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第1章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
知道子集、真子集、空集的概念，理解集合之间的包含与相等的含义.
了解Venn图的概念，并能利用Venn图表示集合的基本关系.
能判断集合间的关系，并能根据集合间的关系求解相关参数.
能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换，提升数学抽象素养.
重点：集合间的包含与相等的关系；子集与真子集的概念.
难点：能根据集合间的关系求解相关参数；属于关系与包含关系的区别.
（一）创设情境
回顾实数之间的关系.（学生讨论）
师小结：
想一想：类比实数之间的关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢
师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.
设计意图：教师以复习回顾引发学生思考，类比实数进行分析、判断，激发学生主动学习，顺利揭示本节课题.
（二）探究新知
任务1：探究集合与集合间的包含关系.
思考：观察下面两个例子,你能发现每组两个集合之间的关系有什么共同特征吗？
（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；
（2）C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
师生活动：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
总结：（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素，这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.（2）中的集合C与集合D也有这种关系.
总结：子集概念.一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.写法：A B 或 B A，读法：“A包含于B” 或“B包含A”.
思考：包含关系{a} A与属于关系a∈A有什么区别？
答：前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.
说一说：用Venn图表示常用数集之间的关系.
答：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。这样，如果A B ，可以用下图来表示.
总结：（1）表示集合的Venn图是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆、也可以是其他封闭曲线.（2）Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小.
任务2：探究集合与集合间的相等关系.
思考：观察下面两个集合，并指出它们元素间的关系，你能得出什么结论？
E={x|x是两条边相等的三角形}, F={x|x是等腰三角形}
师生活动：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.4.师小结.
答：由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合E，F都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合E中任何一个元素都是集合F中的元素，同时，集合F中任何一个元素也都是集合E中的元素.这样，集合E的元素与集合F的元素是一样的.
说一说：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作：A=B.也就是说，若A B ，且 B A，则A=B；反之，如果A=B，则A B ，且 B A.Venn图如图所示.
若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.
思考：集合间除了包含关系、相等关系，还有其他关系吗？
答：真子集关系.
任务3：探究集合与集合间的真子集关系.
思考：仔细观察下面例（1）,集合B中是否有一些元素不属于集合A？
（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；
答：在(1)中，A B，但4∈B，且4 A，所以集合A是集合B的真子集。
总结：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集.写法：A B 或 B A.读法：“A真包含于B” 或“B真包含A”.
追问：集合A B与集合A B有什么区别呢？
总结：前者集合B含有集合A没有的元素，后者集合A可能与集合B相等.
任务4：探究空集与真子集、子集的关系.
思考：假如一间教室没有任何东西，我们将其称为空教室，若一个集合中没有任何元素，例如2,我们如何对其进行命名呢？
总结：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 .规定：空集是任何集合的子集.性质有（1）空集只有一个子集，即它的本身， ；（2）空集是任何非空集合的真子集，即A≠ ，则 A；（3）书写子集的时候千万不要漏掉空集 .
各抒已见：0，{0}、 、{ }之间有什么关系
师生活动：1.小组内交流讨论；2.以小组为单位进行绘制；3.各小组分享成果.
总结：1. 0，{0}、 、{ }之间的关系.
2.由集合之间的基本关系，可得以下结论：
(1) 任何一个集合是它本身的子集，即A A
(2) 对于集合A、B、C，如果A B，且B C，那么A C.
(3) A B可以得出：A= 或A≠ ，A B或A≠ ，A=B.
设计意图：学生初中阶段对集合有一定的了解，根据先行组织者理论，引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴. 任务串的设计目的是使得知识间的逻辑关系更清晰.以问题为驱动，注重集合间关系知识点的挖掘. 合作探究让学生亲身感受数据分析的过程，让学生更有参与感.将包含关系、相等关系，接着真包含关系三个任务为主线，接着以探究空集、真子集与子集的关系，有利于学生接纳新知，突破本节课的重难点，最后对如何对本节课内容进行简单的总结, 在阶段性的知识总结中体会集合间的基本关系.
（三）应用举例
例1 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
答：集合{a，b}的所有子集为： ，{a}，{b}，{a，b}.真子集为： ,{a}，{b}.
总结：
假设集合A中含有n个元素，则有：（1）A的子集的个数为2n个；（2）A的真子集的
个数为个；（3）A的非空真子集的个数为个.
例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由.
A={1,2,3},B={x|x是8的约数};
A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}.
答：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.
（2）因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的四边形，所以集合A是集合B的子集.
设计意图：通过例题讲解，引导学生思考在实际问题情境中，理解子集、真子集，以及集合间的关系.
（四）课堂练习
1.下列关系中：，，， 正确的个数为( ).
A. B. C. D.
答：，由元素与集合的关系可知正确，由空集是任何非空集合的
真子集可知正确，是含个元素的数集，而是含个元素的点集，故不正确，两边分别表示含个元素的点集，表示不同的点，故不正确．故正确的个数为．故选B．
2.下列命题中正确的有( )
A. 集合的真子集是 B. 是菱形是平行四边形
C. 设，若，则
D.
答：对于，集合的真子集是，，故 A不正确；对于，因为菱形一定是平行四边形，所以是菱形是平行四边形，故 B正确；对于，因为，，所以，，故 C正确；对于，因为是实数，所以无解，所以，，故D不正确．
故选：.
3.已知集合，集合，若，则实数 ．
答：由，，解得．验证可得符合集合元素的互异性，此时，，满足题意．故答案为：．
4.设，，若，则实数组成的集合 ．
答：，，又，时，，显然；时，，由于，或，或，故答案为．
5.已知集合 A={x|a-1(1) 若 A为空集，求实数 a的取值范围；
(2) 若 B 是 A 的真子集，求实数 a的取值范围
答：（1）当A为空集时，-1，解得2.即实数 a的取值范围为{a|2}.
(2)若B是A的真子集，则，解得，即实数 a的取值范围为{a|}.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固集合间的基本关系的相关知识，能够灵活运用.
（五）总结归纳
回顾本节课所学内容，回答下列问题：
师生活动：学生回答上述问题，其他学生进行点评补充．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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