资源简介

第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(一)
1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法;
2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法;
3. 培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想.
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型; 体会数学建模的过程与数形结合的思想.
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.
(一) 创设情境
情境导入:
园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
设矩形的一边长为x m，则另一边长为(12－x) m，由题意，得
(12－x)x>20, 0求得该不等式的解集，就得到了问题的答案．
(二) 探究新知
任务 1: 一般形式的一元二次不等式的定义
探究: 不等式(12－x)x>20，即
x2－12x+20<0,
与一元一次不等式相比，有什么相同点和不同点？你能再举出一些类似的不等式吗？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：① 相同点：都只含有一个未知数；② 不同点：一元一次不等式中未知数的最高次数是1，而不等式x2－12x+20<0中未知数的最高次数是2．
探究: 类比一元一次不等式的定义，你能给这类不等式起个名字吗？并给出它的定义及其一般形式．
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答: ① 一元二次不等式的定义：不等式含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，所以称其为一元二次不等式．② 一元二次不等式的一般形式： ax2+bx+c>0或者ax2+bx+c<0，其中a，b，c为常数，且 a≠0.
设计意图：通过具体的生活情境，导入本节课题，让学生了解学习的必要性，建立一元二次不等式的概念，培养学生数学抽象和数建模的核心素养.
思考: 在初中, 我们学习了从一次函数的观点看一元二次方程, 一元一次不等式的思想方法, 类似地, 能否从二次函数的观点看一元二次不等式, 进而得到一元二次不等式的求解方法呢
答: 可以尝试先从一个具体的,特定的, 简单的一元二次不等式求解问题出发. 如一元二次不等式x2－5x>0 和x2－5x<0的求解.
任务 2: 简单具体的一元二次不等式解法
探究: 二次函数y=x2－5x的函数图象如右
当x为何值时，y=0，函数图象与x轴相对位置关系怎样？
当x为何值时，y＜0，函数图象与x轴相对位置关系怎样？
当x为何值时，y＞0，函数图象与x轴相对位置关系怎样？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答: 当x=0 或 x=5时，y=0，恰为函数图象与 x 轴的交点;
当0当x<0 或 x>5时，y＞0，函数图象在 x 轴上方.
思考1:结合y=x2－5x的图象, 方程x2－5x=0 的解是什么 与二次函数 y=x2－5x 有什么关联
答: 方程x2－5x=0 的解是x=0,5, 恰为二次函数 y=x2－5x图象与 x 轴的两个交点的横坐标.
思考2: 能否将该结论推广到一般情形下的二次函数
答: 一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0)的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c( a≠0)图象与x轴交点的横坐标.
教师总结: 对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
设计意图: 从具体的情形出发, 引出一元二次方程的根与二次函数零点的关系. 让学生体会数形结合, 从特殊到一般的思想方法.
思考 3: 结合y=x2－5x的图象, 不等式x2－5x>0 和x2－5x<0的解集是什么
答: 根据二次函数y=x2－5x的图象可得：
不等式x2－5x>0的解集是{x|x<0或x>5}，
不等式x2－5x<0的解集是{x|0任务 3: 求解一般形式的一元二次不等式
思考1: 求解一元二次不等式x2－5x>0 和x2－5x<0的方法，可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）的解集吗？
对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）、一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）与相应的函数y=ax2+bx+c（a>0）之间是否也具有类似的关系？
请完成下表．
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：求解一元二次不等式的步骤
① 先求出相应的一元二次方程的根；
② 根据相应的二次函数图象与x轴的相对位置确定不等式的解集．
其中的关系见下表.
设计意图:通过具体的一元二次不等式解法探究，让学生体会数形结合的思想方法。培养和发展数学抽象和直观想象的核心素养。
(三) 应用举例
任务 4: 一元二次不等式求解练习
例1求下列不等式的解集：
（1）x2－5x＋6>0； （2）9x2－6x＋1>0； （3）－x2+2x－3>0．
思考1 求解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)的依据是什么？步骤是什么？
答: 求解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)的依据是相应的函数图象与x轴的相对位置关系．步骤如下:
① 先求出相应的一元二次方程的根;
② 画出二次函数的图象;
③ 根据相应的二次函数图象与x轴的相对位置确定不等式的解集.
解: (1) 对于方程x2－5x＋6=0，因为>0，所以它有两个实数根，解得x1=2，x2=3． 画出二次函数y=x2－5x＋6的图象(如图 1), 结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}．
(2) 对于方程9x2－6x＋1=0，因为，所以它有两个相等的实数根，解得x1=x2=．画出二次函数y=9x2－6x＋1的图象(图2)．结合图象得不等式9x2－6x＋1>0的解集为．
(3) 法一: 不等式可化为x2－2x+3<0，因为=－8<0，所以方程x2－2x+3=0无实数根．画出二次函数y=x2－2x+3的图象（图3）．结合图象得不等式x2－2x+3<0的解集为 ，因此原不等式的解集为.
法二: 对于方程 －x2+2x－3=0, 因为, 所以它没有实数根, 所以二次函数 y=－x2+2x－3 的图象开口向下, 且整个图象在 x 轴下方(图 4), 所以不等式－x2+2x－3>0的解集为.
思考 2 现在你能解决问题 1了吗
答: 首先求解一元二次方程x2－12x+20=0, 因为，所以它有两个实数根，解得x1=2，x2=10, 结合二次函数 y= x2－12x+20的图象可得不等式x2－12x+20<0, 0思考 3 以ax2＋bx＋c>0 (a>0)形式的不等式为例, 用框图表示其求解过程.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答案: 如下图所示
例2 解不等式 x2－2x－k2+1 0.
思考 1: 该不等式与我们例1求解过的不等式, 有什么异同点 在解决该题目时需要注意什么
答: 与前面我们求解的不等式的相同点在于, 都是一元二次不等式;
不同的地方在于, 前面的不等式对应的方程的解的个数是确定的, 本题中的不等式是含参数的, 对应一元二次方程x2－2x－k2+1=0 的, 可能为 0, 也可能为正, 方程的解的个数不确定.
在解决该问题时, 需要注意分类讨论, 通过分类讨论将方程的解的个数确定下来.
解：原不等式变形为（x+k－1）(x－k－1) 0,
方程（x+k－1）(x－k－1)＝0的两根为x1=－k+1，x2=k+1.
① 若 k=0, 则x1= x2 , 此时不等式的解集为 R
② 若 k>0, 则x1< x2 , 此时不等式的解集为 {x| x －k+1 或x k+1}
③ 若 k<0, 则x1> x2 , 此时不等式的解集为 {x| x k+1 或x －k+1}
设计意图: 从不含参的一元二次不等式求解, 过渡到含参一元二次不等式求解, 让学生体会分类讨论的数学思想.
(四) 课堂练习
练习1.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解答】解：因为，
，即，
，
不等式的解集是，
故选D．
练习2. 若，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】或
【解答】解：，
，
，
或．
故答案为或．
练习3. 已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解答】解：不等式的解集为空集，
，
解得
故选A．
练习4. 若不等式的解集为，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解：不等式的解集是，
所以方程的根是和，且；
由根与系数的关系，知，解得，，故．
练习5. 已知．
若的解集为，求实数，的值
解关于的不等式．
答案: 因为的解集为，所以为方程的根，
所以，解得，
所以由，解得，所以
等价于，整理得：，
当时，解得或
当时，解得
当时，解得或；
综上，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
练习6. 已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
答案 :
，
当时，，，则则．
若，则，解得，
所以若，则或．
则实数的取值范围为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
(五) 归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次方程、不等式的应用
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应的函数、方程的联系，体会数学的整体性.
3.能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养.
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;
难点：一元二次方程根的情况与在实际问题中的运用.
（一）知识回顾
思考：一元二次不等式解法回顾，回忆上节课如何解决一元二次不等式
师生活动：教师给出问题，引导学生结合上节课知识进行思考与回顾.
设计意图：通过提出问题，帮助学生回顾知识，引导学生体会上节课数形结合、分类讨论、转化与化归的思想，为解决利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集知识上的准备。
（二）探究新知
任务1：一元二次不等式的应用
例1.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车，
根据题意，得：
即：
对于方程，，
方程有两个实数根
画出二次函数的图象，结合图象得不等式
的解集为
从而不等式的解集为.
因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车
数量在5159辆时，这家工厂能获得60000元以上的收益.
师生活动：教师给出问题，引导学生结合结合例1的解题过程进行思考与回顾，并带领学生们一起总结出解题方法.
总结：利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
例2.某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)？
师生活动：教师根据题目含义，提示学生们刹车距离的实际生活中的意义，是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离.并带领学生们将此概念应用到本题中去，相互讨论得出解题关键是刹车距离大于
解：根据题意，得：
移项整理，得：
对于方程，，
方程有两个实数根，.
画出二次函数的图象，
结合图象得不等式的解集为或，
因为车速所以.而
所以这辆汽车刹车前的车速至少为
师生活动：教师给出问题，引导学生结合结合例2的解题过程进行思考与回顾，并带领学生们一起总结出解题方法，让学生们进一步感受一元二次不等式在实际生活中的应用，在求解过程中提升学生的数学运算素养.
总结：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系．
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题．
(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
任务2：简单分式不等式的解法
例3.解下列不等式：(1)(2)
解：(1)
而即.
∴原不等式的解集为
(2)∵，∴，
即或
而即.
∴原不等式的解集为或
师生活动：教师给出问题，引导学生结合结合例3的问题分析题型的特点，回忆一元二次不等式的解法，巧妙进行分式的变换，并让学生自主进行训练，教师指导学生一起总结出解题方法.
总结：简单方式不等式的解法：
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较为复杂的方式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
点睛：分式不等式与整式不等式的解法：
[注：]
[注：]
若出现的形式，则需要先通分，再根据分式不等式的步骤进行求解，注意分母不能为零.
任务3：一元二次不等式的实际应用
例4.某小区有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛拆建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB=3，AD=2.要使矩形AMPN的面积大于，则DN的长应在什么范围内？
解：设DN的长为，则.
∵，∴
∴
由得又
得：解得：或
即DN的长取值的取值范围是
师生活动：教师给出问题，引导学生结合结合例4的问题分析题型的特点，并让学生自主进行训练，并强化学生体会一元二次不等式在实际生活问题中的应用.
总结：解不等式应用题的步骤:
解决一元二次不等式应用题的关键在于一元二次不等式模型，即分析题目中哪些是未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再概括题目中的不等关系列不等式.
任务4：不等式恒成立问题
例5 .(1)若对不等式恒成立，求实数的取值范围.
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
解：(1)原不等式可化为
∴
∴∴实数的取值范围为.
(2)原不等式可化为恒成立，
∴∴实数的取值范围为.
师生活动：教师给出问题，引导学生结合结合例5的解题过程进行思考与回顾，注意不等式恒成立问题的实际应用，指导学生学会对不等式进行转变，并带领学生们一起总结出解题方法.
总结：元二次不等式的解集为R（或恒成立）的条件
在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外,还要分清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的取值范围,谁就是主元,求谁的取值范围,谁就是参数.
（三）课堂练习
1.“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D. 或
2.若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.设，若关于的不等式在上有解，则( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程的根为，，则当时，不等式的解集为( )
A. 或 B. 或
C. D.
5.“，为真命题”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.关于的不等式的解集为，且，则实数 ．
A. B. C. 或 D. 或
7.不等式对于恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
（四）归纳总结
提问：回顾本节课的内容，你都学到了什么？
（1）不等式解决实际问题的一般步骤；
（2）简单方式不等式的解法；
（3）一元二次不等式的解集为R（或恒成立）的条件
设计意图：教师和学生一起回顾本单元的学习内容，所设计的数学思想方法和本单元的研究方法,将重点放在引导学生进一步理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系上，提升学生对数学内容的联系性和整体性的认识.

展开更多......

收起↑