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第一章 集合与常用逻辑用语
1.5.1 全称量词与存在量词
1.理解全称量词与存在量词的意义，熟悉常见的全称量词和存在量词；
2.了解含有量词的命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.
重点：全称量词和存在量词的意义及表示；
难点：含有一个量词的命题的真假判断．
（一）创设情境
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有的不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”
组内讨论：
（1）文中理发师说的“我讲给所有的不给自己刮脸的人刮脸”，对“所有的”这一词语，你能想到其他词语代替吗？
（2）上述词语都有什么含义？
答：（1）“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、 “凡是”等.
（2）表示某个范围内的整体或全部.
师生活动：教师展示数学故事，让学生回顾命题的含义，之后提出量词的概念，引导学生感知含有量词的命题.
设计意图：通过数学故事引出数学概念，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究全称量词与全称量词命题.
探究：下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？
（1）x＞3；
（2）2x＋1是整数；
（3）对所有的x∈R，x＞3；
（4）对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：语句（1）（2）不是命题，语句（3）（4）是命题．
关系：（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；
（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定.
设计意图：复习学过的相关概念,通过对比，激发学生对这类短语的兴趣，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念.通过引入符号表述全称量词命题，可以使学生体会用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性. 在教学时，教师应鼓励学生适当使用符号语言来表达数学内容，从而习惯于运用符号语言表达一些数学内容.
全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，
并用符号“ ”表示．常见的全称量词还有“一切”、“ 每
一个 ”、 “ 全体 ”等．
全称量词命题：含有全称量词的命题，叫作全称量词命题．
全称量词命题的符号表示：
x∈M，p(x). 读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
思考：判断全称量词命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2） x∈R， ；
（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．
提示：如果一个大于1 的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.
解:（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数是假命题.
（2） x∈R，总有|x|≥0，因而|x|+1≥1.所以，全称量词命题“ x∈R，|x|+1≥1”是真命题.
（3）是无理数，但()2=2是有理数.所以，全称量词命题“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
总结：判断全称量词命题的真假
若要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中每个元素验证明p(x)成立；
若判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个元素x0,使得p(x0)不成立即可．
设计意图：加深学生对全称量词命题的理解，引导学生思考全称量词命题的真假判断.
任务2：探究存在量词与存在量词命题
探究：下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？
（1）2x＋1＝3；
（2）x能被2和3整除；
（3）存在一个x∈R，使2x＋1＝3；
（4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
合作探究：
1.先独立探究，再小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间5分钟.
答：语句（1）（2）不是命题，语句（3）（4）是命题．
关系：（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；
（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定．
设计意图：通过对比，激发学生对这类短语的兴趣，由此引出存在量词的概念、符号以及存在量词命题的概念.引入符号表述全称量词命题，可以使学生体会用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性.
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ ”表示．常见的存在量词：“有些” “有一个” “对某些”“有的”等．
存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．
存在量词命题的符号表示：
x∈M，p(x)．读作“存在M中的任意一个元素x，p(x)成立”.
思考：判断下列命题是的真假：
（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0 ；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形．
答： （1）因为Δ=22-4×3=-8＜0，因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根.所以（1）是假命题.
（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线,所以（2）是假命题.
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以（3）是真命题.
设计意图：加深学生对概念的理解，对命题真假判断知识的运用．
（三）应用举例
例1判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题:
（1）所有不等式的解集A，都满足A R；
（2） x∈R, y∈R, 使(x+y)(x-y)>0；
（3）存在x∈R，2x+1是整数；
（4）自然数的平方是正数；
（5）所有四边形的内角和都是360°吗？
解：（1）是全称量词命题；（2）是存在量词命题；（3）是存在量词命题；（4）是全称量词命题；（5）是疑问句，不是命题．
总结：判断全称量词命题还是存在量程命题的思路：
判命题：判断语句是否为命题；
看量词：看命题中是否含有(隐含)量词，并判断其是全称量词还是存在量词；
下结论：含有全称(存在)量词的命题为全称(存在)量词命题.
例2下列命题中，存在量词命题的个数是(　　)
指出下列命题中是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
① x∈N，2x+1是奇数；
②存在一个x∈R，使=0；
③对任意实数a，∣a∣>0；
④有一个角α使sin α= .
解：①是全称量词命题，假命题；②是存在量词命题，假命题；③是全称量词命题，假命题；④是存在量词命题，真命题.
总结：
判断全称量词命题真假的思维过程：
判断存在量词命题真假的思维过程：
例3判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号表示，再判断真假：
（1）实数的平方大于或等于0 ；
（2）存在一对实数(x,y),使2x-y+1＜0成立；
（3）勾股定理.
解：（1）是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”.改写后命题为： x∈R，x2≥0 ，它是真命题.
（2）是存在量词命题.改写后命题为： (x,y)，x∈R，y∈R，2x-y+1＜0， 它是真命题.如x=0,y=2时， 2x-y+1=0-2+1=-1＜0成立.
（3）是全称量词命题，所有的直角三角形都满足勾股定理. 改写后命题为： Rt△ABC，a,b为直角边长，c为斜边长，a2+b2=c2,它是真命题．
例4已知命题p：“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0”与命题q：“ x∈R，x2＋2x－a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是____________.
解：解：因为命题p是真命题，所以a≤1.因为 x∈R，x2＋2x－a＝0是真命题，则Δ＝4－4(－a)≥0，解得a≥－1.综上所述，－1≤a≤1.
【总结】解决含有量词的命题中参数范围的策略——转化法
解决此类问题的关键是：根据合理最词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.
设计意图：通过例题，加深对本节知识的理解，并体会将求参数问题转化为命题真假问题的思想．
（四）课堂练习
1. 下列命题是存在量词命题的是( )
A. 每个正方体都有六个面 B. ，
C. 矩形的四个内角均为直角 D. ，
解：根据全称量词命题和存在量词命题的定义知，，均为全称量词命题，为存在量词命题．
故选D．
2. 下列命题中，不是全称量词命题的是( )
A. 任何一个实数乘以都等于 B. 自然数都是正整数
C. 实数都可以写成小数形式 D. 存在奇数不是素数
解： 选项，“任何”是全称量词，故A错误；
选项，省略了量词所有，“所有”是全称量词，故B错误；
选项，省略了量词所有，“所有”是全称量词，故C错误；
选项，“存在”是存在量词，故D正确．
故选D．
3. 已知集合，，且，若命题“，”是真命题，则实数的取值集合是 ．
解：解：因为命题“，”是真命题，所以，
又，所以无解，
故实数的取值集合是．
4. 下已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
解：依题意，全称量词命题：为真命题，
所以，在区间上恒成立，所以，
所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”
故选：．
5. 已知，命题：，；命题：，．
若是真命题，求的最大值；
若、中有且只有一个是真命题，求的取值范围．
解：根据题意，若是真命题，即恒成立，
当时，的最小值为，
所以，即的最大值为；
若是真命题，，解得或，
由已知、一真一假，
若真假，则，
若假真，则，
综上，或，
故的取值范围为或．
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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