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七年级（上） 13.3 分式方程（1）
基础知识
1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
整式方程：像一元一次方程等分母里不含有未知数的方程称为整式方程
方程的根：只含有一个未知数的方程的解称为这个方程的根.
【注】对于整式方程一般都称几元几次方程；而分式方程则只能称可以化为几元几次方程的分式方程。
2、如何解分式方程
（1）解分式方程的基本思想：
“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程。
（2）解分式方程的步骤：
①去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程并求解；
③检验并写出结论：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（3）“增根”是怎样产生的？
把分式方程“转化”为整式方程时，在分式方程两边同乘一个整式，由于这个整式的值可能为0，这就产生了增根。
【注】
①把分式方程“转化”为整式方程的条件是去掉分式方程中的分母。如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤。
②用分式方程中各式的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母。但要注意用最简公分母乘方程两边的每一分式或项，切勿漏项。
③解分式方程可能产生“增根”的情况，那么验根就是解分式方程必要的步骤。
典型例题
【例1】 （1） 下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
（3）下列方程中，不是它的一个解的是（ ）
A. B. C. D.
【例2】解方程：
（1） （2）
【练习1】解方程
（1） （2）
【练习2】直接写出下列分式方程的根：
（1）：_________________； （2）：_________________；
（3）：_________________； （4）：_________________
【例3】解方程：
【例4】（裂项）解方程：．
【练习1】解方程：．
【练习2】解方程：
【练习3】解方程．
【例5】（构造）解方程：．

【练习】解方程：
【例6】（分离常数）解方程：
【练习】解方程：
【例7】（分离常数）解方程：
【练习】解方程：
【例8】（1）如果方程有增根，那么增根是
（2）已知关于的分式方程有增根为，求的值；
【例9】关于x的方程．
（1）m为何值时，方程有增根？ （2）m为何值时，方程无解？
【练习1】如果关于x的方程有增根，求a的值．

【练习2】已知关于x的分式方程，该方程有增根，求m的值．
【练习3】分式方程无解，求的值；
【练习4】关于的方程无解，求的值．
【例10】关于x的分式方程的解为负数，求m的取值范围
【练习1】若关于的分式方程的解是正数，求的取值范围．
【练习2】 关于的方程的解为非负数，求的取值范围．
【练习3】 当为何值时，分式方程的解不小于1
【例11】已知，求的值
【练习】已知，求
（1）的值 （2）的值
【例12】已知，求的值
【例13】对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中较小的值，如，按照这个规定，求方程的解．
【练习】对于两个不相等的有理数、，规定表示、中较大的值，如果．按照这个规定，求方程的解
【例14】阅读理解:
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如：，我们称 是 的“3差分式”，
解答下列问题：
（1）分式 是分式 的“ 差分式”．
（2）分式 是分式 的“2差分式”．
① （含的代数式表示）；②若的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式 是 的“4差分式”（其中为正数），求的值．
【例15】 知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空：
（1）例题：解方程，
解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即______．
解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即______．
（2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用下图来解释．
如图，，，,，,．则，，，由,，得______，从而求得______．
（2）图 （3）图
问题解决：
（3）如图所示，在三角形中，、是边上的点，且，，，，求的长．

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