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第一章 常用逻辑用语
1.4充分条件与必要条件
1.认识和理解充分条件、必要条件的概念及其意义，培养数学抽象的核心素养；
2.结合具体的命题，掌握判断充分条件、必要条件的方法，培养逻辑推理的核心素养；
3.通过对典型例题的梳理，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系，提升数学抽象与逻辑推理的核心素养.
重点：理解充分条件、必要条件的概念与意义；
难点：命题条件的判断及其证明.
创设情境
回顾：请你结合初中知识，回顾命题的概念、分类、形式.
答：命题的概念：用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句.
命题的分类：①真命题：判断为真的命题；②假命题：判断为假的命题.
命题的形式：若p，则q.p称为命题的条件，q称为命题的结论.
回顾：判断下列几个语句是不是命题，如果是，尝试把它改成“若p，则q”的形式.
（1）中国航天人真伟大！
（2）空集是任何集合的真子集；
（3）把门关上；
（4）自然数是偶数吗？
（5）垂直于同一条直线的两条直线必平行.
答：（1）、（3）、（4）不是，
（2）是，若一个集合是空集，则它是任何集合的真子集；
（5）是，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线必平行.
设计意图：通过复习回顾命题的相关概念，为新课的学习奠定了基础.
（二）探究新知
任务1：探究充分条件与必要条件的概念.
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题 哪些是假命题
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若x2 4x+3=0，则x=1；
（4）若平面内两条直线和均垂直于直线,则a//b.
答：（1）、（4）是真命题，（2）、（3）是假命题.
师生活动：教师指导学生进行独立思考并进行2分钟小组合作探究，每组挑选一名代表展示小组讨论结果．
定义：一般地，“若p，则q”是真命题，即指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
充分性：足以保证，有之必成立，无之未必不成立；
必要性：必不可少，有之未必成立，无之必不成立.
“pq”的几种不同说法：
“如果p,那么q”为真命题.
p是q的充分条件，q是p的必要条件.
p的必要条件是q，q的充分条件是p.
“若p，则q”是假命题，那么p由条件不能推出q.记作
pq，
此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
说一说：下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若x2 4x+3=0，则x=1；
（4）若平面内两条直线和均垂直于直线,则a//b.
答：（1）、（4）中，p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）、（3）中，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
设计意图：培养学生独立思考的能力的同时，锻炼学生小组合作能力与总结归纳能力，培养学生逻辑推理等素养．
任务2：探究命题成立的充分条件
思考：若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形.
1.这说明了“四边形的两组对角分别相等”是“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？
2.若不唯一，请再给出几个不同的充分条件.
3.你能给出“两直线平行”的充分条件吗？
4.你发现了什么？
师生活动：学生先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果.
答：1.不唯一；
2.四边形的两组对边分别相等，这个四边形是平行四边形.
四边形的一组对边平行且相等，这个四边形是平行四边形.
四边形的两条对角线互相平分，这个四边形是平行四边形.
3.同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
4.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
设计意图：通过探究命题成立的充分条件，培养学生独立思考的能力的同时，锻炼学生小组合作能力与总结归纳能力，培养学生逻辑推理等素养．
任务3：探究命题成立的必要条件
思考：若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等.
1.这说明了“四边形的两组对角分别相等”是“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？
2.若不唯一，请再给出几个不同的必要条件.
3.你能给出“两直线平行”的必要条件吗？
4.你发现了什么？
师生活动：学生先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果.
答：1.不唯一；
2.四边形是平行四边形,这个四边形的两组对边分别相等；
四边形是平行四边形，这个四边形的一组对边平行且相等；
四边形是平行四边形，这个四边形的两条对角线互相平分.
3.两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.
4.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
设计意图：通过探究命题成立的必要条件，培养学生独立思考的能力的同时，锻炼学生小组合作能力与总结归纳能力，培养学生逻辑推理等素养．
应用举例
例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若x2=1，则x=1；
（5）若a=b，则ac=bc；
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数.
解：（1）是一条平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
（2）是一条相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
（3）是一条菱形的性质定理，p q，所以p是q的充分条件.
（4）由于(－1) =1，但－1≠1，pq，所以p不是q的充分条件．
（5）是等式的性质，p q，所以p是q的充分条件.
（6）是无理数，但是有理数，pq，所以p不是q的充分条件.
【总结】举反例是判断一个命题是假命题的重要方法.
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；
（4）若x=1，则x2=1；
（5）若ac=bc，则a=b；
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数.
解：（1）、（2）、（4）是；
（3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以q不是p的必要条件.
（5）由于 1×0=1×0，但 1≠1，pq，所以q不是p的必要条件.
（6）如1×2 =2 为无理数，但1和2 不全为无理数，p q，所以q不是p的必要条件.
例3 （1）已知集合A={x│ 2≤x≤2}，B={x│ 3≤x≤2}，则“x∈A”是“x∈B”的_______条件.(填“充分”或“必要”)
（2）给出下列不等式：①x<1；②0解:（1）由A可以推出B，故“x∈A”是“x∈B”的充分条件；B不一定推出A，故“x∈A” 是“x∈B”的必要性不成立．故答案为充分．
（1）由0故答案为②③④．
【总结】从集合角度看充分、必要条件：
设A={x∣p(x)}，B={x∣q(x)}，则
（1）若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若A B，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
（3）若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
（4）若A B，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件.
例4已知，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围（ ）.
( ∞, 4] B.[1,4] C.(1, 4] D.(1,4)
解：由，即，解得2若p是q的充分不必要条件，则，解得1实数a的取值范围为(1, 4]，故选C.
总结：小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围.
设计意图：通过对典型例题的梳理，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系，并强化数学运算的核心素养．
（四）课堂练习
1.已知、，下列条件中，使成立的必要条件是( )
A. B. C. D.
解：对于选项，当时，由不等式的性质得，可得出，
则是的必要条件；
对于选项，取，，则，所以，
则不是的必要条件；
对于、选项，当时，，，
则、都不是的必要条件．
故选A．
2.“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
解：关于的方程 有两个不等实数根，
，
解得
结合选项，“关于的方程 有两个不等实数根”成立的一个充分不必要条件是
故选C．
3.已知：；：若是的必要不充分条件，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
解：由，可得：或．
是的必要不充分条件，
方程的解集是集合的非空真子集，
则或，即或，
故选BC．
4.已知集合．
若，求
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：当时，，
所以，所以或
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以，
时，，所以，满足题意；
时，，所以；
综上，的取值范围是．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固充分条件与必要条件，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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