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第二章 一元二次函数、方程与不等式
2.1等式性质与不等式性质
第1课时 相等关系与不等关系
1.通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤.
2.能灵活用作差法比较两个数与式的大小，掌握并会应用重要不等式，提高数学运算能力.
3.培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力.
重点：能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，会作差法比较两实数的大小.
难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异.
（一）创设情境
思考1：你能举出生活中的不等关系的例子吗
师生活动：独自思考，并汇报交流.
总结：现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
应用本小节不等式的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了，让我们一起探究吧．
设计意图：通过初中所学及实例，引发学生的思考，大胆猜想，使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中，能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移．
（二）探究新知
任务1：探究不等关系的表示．
探究：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：（1）设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40.
（2）由题意得，.
（3）设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c.
（4）如图2.1-1，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE.
探究：用不等式表示实际问题中不等关系的方法。
师生活动：独自思考，并汇报交流.
总结：（1）从实际问题中抽象出不等关系；
用字母表示不等关系中的相关量；
用不等号连接这些字母；
建立不等式.
数学抽象的过程
设计意图：通过例题，使学生熟练不等关系与不等式，培养数学运算的核心素养.
探究：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8×0.2)x万元，
那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
(8×0.2)x≥20
求出不等式①的解集，就能指导满足条件的杂志的定价范围.
思考：如何解这个不等式？
分析：解方程的主要依据是什么？类比解方程，你能找到解不等式的主要依据吗？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
总结：解方程的依据类比到解不等式的依据，从等式性质类比到不等式性质，最终比较两个式子的大小关系.
任务2：探究数（式）大小比较.
探究：在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
总结：基本事实
依据 形 数
结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。
任务3：探究重要不等式.
探究：北京——第24届国际数学家大会会标．会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.
．
思考：你能在这个图中国找出一些相等关系和不等关系吗？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
探究：将风车图抽象成左图，设直角三角形的两直角边分别为a,b（a≠b），则
正方形ABCD的面积S =________；四个直角三角形的面积和S'=_____；
（2）S与S'有什么样的不等关系，如何表示？
（3）S与S'会出现相等的情况吗，什么时候相等？
答：（1）S=；S'=2ab.
S大于S'，即a2+b2>2ab.
当三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，S=S'，即 a2+b2=2ab
综上，a2+b2≥2ab.
一般地， a,b∈R,a2+b2≥2ab，这个不等式被称为重要不等式，当且仅当a=b时，等号成立.
思考：如何证明重要不等式？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
证明：利用完全平方公式，得
a2+b2 2ab=(a b)2
因为 a,b∈R,(a b)2≥0,当且仅当a=b时，等号成立，
所以a2+b2 2ab≥0，
因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立.
设计意图：通过实例，让学生熟练比较大小的方法及过程，培养数学运算的核心素养。同时在情景中体会重要不等式，为后面学习基本不等式做好准备，同时也教会学生解决和研究问题，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展．
应用举例
例1某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
．
总结：1、用不等式（组）表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；
(2)适当设未知数表示变量；
(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式．
2、用不等式表示不等关系的注意点
(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示；
(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.
例2 比较和的大小.
分析：根据这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。
解：因为
∴
例3 若x>2，比较x2+4x+4和x2 4的大小．
解：提示：作差法，与“0”比较．
x+4-=4x+8
因为,所以4x+8>0，所以x2+4x+4>x2 4．
总结：作差法比较两个实数大小的基本步骤
例4已知a>0,b>0，求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.
证明：因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b
＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b．
注意点：
（1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
（2）对于两个正值，可采用作商法比较，比较商与1的大小.
（3）对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小.
设计意图：通过例题，分析表达不等关系，使学生熟练作差比较大小的方法及过程，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
课堂练习
1.中国南方航空公司关于乘客行李规定如下：国内航班经济舱每位乘客婴儿除外行李件，重量上限千克，且外部尺寸长、宽、高之和不超过设行李重量为单位：千克，外部尺寸长、宽、高分别为，，单位：，则这个规定用数学关系式可表示为( )
A. B.
C. D.
解：由题意，因为重量上限千克，则，
因为外部尺寸长、宽、高之和不超过，则，
故这个规定用数学关系式可表示为．
故选：．
2.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买元葡萄，小海每次购买千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则( )
A. 小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B. 小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C. 小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D. 丙次购买葡萄的平均价格无法比较
解：设两次葡萄的单价分别为元千克和元千克，且，
则小海两次均购买千克葡萄，平均价格为元千克，
小港两次均购买元葡萄，平均价格为元．
，
所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．
故选：．
3.体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过元的资金购买单价分别为元的篮球和元的足球．已知该校至少要购买个篮球，且至少购买个足球，则不同的选购方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
解：设购买的篮球个数为 ，足球个数为 ，且 ，
根据题意可得 ，
解得符合题意的有序实数对 可以是 ，
共种不同的购买方式．
故选：
4.某家庭购买了一套三居室的房子，需要对三居室进行粉刷，粉刷方案要求：每个居室只用一种颜色，且三个居室各不相同．已知三个居室的粉刷面积单位：分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用单位：元分别为，，，且在不同的方案中，最低的总费用单位：元是( )
A. B. C. D.
解：由，，
可得
，
则
，
则
，
则．
即最低的总费用．
故选C．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固用不等式组表示不等关系和作差法的使用，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：巩固新知，加强认识.第二章 一元二次函数、方程与不等式
2.1等式性质与不等式性质
第2课时 不等式的性质
1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题.
2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小，能利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的取值范围，强化逻辑推理的核心素养.
3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质.
重点：掌握不等式性质及其应用.
难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异.
（一）创设情境
思考：回顾上节课学习了哪些内容？
师生活动：独自思考，并汇报交流.
总结：1.比较大小：作差法（与0比较）
2.重要不等式： a,b∈R,a2+b2≥2ab，当且仅当a = b时，等号成立.
可用于求最值变形： (仅当a = b时符合成立）.
关于两个实数大小关系的基本事实为研究基本不等式的性质奠定了基础.
那么，不等式到底有哪些性质呢？
因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发．
应用本小节不等式的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了，让我们一起探究吧．
设计意图：通过引导学生回忆，帮助学生用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力.
（二）探究新知
任务1：探究等式的性质．
思考：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？
性质1 如果a=b，那么 ；
性质2 如果a=b，b=c，那么 ；
性质3 如果a=b，那么 ；
性质4 如果a=b，那么 ；
性质5 如果a=b，c≠0，那么 。
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：对称性 性质1 如果a=b，那么b=a；
传递性 性质2 如果a=b，b=c，那么a=c；
可加性 性质3 如果a=b，那么a±c=b±c；
可乘性 性质4 如果a=b，那么ac=bc；
可除性 性质5 如果a=b，c≠0，那么；
性质1和性质2反映了相等关系自身的特性.
性质3、4、5反映了等式在运算中保持的不变性.
运算中的不变性就是性质.
设计意图：通过学生熟悉的等式性质出发，设问，引导学生发现等式基本性质的共性，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养.
任务2：探究不等式的性质.
探究：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？
猜想：
性质 等式 不等式
性质1（对称性）
性质2（传递性）
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
性质1证明：由a>b,可得a b>0,
于是 （a b）<0，
即 a+b<0,
于是b性质2证明：
猜想：
性质 等式 不等式
性质3（可加性）
思考：你用自然语言和图形语言对性质3进行表述吗？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：不等式两边都加上同一个数，所得的不等式与原不等式同向.
数轴上的两个不同点，沿数轴同时同向地移动相等的距离，所得到的两个对应点的左右位置关系不会改变.
追问：由性质3你能得出不等式移项的方法吗？
假设则
推论：不等式的任何项可以改变符号后移到不等式的另一边.
猜想：
性质 等式 不等式
性质4（可乘性）
思考：你用自然语言和图形语言对性质4进行表述吗？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：不等式的两边同乘一个正数，所得的不等式与原不等式同向；
不等式的两边同乘一个负数，所得的不等式与原不等式反向.
追问:你能证明一下性质4吗？
证明：ac-bc=（a-b）c.
∵a>b，∴a-b>0.
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得
当c>0时，（a-b）c>0，即ac>bc.
当c<0时，（a-b）c<0，即ac思考：性质(1)~(4)是不等式的基本性质，由这些基本性质还可以推出不等式的一些常用性质，你能证明吗？
性质5(同向可加性) 如果，那么
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
利用不等式性质2,3可以推出：
证明：
追问：两个不等式能够同向相减吗
答：不能同向相减.
思考：性质(1)~(4)是不等式的基本性质，由这些基本性质还可以推出不等式的一些常用性质，你能证明吗？
性质6(同向同正可乘性) 如果，那么
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
利用性质4和性质2可以推出：
证明：
推广：
性质7(正数的乘方性) 如果，那么
总结：不等式的性质
性质 名称 性质内容 注意事项
1 对称性 可逆
2 传递性 不可逆
3 可加性 可逆
4 可乘性 c的符号
5 同向可加性 ， 同向
6 同向同正可乘性 同向
7 正数的乘方性 同正
设计意图：通过由不等式七个性质的分析与证明，体会证明不等式的基本方法，同时也教会学生解决和研究问题，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展．
（三）应用举例
例1 已知a>b,ab>0，求证 .
证明1：
即
证明2：
总结：倒数法则.
例2 已知求证．
分析：要证只需证
证明：
思考：还有其他证法吗？
师生活动：小组内交流，并汇报展示．
证明2：
证明3：
由已知
得
总结：比较大小的方法
特殊值法：可用于判断不等式不成立，不能用于证明不等式成立
性质法：由可乘性得
作差法：作差并与0比较．
作商法：作商并与1比较．
例3已知则的取值范围是 ．
解：
又
综上所述
例4 若 , ,求 的范围.
分析：除化乘．
解：由题意得
即
例5 已知 , ,求 的取值范围.
解： 设 ,则
解得
.
, ,
, ,
,即 .
总结：利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题
(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．
(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如：由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．
(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．
设计意图：通过例题，发展学生逻辑推理，提高思维的灵活性和速度，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
课堂练习
1.已知，，，均为实数，有下列命题：
若，，则
若，，则
若，，则．
其中正确的命题个数是（ ）
A. B. C. D. 3
解：，，，正确
，又，即，，正确
，又，即，，正确．
故选：．
2.实数，，在数轴上对应的点，，如图所示，下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
解：对于，由数轴可得，，，
所以，，则，故选项 A错误；
对于，由，，，得，故选项 B错误；
对于，因为，即，又，所以，
又，所以，故选项 C错误；
对于，因为，，且由图可知，即，
所以，又，所以，故选项 D正确．
故选：
3.已知，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
解：，
由不等式的性质，
，，
所以
所以，
所以，
当且仅当时，
且已知，
解得
即的最大值为．
故选：．
4.小明有元钱去买水果，他发现如果买阳光玫瑰和涌泉蜜桔则钱不够，若买阳光玫瑰和涌泉蜜桔则钱有余，设阳光玫瑰与涌泉蜜桔的价格分别为，单位：元，则( )
A. B.
C. D. ，大小无法比较
解：设阳光玫瑰与涌泉蜜桔的价格分别为，单位：元，
根据题意得
即
即两式相加得：．
故，大小无法比较．
故选：．
5.在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，那么，这四名同学服务时长按照从大到小的顺序排列为( )
A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丙、丁
解：设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分为 ， ， ， ， ， ， ， ，
根据题意得： ， ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ．
这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙．
故选：．
设计意图：通过课堂练习，通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确问题模型，发展数学建模核心素养.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.不等式的性质
2.利用不等式的性质求取值范围的策略
建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
设计意图：巩固所学，加深认识.

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