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第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.2充要条件
1.理解充要条件的意义，并能够进行判断；
2.能够对某些命题的充要条件进行证明，提升逻辑推理和数学分析的核心素养．
3.会求命题成立的充分条件、必要条件和充要条件，并能够根据不同的条件求参数的值或取值范围；
4.理解数学定义和充要条件的关系，培养数学抽象的核心素养.
重点：对充分条件、必要条件和充要条件进行判断和证明．
难点：根据充分条件、必要条件或充要条件求参数的值或取值范围；充要条件与数学定义之间的关系．
（一）创设情境
情境：水是生命的源泉，那么“地球有水”与“人类生存”之间有怎样的关系呢？
图中“开关闭合”与“灯泡亮”之间具有怎样的关系呢
答：地球有水不一定能得出有人类生存，但是人类生存一定可以得出地球有水；开关闭合则灯泡一定亮，反过来不一定成立.
其实我过古代先哲对于“充分”与“必要”的也早有阐释，比如《墨经》有云：有之则必然，无之则未必不然；无之则必不然，有之则未必然.就是对充分、必要条件的解读.
回顾：你能回忆起上节课学习的充分、必要条件的定义吗？
命题关系 “若，则”真 “若，则”假
推理关系
条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件
例子 若，则. (真) 若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等.(假)
设计意图：通过生活实例，引出充要条件这一课题，培养学生学习的兴趣.并回顾旧知，
（二）探究新知
任务1：探究充要条件的概念及意义.
思考：(1)中，若为直角三角形，则；
(2)中，若，则为直角三角形.
说一说，两个命题中条件和结论分别是什么，它们之间有什么关系？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：(1)中条件为为直角三角形，结论为；(2)中条件为，结论为为直角三角形.两个命题互为逆命题.
将命题“若，则”中的条件和结论互换，就得到了一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题.
探究：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等.
答：原命题是真命题，其逆命题为“若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等”，也为真命题.
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等.
答：原命题是真命题，其其逆命题为“若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等”，为假命题.
(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；
答：原命题是假命题，其逆命题为“若一元二次方程中，则该方程有两个不相等的实数根”，为真命题.
(4)若是空集，则与均是空集.
答：原命题是真命题，其逆命题为“若与均是空集，则是空集”，也为真命题.
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作
.
此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件.
显然，如果是的充要条件，则也是的充要条件.概括地说，如果，那么与互为充要条件.
总结：
条件 结论 能否推出 能否推出 与的关系
是的充分必要(充要)条件
是的充分不必要条件
是的必要不充分条件
是的既不充分也不必要条件
设计意图：通过具体的实例，引出充要条件的概念，强化学生对抽象概念的理解，培养学生数学抽象的核心素养.
任务2：探究命题成立的充要条件.
探究：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：①四边形的两组对角分别相等；②四边形的两组对边分别相等；③四边形的一组对边平行且相等；④四边形的对角线互相平分，都是“四边形是平行四边形”的充要条件.
另外，平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，表明“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的充要条件.
“四边形是平行四边形”的每个充要条件都从不同的角度刻画了“平行四边形”这个概念.
思考：你能此给出“平行四边形”的其他定义形式吗？
答：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
思考：你能根据“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的充要条件，分别给出“三角形全等”和“三角形相似”的定义形式吗？
答：“两个三角形全等”的充要条件：①三边对应相等，两个三角形全等；②两组对应边及夹角相等，两个三角形全等；③两组对应角及夹边相等，两个三角形全等；④两组对应角及一角所对的边对应相等，两个三角形全等.
“两个三角形相似”的充要条件：①三边对应成比例，两个三角形相似；②两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例及夹角相等，两个三角形相似.
设计意图：通过具体的例子，反映数学定义和充要条件的关系，培养数学抽象的核心素养，加深对充要条件这一抽象概念的理解.
（三）应用举例
例1 下列各题中，哪些是的充要条件？
（1）四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平方；
（2）两个三角形相似，两个三角形三边成比例；
（3），，；
（4）是一元二次方程的一个根，
提示：根据充要条件的定义，即可判断.
解：（1）因为对角线互相垂直且平方的四边形不一定是正方形，所以，所以不是的充要条件.
（2）因为“若，则”是相似三角形的性质定理，“若，则”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以是的充要条件.
（3）因为时，，不一定成立，所以，所以不是的充要条件.
（4）因为“若，则”与“若，则”均为真命题，即，所以是的充要条件.
例2 “”是“”的 条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”
提示：根据充分条件和必要条件的定义或充分、必要条件与集合的子集之间的关系，即可求解.
解法一：因为推不出，所以是的不充分条件．
因为能推出，所以是的必要条件．
所以是的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
解法二：因为}，所以是的充分不必要条件，
所以是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分．
【总结】从集合角度看充分、必要条件：设，，则
与的关系 图 是的什么条件 是的什么条件
或 是的充分条件 是的必要条件
或 是的必要条件 是的必要条件
是的充要条件 是的充要条件
是的充分不必要条件 是的必要不充分条件
是的必要不充分条件 是的充分不必要条件
不是的子集 也不是的子集 是的既不充分也不必要条件 是的既不充分也不必要条件
例3 已知关于的方程，则下列说法正确的是( )
A. 当时，方程的两个实根之和为 B. 方程无实根的一个必要条件是
C. 方程有两个正实根的充要条件是 D. 方程有两个正实根的充要条件是
解：当时，方程为，无实根，所以A错误
若方程无实根，则，解得，
又，所以B正确
若方程有两个正实根，则解得，
所以C正确，D错误．
故选BC．
【总结】：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法：
（1）定义法：直接判断“若，则”以及“若，则”的真假.
（2）集合法：即利用集合的包含关系判断.
（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即有，可得，充要条件也有传递性.
例4 已知条件：，条件：为常数．
若是的充要条件，求实数的值；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
提示：根据充分、必要条件与集合的子集之间的关系，即可求的取值范围.
解：解不等式可得，
可得命题：，
若是的充要条件，则不等式的解集为，
则，
所以．
若是的必要不充分条件，
可知集合为集合的真子集，
当集合为空集时，即时满足要求；
当集合不为空集时，即，要为的真子集，则；
综上，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为．
例5已知： 的半径为，圆心到直线的距离为.求证：是直线与 相切的充要条件．
提示：设：，：直线与 相切，要证是的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可.
解：设：，：直线与 相切，
(1)充分性（）：如右图，作于点，则．若，则点在 上.在直线上任取一点（异于点），连接.在中，.所以，除点外直线上的点都在 的外部，即直线与 仅有一个公共点.所以直线与 相切.
(2)必要性（）：若直线与 相切，不妨设切点为，则.因此，.
由(1)(2)可得，是直线与 相切的充要条件.
【总结】：充要条件证明的两个思路：
（1）直接法：证明是的充要条件，首先要明确是条件，是结论；其次推证是证明充分性，推证是证明必要性.
（2）集合思想：记，，若，则与互为充要条件.
设计意图：通过例题，熟悉充要条件的概念，增强其理解.并学会判断充分不必要条件、必要不成分条件、充要条件和既不充分也不必要条件，掌握通过不同的条件求参数的值和取值范围，提升逻辑推理和数学分析的核心素养．
（四）课堂练习
1. 设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：，即，故或，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
2. 下列各结论中正确的是( )
A.设，，则“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
C.“”是“”的充要条件
D.“二次函数的图象过点”是“”的充要条件
解：对于选项A，当，时，，
当时且，
故“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
对于选项B，当时，
，
故方程一定有两个不同的根，
设为，，
，
故方程有一正一负根，
若关于的方程有一正一负根，
设两根为，，
则，且，
则“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，
故 B正确；
对于选项 C，解不等式得，
解不等式得，
故“”是“”的充分不必要条件，
故C错误；
对于选项D，
若二次函数的图象过点，
则，
若，则，
即二次函数的图象过点，
则“二次函数的图象过点”是“”的充要条件，
故D正确；
故选：BD.
3. 下列说法正确的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “且”是“”的充分不必要条件
C. 当时，“”是“方程有解”的充要条件
D. 若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件
解：：因为方程的根为或，
所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
：且，
但是不能推出且，如，故B正确；
：当时，“”，方程无实数解，故不是充要条件，故C错误，
：若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件，故D正确，
故选ABD．
4. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为______.
解：，
，
，，
设，
：，
，
设，
是的必要不充分条件， ，
， ∴，
实数的取值范围为.
故答案为：.
5. 已知，，证明：成立的充要条件是．
证明：先证充分性：
已知，则，
即充分性得证.
再证必要性：
已知，则，因为，，则，，
则，
由于，
则．
即必要性得证.
故已知，，证明：成立的充要条件是．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固充要条件的概念，加深理解，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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