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解析几何核心算法4．非对称结构与应用
一．基本原理
在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：
还有诸如线段的比例关系会得到：或者的结构.
我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．
这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决：
（1）利用关系式,将问题转化韦达定理求解.
（2）韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.
具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题.下面通过例题来分析
二．典例分析
（2023·全国新高考2卷高考真题）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于两点，在第二象限，直线与交于点．证明:点在定直线上.
解析：（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.
（2）★方法1.非对称韦达定理之单变量转化
由（1）可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：
，由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
★方法2.非对称韦达定理之寻找和积关系
由上述韦达定理，可得到,所以
，可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
★方法3.非对称韦达定理之：平方后利用曲线方程转化：
可得，即，据此可得点在定直线上运动.
★方法4.消留之后的非对称处理
记过点的直线为.当与轴垂直时,易知点,.
当直线与轴不垂直时,设点,,直线.将代人,得.依题意,得设，即即①.
直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：
即将①代入式得,即，据此可得点在定直线上运动.
★方法5.利用第三定义转化为斜率问题
设直线的斜率分别为,,由双曲线的第三定义知.联立直线的方程:与直线的方程:,消去得,设直线的方程为:,将双曲线方程变形为:,齐次化得,两边同除以得,
,令,知是方程的两个根,所以,解得,即在定直线上.

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