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第一章 集合与常用逻辑用语
1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.能写出命题的否定，并会判断真假；会正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定（重点）．
2.理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题（难点）．
重点：全称量词命题和存在量词命题的否定．
难点：含有一个量词的命题的否定真假判断；含有一个量词的命题否定形式化的理解．
（一）创设情境
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词，有这样一段话“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要，一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强”．
结合上述这段话，谈谈你对 “否定”一词的认识，并猜想 “命题的否定”是什么意思？
师生活动：教师结合实际生活引出“否定”的概念，引导学生积极表达．
设计意图：通过生活实际引出数学概念，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：命题的否定及真假.
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定，记为 p.
师生互动：你能写出下列命题的否定吗？
（1）56是7的倍数；
（2）空集是集合A={1,2,3}的真子集．
提示：需要考虑两个问题，这些命题的否定是怎样的？命题的否定是真是假？
合作探究：
1.先独立探究，再小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间5分钟.
答：(1)的否定是：56不是7的倍数.因为56是7的倍数，所以 “56不是7的倍数”是假命题.
(2)的否定是：空集不是集合A={1,2,3}的真子集.因为空集是任何非空集合的真子集，所以“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”是假命题.
总结：
一个命题和它的否定，不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假.
设计意图：根据学过的相关知识,通过归纳、对比，激发学生对这类短语的兴趣，由此加深命题的否定的理解.通过引入符号表述命题的否定，可以使学生体会用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性. 在教学时，教师应鼓励学生适当使用符号语言来表达数学内容，从而习惯于运用符号语言表达一些数学内容.
任务2：探究全称量词命题的否定
探究：
讨论：写出下列命题的否定
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3) x∈R, x+|x|≥0．
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：(1)并非所有的矩形都是平行四边形，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形;
(2)并非每一个素数都是奇数；也就是说，存在一个素数不是奇数;
(3)并非所有的x∈R, x+|x|≥0；也就是说， x∈R, x+|x|＜0．
设计意图：通过对比，思考和归纳，得到全称量词命题的否定的方法.
总结：
1.从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．
2.对于全称量词命题的否定，有下面结论:
全称量词命题: x∈M，p(x)，
它的否定： x∈M， p(x)．
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．
思考：还有哪些常见结论的否定形式呢？
正面词语 等于 大于(＞) 小于(＜) 是 都是
否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个
否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n+1个
思考：写出下列全称量词命题的否定:
(1) 所有能被3整除的整数都是奇数;
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上;
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
答：(1)该命题的否定:存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)该命题的否定:存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
(3)该命题的否定: x∈Z，x2的个位数字等于3.
任务3：探究存在量词命题的否定
问题：下列命题的否定是怎样的？它们与原命题在形式上有什么变化？
(1)存在一个实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2-2x+3=0.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：(1)不存在一个实数，它的绝对值是正数，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数.
(2)没有一个平行四边形是菱形，也就是说，每一个平行叫边形都不是菱形.
(3)不存在 x∈R，x2-2x+3=0”，也就是说， x∈R，x2-2x+3≠0.
总结：
1.从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题
2.对于存在量词命题的否定，有下面结论:
全称量词命题: x∈M，p(x)，
它的否定： x∈M， p(x) ．
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．
设计意图：通过对比，思考和归纳，得到全称量词命题的否定的方法.
思考：写出下列存在量词命题的否定:
(1) x∈R，x+2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形;
(3)有一个偶数是素数.
答：(1)该命题的否定： x∈R，x+2＞0.
(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.
(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
师生互动：结合对上述问题的探究过程，你能说一说改写全称量词命题与存在量词命题的否定的一般思路吗？
答：一般地，对于含有量词的命题的否定有两个方面：
(1)改变量词：把全称量词换为存在量词，即 ；
把存在量词换为全称量词，即 .
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等；
原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等.
p p 关系
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
设计意图：教师鼓励学生多表达交流, 通过启发性问题引导学生思考, 以降低学生的认知难度,最后师生共析.
（三）应用举例
例1命题p： x∈R，x2＋x＋1>0，则命题p的否定是(　　)
A. x∈R，x2＋x＋1≤0 B. x R，x2＋x＋1≤0
C. x∈R，x2＋x＋1≤0 D. x R，x2＋x＋1>0
解：由存在量词命题的否定知，命题p的否定为 x∈R，x2＋x＋1≤0．
总结：
“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.
例2命题p: a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，则p的否定为（ ）
A. a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解
B. a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解
C. a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解
D. a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解
提示：一般地，对于含有量词的命题的否定有两个方面：改变量词、否定结论.
解：对于全称量词加以否定时，只能否定原命题的结论，而不是否定原命题的条件． A、B两选项将原命题的条件也加以否定了，故不正确．正确答案选C ．
例3判断下列含有量词的命题的否定的真假．
(1) p：正数的立方根都是正数；
(2) m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根；
(3) m>0，方程x2＋x＋m＝0有实数根．
提示：先进行命题的否定，再判断其否定的真假.一个命题和它的否定，只能一真一假.
解： (1) 这是一个省略了全称量词的命题． p:所有正数的立方根都是正数，故 p：存在正数x，使得x3≤0.因为正数的立方都是正数，所以 p为假命题．
(2) ) p： m＞0，方程x2＋x－m＝0没有实数根．因为m＞0，所以Δ＝1＋4m＞0，所以 m＞0，方程x2＋x－m＝0有实数根，所以 p为假命题．
(3) p： m＞0，方程x +x+m=0没有实数根．由Δ=1-4m≥0，解得m≤，所以0＜m≤ ，所以 m＞0，方程x2＋x＋m＝0有实数根，所以 p为假命题．
【总结】含有量词的命题的否定真假判断
若原命题为真命题，其否定命题就是假命题；若原命题为假命题，其否定命题就是真命题.也就是说，原命题的真假与否定命题的真假是相反的.
有些全称量词命题，由于语言简省的原因，没有出现量词；在写这样命题的否定时，可以先将其补充完整，再写否定.
例4已知命题p： x∈[1,2]，x -a≥0，命题q： x∈R，x +2ax+2a+a =0．
(1) 若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2) 若命题p为真命题，命题q为假命题，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意得， p： x∈[1,2]， x -a＜0， p为真命题，则a＞(x )min，即a＞1.所以命题p的否定为真命题时，实数a的取值范围为a＞1.
(2) 由(1)可知，命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时， Δ=4a -4(2a+a )≥0，解得a≤0，所以 q为真命题时，a＞0，所以解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围为(0,1].
【总结】解决含有量词的命题中参数范围的策略
转化法：已知命题为真时，按照p是真命题求参数；已知命题为假时，一般转化为是真命题求参数.
1.对于全称量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin);
2.对于存在量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax).
设计意图：通过例题，加深对本节知识的理解，并体会将求参数问题转化为命题真假问题的思想．
（四）课堂练习
1. 命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“，”的否定是“，”．故选：D．
2. 命题“方程有一个根是偶数”的否定是( )
A. 方程有一个根不是偶数
B. 方程至少有一个根不是偶数
C. 方程至多有一个根不是偶数
D. 方程的每一个根都不是偶数
解： 命题“方程 有一个根是偶数”的否定是：方程 没有一个根是偶数，只有D符合．故选：D．
3. 多选对下列命题的否定说法正确的是( )
A. 能被整除的数是偶数的否定：存在一个能被整除的数不是偶数
B. 有些矩形是正方形的否定：所有的矩形都不是正方形
C. 有的三角形为正三角形的否定：所有的三角形不都是正三角形
D. ，的否定：，
解：
能被整除的数是偶数的否定：存在一个能被整除的数不是偶数，A正确；
有些矩形是正方形的否定：所有的矩形都不是正方形，B正确；
有的三角形为正三角形的否定：所有的三角形都不是正三角形，C错误；
，的否定：，，D正确．
4. 若命题，是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：命题，是假命题，
则，为真命题，
则，
解得
故选B．
5. 已知，．
写出命题的否定与命题的否定；
若或为真命题，求实数的取值范围．
解：命题的否定：；命题的否定：；
当为真命题时，当时，不等式为恒成立；当时，恒成立，
因为，所以当为真命题时，，解得或若或为真命题，则实数的取值范围为或或，即或．

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