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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式
第1课时 基本不等式
1.能从实际情境中抽象归纳出算术平均数和几何平均数的概念；发现基本不等式；
2.探索基本不等式的证明过程，学生会用比较法、综合法、分析法证明基本不等式；
3.会正确地运用基本不等式解决简单的求最大值和最小值问题；
4.通过对基本不等式从感性到直观，再到理论的认识过程，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，培养数学的理性精神.
重点：掌握基本不等式的定义，几何解释.
难点：会用基本不等式求简单的最值问题.
创设情境
一顾客购买5黄金,商家用两臂不相等的天平秤黄金（两臂长分别为和).售货员先将5砝码放在右盘, 黄金放在左盘,使天平平衡；再将5砝码放在左盘,黄金放在右盘,使天平平衡；最后将两次秤的黄金的重量的算数平均数作为黄金的重量交给顾客,请问顾客是赚还是亏,还是不赚不亏 为什么
（杠杆平衡条件：动力乘动力臂等于阻力乘阻力臂，即：）
师生活动：教师提问学生两次测得的黄金重量如何表示？两次重量的平均重量与5比较孰大孰小？学生进行计算并回答.
设计意图：依据情境认知理论，通过生活中的称黄金问题实例设置悬念来引入，增加学生学习的兴趣，挖掘学生的好奇心和求知欲，从而顺利引入本节课.
（二）探究新知
任务1：构建基本不等式.
思考：阅读教材，完成下列问题
(1)什么是基本不等式，它是如何得到的？
(2)在基本不等式中，的取值范围是多少？
(3)什么是算数平均数？什么是几何平均数？大小关系如何？
(4)根据以上问题，可以得到基本不等式的含义是什么？
答：(1)在重要不等式的基础上，如果，用代替，用代替，则得到，当且仅当时取等号.
(2).
(3)算数平均数：，几何平均数：
(4)两个正数的算术平均数不小于几何平均数，即.
师生活动：教师提出问题，组织学生阅读材料独立思考，引导学生总结分析.教师可随机点名提问，其他学生进行补充、评价，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解基本不等式的构建过程.
设计意图：检查学生的变换能力，使学生了解基本不等式的形式，理解其不等号和等号成立的条件.
任务2：证明基本不等式.
思考：上面通过考察的特殊形式得到了基本不等式，能否直接利用不等式的性质直接推导基本不等式呢？(课件展示比较法、分析法和综合法.)
此处只展示分析法证明：
答：要证①
只要证②
要证，只要证 ③
要证③，只要证 ④
要证④，只要证 ⑤
显然，⑤成立，当且仅当时取等号，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了.
师生活动：教师引导学生体会分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.
设计意图：根据不等式的性质，利用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理与证明提供更丰富的策略方法.
思考：以上方法均是从代数角度证明不等式成立，能否从几何角度进一步解释基本不等式？
任务3：基本不等式的几何解释.
探究：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，，，过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.
思考：(1)线段OD，CD长为多少？
(2)如何利用这个图形得到基本不等式的几何解释？
要求：先独立思考，再合作交流.
答：(1)由图可知，，又因为，所以利用相似比可得.
(2)根据直角三角形三边关系可知，，当且仅当点O与点C重合时，，综上，所以，当且仅当时，等号成立.
师生活动：学生思考后回答，教师引导学生总结：从条件和基本不等式发现圆的半径长等于，.所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”或者说“圆中半径不小于任意一条半弦”，当且仅当弦过圆心时，二者相等.
设计意图：引导学生对图形进一步分析，发现几何平均数和算术平均数的大小关系，让学生体会不仅能以数形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论，提升逻辑推理、直观想象素养.
（三）应用举例
例1：已知，求的最小值.
解：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.因此所求的最小值是2.
追问1：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当，时，等号成立”？
师生活动：学生讨论后回答.
教师总结：这是为了说明“2”是的一个取值.
追问2：当,成立吗？这时能说是的最小值吗？
师生活动：学生思考后回答.
教师总结：不能，因为的最小值，就是要求出一个，恒成立，如果找不到对应的可以取到.
追问3：通过本例的解答，满足什么条件能够利用基本不等式求最小值呢？
师生活动：学生讨论后回答.根据学生实际情况，适当的引导总结：一正二定三相等.
变形：已知，则有没有最值？最值是多少？
解：根据基本不等式的应用条件，原多项式可变形为，
因为，所以，
所以有，
所以，
当且仅当时取等号，
所以有最大值.
设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断能否应用基本不等式解决问题，再次强调基本不等式求最值的适用范围是：一正二定三相等，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.
例2：已知都是正数，求证：
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值
解：因为都是正数，所以
当积等于定值时，
当且仅当时，上式等号成立.于是当时，和有最小值
当等于定值时，，所以，
当且仅当时，上式等号成立. 于是当时，积有最大值.
追问：根据上述例题可以得到什么结论？
师生活动：学生思考后回答.
教师总结：积定和最小，和定积最大.
例3：若，求函数的最大值.
解：因为，所以，
所以,
当且仅当时等号成立，
所以有最大值 1.
设计意图：进一步巩固求最大值的原则——和定积最大.
例4：若，求函数的最值.
解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为9.
设计意图：让学生明确利用基本不等式求最小值要求两个正数的乘积为定值，如果不满足，不能直接使用基本不等式，可以进行配凑.
情境探究：解决开篇情境问题，请问顾客是亏还是赚？还是不亏不赚？为什么？
解：根据所学的基本不等式的知识可知，两次称重的平均重量为的算术平均数，而实际重量为的几何平均数，根据基本不等式的含义，可知， 即，当且仅当时取等号，因为，所以，所以顾客赚了.
设计意图：利用刚学习的基本不等式来求解引入中的情境问题，体会整体替换的思想，灵活应用，培养学生的解题能力.
（四）课堂练习
1.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
解：，，当且仅当，时取得“”，所以的最小值是故选B．
2.下列函数最小值为的是( )
A. B.
C. D.
解：当时，，故排除．
对于，当时，，则，
当且仅当时，取等号，故B正确；
令，解得不存在，故排除．
对于D ，当时，，显然D错误．
故选B．
3.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：令，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，
由题意知，
所以，即的取值范围是．
故选：．
4.已知函数，则当时，有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
解：由题意当时，，
故，等号成立当且仅当；
又因为当时，，故无最大值．
故选：．
5.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
（1）回顾本节课的内容，你都学到了什么？
研究代数性质的一般流程
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式求最值问题
1. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；
2. 通过实例，掌握基本不等式及应用，通过实例探究抽象出基本不等式，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；
3. 会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养；
4. 通过对基本不等式的学习，体会数学来源于生活，最终也服务于生活，提高学习数学的兴趣.
重点：利用基本不等式求最值；利用基本不等式解决实际应用问题．
难点：基本不等式的应用；基本不等式求最值．
（一）创设情境
通过提问的方式依次让学生回答问题上节课学习基本不等式的内容.
师生活动：教师提问方式可以随机抽取学生点对点的回答，大众提问学生积极举手回答或者学生集体回答：1.基本不等式的内容；2.基本不等式的代数意义；3.基本不等式的几何意义；4.基本不等式解决什么问题？使用的时候主要注意什么条件？等问题，引发学生对基本不等式在解决最值问题时，什么情况有最小值，什么情况有最大值，在应用的时候需要注意什么等问题思考，学生积极讨论.
答：基本不等式：；
已知都是正数，则：（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值
（2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值
设计意图：回顾新知，对基本不等式的形式加强记忆以及对其使用条件的熟悉，初步了解解决问题的思路和方向, 为接下来的探究作铺垫.
（二）探究新知
任务1：探究变形构造基本不等式.
思考1：利用基本不等式解决下列问题：（1）已知最大值.
师生活动：教师可以给以提示：满足求两个正数积的最大值的条件吗？该如何变形呢？并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
说一说：变形技巧1：凑系数，得，所以
= 当且仅当，即时等号成立.所以最大值为
思考2：利用基本不等式解决下列问题：已知最小值.
师生活动：教师可以给以提示：满足求两个正数和的最小值的条件吗？该如何变形呢？并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
说一说：变形技巧2：凑项法；得，
所以
当且仅当，即时等号成立.所以最小值为
总结：通过变形构造定值的方法；所求式子不满足“和为定值”或“积为定值”； 变形构造定值，常见方法：凑系数法、凑项法等. 基本不等式：.
设计意图：体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了基本不等式的运用;通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度理解和应用基本不等式，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生逻辑推理的核心素养.
任务2：探究基本不等式的实际应用.
思考3：用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
师生活动：教师可以给以提示：设相邻的两边长分别为与，那么题中定值、不确定的是什么呢？并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结：定值：两邻边的积为；不确定的：周长2x+2y的值.
教师可以根据课堂情况再继续接着提示题中问题转化为：两正数的积是定值，求它们的和的最小值.
答：设相邻的两边长分别为与，则，
所以，，当且仅当0时取等号.所以当这个矩形的边长均为，所用篱笆最短，最短篱笆的长度是.
思考4：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
师生活动：教师可以给以提示：设设相邻的两边长分别为与，那么题中定值、不确定的是什么呢？
并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结：定值：周长；不确定的：面积xy的值.
教师可以根据课堂情况再继续接着提示题中问题转化为：题中问题转化为：两正数的和是定值，求它们的积的最大值.
答：设相邻的两边长分别为与，则，即=81，当且仅当时取等号.所以当这个矩形的边长均为，菜园的面积最大,最大面积是.
思考4：在上面的两个问题中？仅设一个未知数，能解出来吗？
答：（1）设一边为x，另一边为；（2）设一边为x，另一边为. 再利用和回顾，已知都是正数，则：（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值
（2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值，即可解答.
总结：通过对实际问题的分析与解答，尝试总结出用基本不等式解决问题的步骤.
1．列式：从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；
2．建模：问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；
3．求解：用“一正、二定、三相等”的方法运算求解；
4．结论：用求得的结果解释实际问题.
设计意图： 典型的能够用基本不等式求最值的问题，通过提升演练，让学生进一步地掌握基本不等式的实际运用，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念.在思考和分析中，培养学生从较为复杂的实际问题情境中抽象出数学问题，并将能将问题转化为所掌握的基不等式模型求解，体会解决实际问题的方法，形成解决问题的一般思路，提升学生数学建模的素养．
（三）应用举例
例1 已知
解：因为，可得，
且，，可知，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
总结：利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如为定值，求最值，或已知为定值，求最值（其中a，b，c，d均为常参数）时可用常值代换处理.
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m ，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为，，水池的总造价为元．
根据题意，有．
由容积为，可得，
因此．所以，
当时，上式等号成立，此时．
所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是元.
设计意图：考察了学生独立完成利用基本不等式数学模型解决实际应用问题的能力, 检验学生的学习情况, 引导学生用基本不等式模型去理解和识别问题中的数量关系，时刻留意基本不等式的使用条件和注意事项，控制难度，逐步培养学生用数学模型解决问题的能力．
（四）课堂练习
1.已知，都是正实数，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
解：因为，都是正实数，
对于、，当且仅当时取等号，故A正确；
对于、，当且仅当时取等号，故B正确；
对于、取，则，，此时，故C错误；
对于、因为，故，故D正确．
2.已知正数满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
解：选项：由题意得：，
由基本不等式得：，
当且仅当时，等号成立．
，
即，
解得： ，故A选项正确
选项：由题意得：，
由基本不等式得：
当且仅当时，等号成立．
，
即，
解得：，故选项B正确；
选项：


当且仅当时，等号成立．
故选项C错误；
选项：由题意得：，
所以 ，
所以

，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选ABD．
3.若正实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
解：，，，
，

，
当且仅当，即，时等号成立，
．
故选：．
4. 已知，求的最大值；
已知，，，求的最小值．
解：当时，，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值；
由，，，得，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值．
5.设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设
Ⅰ用的代数式表示，并写出的取值范围；
Ⅱ求的最大面积及相应的值．
解：Ⅰ如图
，由矩形的周长为，
可知设，则，
，，，
，
．
在中，由勾股定理得，
即，
解得
所以
即
Ⅱ的面积为由基本不等式与不等式的性质，得，当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为
6.某单位决定投资元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价元，两侧墙砌砖，每米造价元，顶部每平方米造价元，设铁栅长为米，一堵砖墙长为米．
写出与的关系式；
求出仓库面积的最大允许值是多少？为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解：由于铁栅长为米，一堵砖墙长为米，由题意可得，
即，化简得，由且，可得，
所以与的关系式为
，
当且仅当，即，时，等号成立．
因此，仓库面积的最大允许值是平方米，此时正面铁栅长应设计为米
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固基本不等式的相关知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课所学内容，回答下列问题：
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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