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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 方程
微专题 有关一元一次方程解的应用的九种类型
方程的解的定义是 使方程左右两边相等的未知数的值 。具体来说，如果一个数值代入方程后，使得方程两边的表达式相等，那么这个数值就被称为该方程的解。根据方程解的定义，解决有关方程问题时，有如下几种类型。
类型一 已知方程的解，求未知字母或式子的值
例1-1 .若关于的方程的解为，则的值为　　
A．6 B． C． D．4
例1-2．关于x的一元二次方程的一个解是，则（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
针对训练1
1．若关于x的方程的解为，则　 　．
2．已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为　 　．
3．已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值．
4．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
5．已知是方程的解，求m的值.
6．关于x的一元一次方程的解为，则的值为（　　）
A．9 B．8 C．5 D．4
类型二 已知两个方程的解相同，求字母或式子的值
例2-1 .若方程和关于的方程的解相同，求的值．
例2-2．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．
(1)求，的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程无解，求的值．
针对训练2
1．关于x的方程与的解相同，则m等于（　　）
A．5 B．4 C． D．
2．若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解．
3．若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值．
4．已知关于x的方程与有相同的解，则　 　．
5．已知关于的方程与有相同的解．
（1）求的值；
（2）求关于的方程的解．
类型三 已知两个方程的解互为倒数，求字母或式子的值
例3-1 .若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则k的值是_________．
例3-2．已知方程是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值．
针对训练3
1．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．
2．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．
3．如果方程和方程的解互为相反数，那么的值为(　　)
A． B． C． D．
4．方程的解与关于的方程的解互为倒数，则　 　．
类型四 已知两个方程的解互为相反数，求字母或式子的值
例4 -1.已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值．
例4-2．已知是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求的值．
针对训练4
1．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”．若关于x的方程和是“兄弟方程”，求的值是　 　．
2．若关于x的方程5x-1=2x+a的解与方程4x+3=7的解互为相反数，则a=　 　.
3．若方程与关于x的方程的解互为相反数，则k的值是　 　．
4．关于x的方程与的解互为相反数，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．
5．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求k的值．
类型五 已知两个方程的解之间的数量关系，求字母或式子的值
例5-1 .如果关于x的方程的解比关于x的方程的解小2，求m的值．
例5-2．已知是关于x的一元一次方程．
(1)求a的值，并解出上述一元一次方程；
(2)若上述方程的解是方程解的2倍，求k的值．
针对训练5
1．关于的方程的解比关于的方程的解大2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．为何值时，关于的方程的解是的解的倍．
3．若关于x的方程和的解的和为5，求m的值．
类型六 方程错解问题
例6-1 .在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
例6-2．名名在解方程 时,把 处的数字看错了,所得的结果是,那么名名把“ ”看成了( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
针对训练6
1 .小王在解关于x的方程2﹣＝3a﹣2x时，误将﹣2x看作+2x，得方程的解x＝1．
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解．
2．某同学在解方程，去分母漏乘后得到方程，求得方程的解为．
（1）试求a的值；
（2）你认为是方程的解吗？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，请求出方程的解．
3．王老师给同学们出了一道关于x的一元一次方程．
（1）如果你来做这道题，第一步会先_________，这样做的依据是__________________．
（2）小华在方程两边乘以6时，右边忘记乘了，结果解出，则k的值为__________________．
（3）在（2）的条件下，请正确解出原方程的解．
4．七（3）班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了．
（1）请你帮小红求出“”处的数字．
（2）请你正确地解出原方程．
5．王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，那么原方程的解为（　　）
A． B． C． D．
6．小李在解关于x的方程时（其中为已知数），误将“”中的“”号看成“”号，得方程的解为，则原方程的解为（　　）
A． B． C． D．
类型七 方程整数解问题
例7-1 .若关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则k的值是（ ）
A．1或3 B．3或5 C．2或3 D．1或6
例7-2．已知关于a的方程的解也是关于x的方程的解．
(1)求a、b的值：
(2)求出关于x的不等式的最大整数解．
针对训练7
1．已知a、x为正整数，若，则满足条件的所有a的值之和为（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
2．已知关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为　 　．
3．若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为　 　．
4．已知关于的方程的解为负整数，则整数所有可能取值的和为（　　）
A． B． C．0 D．1
5．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次二项式，那么所有满足条件的整数的值之积是（　　）
A．2 B．4 C． D．
类型八 方程解的新定义问题
例8-1 .若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．
请根据“友好方程”定义，解决下列问题：
（1）①，②两个方程中为“友好方程”的是 　①　（填写序号）；
（2）若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值．
例8-2．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题，
(1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值．
针对训练8
1．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题
（1）判断：方程______（“是”或“不是”）“和解方程”．
（2）关于x的一元一次方程是“和解方程”，求t的值．
（3）关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m、n的值．
2．小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为，而；的解为，而．
于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为　 　．
3．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是　 　．
4．我们规定，关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为和解方程，例如的解为，则方程为和解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有______．
①；②；③．
（2）若关于x的一元一次方程是和解方程，则______．
（3）关于x的一元一次方程是和解方程，则代数式的值为______．
（4）关于x的一元一次方程是和解方程且它的解为，求代数式的值．
5．【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．
【运用】
（1），，三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）；
（2）若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值；
（3）若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求、的值．
6．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，则的值为　 　．
（2）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，则的值为　 　．
7．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；
（3）已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值．
类型九 由已知方程的解，整体求与已知方程相关的方程的解
例9．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
例9-2．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为( )
A. B. C. D.
针对训练9
1．如果关于的方程的解，则关于的方程的解　 　．
2．已如关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为　 　．
3．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 　 　．
4．已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 方程
微专题 有关一元一次方程解的应用的九种类型
方程的解的定义是 使方程左右两边相等的未知数的值 。具体来说，如果一个数值代入方程后，使得方程两边的表达式相等，那么这个数值就被称为该方程的解。根据方程解的定义，解决有关方程问题时，有如下几种类型。
类型一 已知方程的解，求未知字母或式子的值
例1-1 .若关于的方程的解为，则的值为　　
A．6 B． C． D．4
【答案】A
【解答】解：方程的解为，
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查一元一次方程的解的问题，理解方程的解的概念，正确代入求值是解题的关键。
例1-2．关于x的一元二次方程的一个解是，则（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
利用一元二次方程解的定义得到，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，即，
∴．
故选A．
针对训练1
1．若关于x的方程的解为，则　 　．
【答案】
【知识点】估计方程的解
2．已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为　 　．
【答案】0
【知识点】估计方程的解
3．已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值．
【答案】
【知识点】估计方程的解；求代数式的值-直接代入求值
4．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】估计方程的解；求代数式的值-整体代入求值
5．已知是方程的解，求m的值.
【答案】.
【知识点】估计方程的解；解含括号的一元一次方程
6．关于x的一元一次方程的解为，则的值为（　　）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【知识点】一元一次方程的概念；估计方程的解
类型二 已知两个方程的解相同，求字母或式子的值
例2-1 .若方程和关于的方程的解相同，求的值．
【答案】
【分析】求出的解，代入到第二个方程计算即可．
【详解】解：，
得：．
方程和关于的方程的解相同，
把代入方程中，
得：，
解得．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟记使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解题的关键．
例2-2．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．
(1)求，的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程无解，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出的值，根据两个方程同解，即可求得的值；
（2）把，的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式即可求得的值．
【详解】（1）解：∵关于的方程为一元一次方程，
∴，，
解得：，
当时，方程为：
解得：，
解得：
∴
（2）解：将，代入得：
，
∵关于的方程无解，
∴，
∴
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
针对训练2
1．关于x的方程与的解相同，则m等于（　　）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】估计方程的解
2．若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解．
【答案】
【知识点】估计方程的解
3．若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值．
【答案】
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
4．已知关于x的方程与有相同的解，则　 　．
【答案】
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
5．已知关于的方程与有相同的解．
（1）求的值；
（2）求关于的方程的解．
【答案】（1），；
（2）．
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
类型三 已知两个方程的解互为倒数，求字母或式子的值
例3 .若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则k的值是_________．
【答案】-3
【分析】求出第一个方程的解，利用倒数定义求出第二个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值．
【详解】解：，
解得：x=1，
1的倒数为1，
把x=1代入，
得：，
解得：，
故答案为：-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
例3-2．已知方程是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义．
（1）根据一元一次方程的定义，得到，求解即可；
（2）由（1）知，即，求出x，取x的倒数代入即可求解a的值．
【详解】（1）解：方程是关于的一元一次方程，
，
解得：；
（2）解：由（1）可知，原方程为，
解得．
方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，
关于的一元一次方程的解为，
将，代入方程中，得，
解得．
针对训练3
1．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．
【答案】
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
2．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．
【答案】
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
3．如果方程和方程的解互为相反数，那么的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
4．方程的解与关于的方程的解互为倒数，则　 　．
【答案】1
【知识点】解一元一次方程；估计方程的解
类型四 已知两个方程的解互为相反数，求字母或式子的值
例4 -1.已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值．
【答案】
【解答】解：，
去括号得：，
去分母得：，
移项得：，
把的系数化为1得：，
，
去分母得：
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
把的系数化为1得：，
两个方程的解为相反数，
，
解得：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
例4-2．已知是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解，根据定义，方程的解，列式计算．
(1)根据是关于x的一元一次方程，得到，求得m的值即可．
(2)先求得的解，根据一元一次方程的解与的解互为相反数，求得解，代入求得n的值即可．
【详解】（1）∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得，且，
故．
（2）∵，
∴变形为，
解得，
∵一元一次方程的解与的解互为相反数，
∴的解为，
∴，
解得，
故n的值为．
针对训练4
1．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”．若关于x的方程和是“兄弟方程”，求的值是　 　．
【答案】
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
2．若关于x的方程5x-1=2x+a的解与方程4x+3=7的解互为相反数，则a=　 　.
【答案】-4
【知识点】估计方程的解；相反数的意义与性质
3．若方程与关于x的方程的解互为相反数，则k的值是　 　．
【答案】
【知识点】估计方程的解
4．关于x的方程与的解互为相反数，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】估计方程的解
5．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求k的值．
【答案】
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程；相反数的意义与性质
类型五 已知两个方程的解之间的数量关系，求字母或式子的值
例5-1 .如果关于x的方程的解比关于x的方程的解小2，求m的值．
【答案】m的值为2
【分析】先解方程，求出，然后根据关于x的方程的解比关于x的方程的解小2得到方程的解，然后代入求解即可．
【详解】解：解方程，得．
关于x的方程的解比关于x的方程的解小2，
方程的解为．
将代入方程中，
得，解得，
m的值为2．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
例5-2．已知是关于x的一元一次方程．
(1)求a的值，并解出上述一元一次方程；
(2)若上述方程的解是方程解的2倍，求k的值．
【答案】(1)a的值是1；方程的解是
(2)k的值是3
【分析】（1）根据一元一次方程的定义和解一元一次方程的一般步骤准确计算即可；
（2）根据解析（1）得出的方程解，得出方程解为，然后代入求出k的值即可．
【详解】（1）解：由题意得:，
∴，
∴，
将代入方程得：，
解得：
答：a的值是1，方程的解是．
（2）解：由题意得：，
将代入方程得：，
解得：
答：k的值是3．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，方程解的定义，一元一次方程的定义，解题的关键熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算．
针对训练5
1．关于的方程的解比关于的方程的解大2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
2．为何值时，关于的方程的解是的解的倍．
【答案】
【知识点】估计方程的解
3．若关于x的方程和的解的和为5，求m的值．
【答案】
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
类型六 方程错解问题
例6 -1.在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据小颖解方程的过程求出a的值，然后正确求出原方程的解即可．
【详解】解：由题意得的解为，
∴，
解得，
∴，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
例6-2．名名在解方程 时,把 处的数字看错了,所得的结果是,那么名名把“ ”看成了( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
答案：A
解析：把代入 ,
得 ,
移项,得 ,
解得 .
针对训练6
1 .小王在解关于x的方程2﹣＝3a﹣2x时，误将﹣2x看作+2x，得方程的解x＝1．
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）1）把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值；
（2）把a的值代入原方程，求出解即可．
【详解】（1）把x＝1代入2﹣＝3a+2x
得：2+＝3a+2，
解得：a＝；
（2）把a＝代入原方程得：2﹣＝﹣2x，
去分母得：6﹣（2x﹣4）＝2﹣6x，
去括号得：6﹣2x+4＝2﹣6x，
移项得：﹣2x+6x＝﹣10+2，
合并同类项得：4x＝﹣8，
解得：x＝﹣2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
2．某同学在解方程，去分母漏乘后得到方程，求得方程的解为．
（1）试求a的值；
（2）你认为是方程的解吗？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，请求出方程的解．
【答案】（1）3
（2）不是，
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
3．王老师给同学们出了一道关于x的一元一次方程．
（1）如果你来做这道题，第一步会先_________，这样做的依据是__________________．
（2）小华在方程两边乘以6时，右边忘记乘了，结果解出，则k的值为__________________．
（3）在（2）的条件下，请正确解出原方程的解．
【答案】（1）将等号两边同时乘以6；等式两边同时乘以相等的非零的数或式子，两边依然相等
（2）
（3）
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
4．七（3）班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了．
（1）请你帮小红求出“”处的数字．
（2）请你正确地解出原方程．
【答案】（1）
（2）
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程
5．王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，那么原方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】估计方程的解
6．小李在解关于x的方程时（其中为已知数），误将“”中的“”号看成“”号，得方程的解为，则原方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】估计方程的解
类型七 方程整数解问题
例7-1 .若关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则k的值是（ ）
A．1或3 B．3或5 C．2或3 D．1或6
【答案】A
【分析】先解方程，再依据解是整数求解即可．
【详解】去分母得，
去括号得：
移项合并同类项得：，
系数化1得：，
∵关于x的方程的解是整数，
∴或，
∴或或或
∵k是正整数，
∴或，
故选：A．
本题主要考查的是方程的解，根据方程的解为整数和k为正整数，求出当k的正整数值。
例7-2．已知关于a的方程的解也是关于x的方程的解．
(1)求a、b的值：
(2)求出关于x的不等式的最大整数解．
【答案】(1)，
(2)满足不等式的最大整数解是4
【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法是解题的关键．
（1）先求出方程的解，再将把代入方程并求解，即得b的值；
（2）将，代入不等式中，通过去分母、移项、合并同类项、两边同除以一次项系数，即得答案．
【详解】（1）对于方程，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
把代入方程，得，
，
解得 ；
（2）当，时，原不等式化为，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
，
关于x的不等式的最大整数解是4．
针对训练7
1．已知a、x为正整数，若，则满足条件的所有a的值之和为（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
【答案】B
【知识点】估计方程的解
2．已知关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为　 　．
【答案】2或8
【知识点】一元一次方程的概念；估计方程的解
3．若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为　 　．
【答案】
【知识点】估计方程的解
4．已知关于的方程的解为负整数，则整数所有可能取值的和为（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】估计方程的解
5．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次二项式，那么所有满足条件的整数的值之积是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】估计方程的解；多项式的项、系数与次数；解含分数系数的一元一次方程
类型八 方程解的新定义问题
例8-1 .若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．
请根据“友好方程”定义，解决下列问题：
（1）①，②两个方程中为“友好方程”的是 　①　（填写序号）；
（2）若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值．
【解答】解：（1）①，
解得：，
而，是“友好方程”；
②，
解得：，
，不是“友好方程”；
故答案是：①；
（2）方程的解为．
所以．
解得．
例8-2．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题，
(1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值．
【答案】(1)是“乘解方程”，理由见解析；
(2)的值为．
【分析】（）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可；
（）根据“乘解方程”的概念，列出关于的一元一次方程，然后解方程即可；
本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：是“乘解方程”，理由：
由解得：，
∵，
∴方程是“乘解方程”；
（2）解：由解得：，
∵关于的一元一次方程是“乘解方程”，
∴，
解得：，
∴的值为．
针对训练8
1．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题
（1）判断：方程______（“是”或“不是”）“和解方程”．
（2）关于x的一元一次方程是“和解方程”，求t的值．
（3）关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m、n的值．
【答案】（1）是
（2）
（3），
【知识点】解一元一次方程；估计方程的解
2．小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为，而；的解为，而．
于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；估计方程的解
3．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是　 　．
【答案】
【知识点】估计方程的解；解含括号的一元一次方程
4．我们规定，关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为和解方程，例如的解为，则方程为和解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有______．
①；②；③．
（2）若关于x的一元一次方程是和解方程，则______．
（3）关于x的一元一次方程是和解方程，则代数式的值为______．
（4）关于x的一元一次方程是和解方程且它的解为，求代数式的值．
【答案】（1）②
（2）
（3）
（4）
【知识点】估计方程的解；解含分数系数的一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-整体代入求值
5．【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．
【运用】
（1），，三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）；
（2）若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值；
（3）若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求、的值．
【答案】（1）②；
（2）；
（3），．
【知识点】解一元一次方程；估计方程的解
6．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，则的值为　 　．
（2）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，则的值为　 　．
【答案】；
【知识点】一元一次方程的其他应用；估计方程的解
7．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；
（3）已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值．
【答案】（1）是
（2）
（3）0
【知识点】解一元一次方程；估计方程的解
类型九 由已知方程的解，整体求与已知方程相关的方程的解
例9．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意得y+1 =x
把x= -2代入方程得：y+1 = -2
解得：y= -3
故选C
【知识点】估计方程的解
例9-2．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：设，
则变形为，
，解得：.
故选：C.
针对训练9
1．如果关于的方程的解，则关于的方程的解　 　．
【答案】
【知识点】估计方程的解
2．已如关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】估计方程的解
3．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 　 　．
【答案】3
【知识点】估计方程的解
4．已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；估计方程的解
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