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教学设计
课题 二项分布
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析： 本节课的主要内容是n重伯努利试验这一概念的性知识和二项分布的应用这一程序性知识，他是在学习了古典概型，离散型随机变量的分布列、均值与方差的基础上进行学习的.n重伯努利试验是研究随机现象的重要途径之一，很多概率模型的建立都以n重伯努利试验为背景，二项分布就是来自n重伯努利试验的一个概率分布模型.二项分布是在“互斥事件”和“相互独立事件”以及“二项式定理”的基础上，对n重伯努利试验概率的深化研究. 在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从近似的服从二项分布，因而二项分布的实际应用非常广泛，可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，是从实际入手，通过抽象思维建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程. n重伯努利试验和二项分布概念的形成都是通过实际问题抽象得出的，其中蕴含了丰富的数学思想，如“特殊到一般”“或然与必然”“分类与整合”等.通过对实际问题的观察、分析、类比、归纳体悟概念知识的发生、发展的过程，理解n重伯努利试验和二项分布的概念。同时进一步体会数学知识既源于实际又应用于实际. 二项分布是高考考查的重点内容，重点考查在具体情境中识别二项分布，用二项分布的均值、方差公式求二项分布的均值与方差. 本节内容所涉及的主要数学核心素养有数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等.
学情分析： 在学习本节内容之前，学生已经了解了概率的意义，掌握了等可能性事件、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率计算方法，以及离散型随机变量的分布列等有关内容，也已经具备了一定的抽象、归纳和数学建模能力，但是从实际中抽象出数学模型对于学生来说还是比较困难的，需要教师的启发引导.在教师的启发引导下，学生可以概括n重伯努利试验的特点，能够总结出n重伯努利试验中事件A发生次的概率公式，但理解二项分布概率模型的构建将会是难点.此外还要让学生注意二项分布与前面学习的知识的区别与联系，构建知识网络。
学习目标： 1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念，掌握随机变量服从二项分布的有关计算 2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差
重难点： 结合实例理解n重伯努利试验和二项分布的概念，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次. 能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题，达到数学运算和数学建模核心素养学业质量水平二的层次. 让学生经历二项分布这一概念的建构过程，进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、类比等合情推理的能力，提升数学抽象与逻辑推理核心素养. 通过实际应用，培养学生从实际问题中识别数学模型的能力和学以致用的数学应用意识，提升数学建模与数学运算核心素养.
教学评活动： 引导语 众所周知，姚明通过自身努力成为了我国至今为止成就最高的篮球运动员。他职业生涯的罚球命中率为，假设他每次命中率都相同，你知道他在次连续投篮中，投中次数的概率分布列是怎样的吗？我们今天要从一个新的角度来研究这个问题。 1. 情境引入 问题1 分析下面的试验，它们有什么共同的特点？ 姚明投篮中或者不中球； 在一定条件下，种子发芽或不发芽； 医学检验结果阴性或阳性； 购买的彩票中奖或不中奖； 新生儿性别。 【预设答案】它们都可以用两点分布来描述，它们只包含两个可能结果，要么“发生”要么“不发生”。我们把只包含两种可能结果的试验定义为伯努利试验。 追问1 下面个试验和伯努利试验相关吗，它们有什么共同的特点？ 抛掷一枚质地均匀的硬币次； 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击次； 一批产品的次品率为，有回放的随机抽取件。 【预设答案】它们的共同特点是：1、同一个伯努利试验重复多次；2、各次试验的结果相互独立。我们将一个伯努利试验独立重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验。 追问2 伯努利试验和重伯努利试验有什么区别？ 【预设答案】伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”，我们关注某个事件是否发生，重伯努利试验是对一个“只有两个结果的伯努利试验”独立、重复进行了次，我们关注的是这个事件发生的次数，进一步地，因为是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。 【设计意图】两点分布是学生已有的知识经验，它是用来描述只有两种结果的试验概型，进而创造思维的最近发展区，引导学生在丰富的实际案例中抽象出重伯努利试验模型，理解重伯努利试验满足的条件和它将解决的问题，从而激发学生的学习热情。 2. 合作探究1 问题2 姚明职业生涯的罚球命中率为，假设他每次命中率都相同，次连续投篮中，投中次数的概率分布列是怎样的？ 师生活动：用表示“第次投篮命中”（），用树状图表示试验的可能结果。 由分步乘法计数原理，次独立重复试验共有种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是个互相独立事件的积，由概率的加法和乘法公式得 ， ， ， . 其中次投篮恰好次投中的结果为：，他们的概率都相等，都为，并且与哪两次中靶无关，因此次投篮恰好次投中的概率为。同理可求投中次，次，次的概率，因此投中次数的概率分布列是 追问 1 如果连续次投篮，类比上面的分析，表示投中次的结果有哪些？写出投中次数的分布列。 【设计意图】引导学生通过计算归纳出重伯努利试验模型中，事件发生的次数的概率分布列的计算公式，从而抽象出二项分布的概念。 3. 概念生成 问题3 你能抽象概括出一类概率问题的计算吗？ 【预设答案】重伯努利试验模型中，事件发生的次数的概率分布列为 进而给出二项分布的定义。 追问1 二项分布与两点分布有何关系？ 【预设答案】两点分布是一种特殊的二项分布，是的二项分布。 追问2 二项分布和二项式定理有何联系？ 如果把看成，看成，则就是二项式的展开式的通项，由此才称为二项分布。即 。 【设计意图】通过姚明投篮问题让学生经历概念的自主建构过程，体会二项分布满足的条件：1、对立性，一次试验中，事件发生或者不发生二者必有其一；2、独立重复性，试验独立重复进行了次 。理解二项分布中各个参数的含义：重为复试验的次数；为事件发生的概率；为事件发生的次数。了解二项分布与两点分布、二项式定理之间的联系，知道二项分布名字的由来，从而理解学习数学是一个循序渐进的过程，在这个过程中多思考，多尝试才能融会贯通，活学活用。 二项分布的定义：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布（binominal distribution），记作。 4. 学以致用 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，求： （1）恰好出现次正面朝上的概率； （2）正面朝上出现的频率在内的概率。 师生活动1：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个重伯努利试验，因此正面朝上的次数服从二项分布。 【预设答案】设“正面朝上”，则，用表示事件发生的次数，则。 恰好出现次正面朝上等价为，于是 ； 正面朝上出现的频率在内等价为，于是 。 师生活动2：为了强化学生对其认识，教学过程中组织学生利用GGB软件进行模拟实验。 【设计意图】概率分布不仅解决实际问题，还能帮助人们澄清一些错误的认识。学生在学习概率时会有一种误解，认为抛掷次硬币，出现次正面朝上的概率应该比较大，因为每次正面的概率都是，而事实上只有，它指的是许多人都抛掷次均匀的硬币，其中大约的人恰好出现次正面朝上。而总体来看正面出现次数约为一半，这和均匀硬币正面的概率为是一致的。 例2 如图是一块高尔顿板的示意图。在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中。格子从左到右分别编号为，，，…，，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列。 师生活动1：教师播放介绍高尔顿板试验的小视频（时长2分56秒），学生观看。教师补充：高尔顿版试验启示我们事物的发展大多是渐进和累积的，从全局的角度来考虑问题才能掌握事物的本质特性。后面随着我们数学学习的不断深入，同学们能更深入地体会高尔顿板试验对概率论与数理统计的贡献。 师生活动2：学生来分析，小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果，设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是。在下落的过程中，小球共碰撞小木钉次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个重伯努利试验，小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此服从二项分布。 【预设答案】设“向右下落”，则“向左下落”，且。因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉次，所以。于是的分布列为 。 的概率分布图为下图所示： 【设计意图】利用数学文化知识让学生更全面深入地了解二项分布的概念，体会其中的人文精神，激发学生进一步学习的动力。 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，那么采用局胜制还是采用局胜制对甲更有利 师生活动1：学生甲分析，判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率。 【预设答案】采用局胜制，甲最终获胜有两种可能的比分或，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为。（类似地，采用局胜制，甲最终获胜有种比分，或因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为。） 学生乙分析可以假定赛完所有局,把局比赛看成重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。 【预设答案】采用局胜制，不妨设赛满局，用表示局比赛中甲胜的局数，则。甲最终获胜的概率为 。 追问 1 若局胜制，实际比赛中如果谁先赢局就不再比第局，这与二项分布计算中设赛满局矛盾吗？ 【预设答案】不矛盾，解释如下表所示，前两局甲连胜的概率为，可以分解为前两局甲连胜，第三局甲胜或者不胜来计算，而三种情形总体来看表示二项分布中的，而表示，因此两种计算方式其实是一致的，而二项分布的计算方式更简便，还可以做到不重不漏。 第1局第2局第3局概率情形一甲赢甲赢情形二甲赢甲输甲赢情形三甲输甲赢甲赢
类似地，采用局胜制，不妨设赛满局，用表示局比赛中甲胜的局数，则。甲最终获胜的概率为 。 因为，所以局胜制对甲有利。实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利。 师生活动2：为了强化学生对其认识，教学过程中组织学生利用GGB软件作图验证这一结论。教师补充：这是一个非常有意思的结论，生活中的许多决策可以通过严密系统的数学来论证，数学确实是科学的大门和钥匙。 【设计意图】通过对比两种概率的计算方法，使学生了解二项分布计算的优越性，并通过作图软件验证“实力派选手，局数越多，胜算越大”这一结论，激发学生学习数学的热情。 【方法归纳】一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下： （1）明确伯努利试验及事件的意义，确定事件发生的概率； （2) 确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； （3）设为次独立重复试验中事件发生的次数，则。 5. 合作探究2 问题4 假设随机变量，那么的均值和方差各是什么？ 师生活动：我们不妨从简单开始,先考虑较小的情况。 （1）当时，服从两点分布，分布列为 ，， 均值和方差分别为，。 （2）当时，分布列为 ，，， 均值和方差分别为 ， 。 我们猜想，，。 下面对公式进行证明： 令，由可得 ， 令，则 。 ， ， 令，则 ， ， 。 【设计意图】随机变量的均值和方差是随机变量的重要特征数，均值反映了随机变量的取值的平均水平，方差反映了随机变量取值的波动。这里公式推导不做要求，在教学过程中，可以引导学生对此做出合理猜想，培养学生敢于思考、勇于创新的科学精神。 （注：，后者的计算更简洁） 6. 总结提升 问题5（1）二项分布的条件和结论是什么，均值和方差各是多少？ （2）回顾本节课的研究过程，说说研究方法和收获，还有那些困惑？ （3）二项分布的应用非常广泛，例如，感染某种疾病的家禽数，参加某保险人群中发生事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，等等。你还能举出生活中服从二项分布的随机变量的例子吗？ 【设计意图】本节课分两条线进行，1、明线：具体情形—发现问题—数学问题—数学表征—数学概念；2、暗线：实际问题—数学问题—建立模型—模型求解—模型应用—解决问题。帮助梳理本节课的研究内容和研究思路，让学生不仅掌握知识和技能，还学会解决问题的方法。
板书设计： 二项分布 1. 伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验。 2. 重伯努利试验：我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验。 3.二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作【探究1】 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】
7.作业与拓展学习设计： 1、将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，表示“正面朝上”出现的次数。 （1）求的分布列； （2） ， 。 【设计意图】推动学生对二项分布的概念的理解，学会求二项分布的分布列和均值、方差。 2、鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒，如果只鸡接种了疫苗，求： （1）没有鸡感染病毒的概率； （2）恰好有只鸡感染病毒的概率。 【设计意图】巩固二项分布的概念，并利用概念解决实际问题，表明二项分布广泛的应用价值。 3、判断下列表述正确与否，并说明理由： （1）道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数； （2）件产品中包含件次品，不放回地随机抽取件，其中次品数。 【设计意图】对二项分布概念的辨析， 使学生进一步理解“次独立重复试验”在具体的问题中是如何体现的，也为下一节“超几何分布”做铺垫。
特色学习资源分析、技术手段应用说明： 4、拓展提升 阅读教材81页，结合老师提供的GGB资料，以及通过互联网、文献查阅等方式，自主探究二项分布的性质和应用，形成探究小论文。 【设计意图】巩固并内化知识，学以致用。让学生大胆探索解决问题的思维和途径，培养学生积极、主动地思考，获得创新学习的快乐。
教学反思与改进： 本案例在抽象n重伯努利试验的特征时，需要特别关注关键词“伯努利试验”“重复”“独立”的含义，伯努利试验是指只包含两个可能结果的试验，用A表示“成功”，A表示“失败”；重复是指每次试验的条件完全相同，且事件A发生的概率保持不变；独立指的是各次试验之间相互独立，对此在高中不进行严格定义，可以直观描述为各次试验的结果互相不受影响。 类比二项式定理的探究过程，采用由特殊到一般的方法推导二项分布的分布列.首先设置了一个探究，以3次射击为例，求中靶次数X的分布列.借助树状图，利用概率的加法公式及独立事件的乘法公式求P{X=k}，接着设置了一个思考，当射击次数为4时，如何表示事件P{X=k)？如何求P{X=k}？最后由特殊到一般地得到X的分布列，在这个过程中，用到了事件的表示、概率的运算法则、组合计数等知识，以及由特殊到一般的推理方法.教学时要让学生独立思考、相互交流，充分经历这个探究过程，提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养.
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