＝x+2﹣6，
去括号得：6x-2+2x＝x+2﹣6，
移项得：6x+2x﹣x＝2﹣6+2，
合并同类项得：7x＝﹣2，
系数化为1得：x＝﹣.
（2）解：方程5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4=1
5x﹣5﹣2x+4﹣4=1即x=2，
y=2代入方程2y﹣＝y+■得：
2×2﹣＝+■，
解得：■＝，
即这个常数是．
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，最后系数化成1即可.
（2）先求出第二次方程的解，可得第一个方程的解是，再把代入第一个方程，求出常数即可.
18．如图是两张不同类型火车的车票(“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁).已知该动车和高铁的平均速度分别为 200 km/h，300 km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离.
【答案】解：设A，B两地之间的距离为x km，由题意可得 解得：x=600.
答：A，B两地之间的距离为600km.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】根据两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，可以列出相应的方程，然后求解即可.
19． 父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄 . 求女儿现在的年龄。
【答案】解：设女儿现在的年级是x岁，则父亲现在的年龄是（91-x）岁，由题意得：
解得：x=28
故女儿现在的年龄是 28 岁．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】设女儿现在的年级是x岁，则父亲现在的年龄是（91-x）岁，根据题意得等量关系“现在年龄下父女的年龄差=变化后父女的年龄差”，代入未知数，列方程求解即可》
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