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函数的概念与性质
3.1.1函数的概念
第1课时
1．通过具体实例，了解函数的三种表示法各自的优点，会求函数的解析式，能做出函数的图象；
2．了解简单的分段函数的概念及其表示；
3．结合具体实例，加强学生的数形结合观念和直观想象能力，提升数学运算和逻辑推理素养．
重点：用集合语言和对应关系刻画函数的概念．
难点：对函数概念的理解．
（一）创设情境
复习回顾：
1.回顾初中学过哪些函数？
（1）一次函数
（2）正比例函数
（3）反比例函数
（4）二次函数
2.初中学习的函数的概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是的函数.其中叫自变量，叫因变量.
（二）探究新知
任务1：函数的概念
思考：(1)正方形周长与边长的对应关系是，且任意一个确定的都有唯一的与之对应，所以l是的函数.这个函数与正比例函数相同吗
(2)函数与函数是同一函数吗？
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题.因此，需要从新的高度认识函数.
师生活动: 学生思考，教师指出要回答上述问题，就需要进一步学习函数的概念．
设计意图: 带领学生复习初中“变量说”的函数概念，以问题引起认知冲突，激发学生的求知欲，体现进一步研究函数的必要性．
思考：某“复兴号”高速列车到后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程（单位：）与运行时间（单位：）的关系可以表示为．
(1)是的函数吗？请说明理由．
(2)根据对应关系，这趟列车加速到后，运行就前进了.这个说法正确吗？
(3)如何用更精确的语言表示问题1中与的对应关系？
师生活动: 教师呈现问题后等候学生思考，提醒学生在回答时不看教材．教师点评问题（1）的回答，提醒学生用初中所学的“变量说”的语言来描述这个函数．根据学生回答问题（2）的情况，邀请其他学生点评，并说明这一函数的自变量的取值范围．教师点评（3）的描述是否准确，再次重复，给出精确的表述的示范．
设计意图: 通过问题思考引导学生感受思维和认知冲突，发现原有概念的不足之处，尝试用更为精确的语言来描述，为新概念的生成作铺垫．
思考：某电气维修公司要求工人每周工作至少天，至多不超过天．如果公司确定的工资标准是每人每天元，而且每周付一次工资．那么：
（1）一个工人的工资是他工作天数的函数吗？
（2）仿照问题1中对与的对应关系的精准刻画，如何用更精确的语言表示问题2中与的对应关系？（符号语言到文字语言）
（3）问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？影响函数的要素有哪些呢？
师生活动: 学生阅读题目后自主在学案上完成解答，对于问题（1）学生给出的答案大部分可能都是，提示学生还可以用不同的表示方法，例如列表格的形式．
工作天数/天 1 2 3 4 5 6
所得工资/元 350 700 1050 1400 1750 2100
问题（3）为判断题，可由学生举手呈现答案．问题（2）提醒学生不看教材回答，教师点评学生回答，再给出严谨规范的表述．通过问题（3）引导学生如何区分两个函数是否为同一个函数．
设计意图: 问题（1）是为了引导学生尝试用不同的方式表示函数，为学习抽象的对应关系做准备；问题（2）让学生模仿问题1的方法给出表述，目的是让学生熟练用集合的语言和对应关系这种表述方式，同时训练学生的抽象概况能力．再通过问题（3）让学生聚焦关注函数的定义域问题和值域问题．
思考：下图是某市某日的空气质量指数随时间的变化图．
（1）你能根据图找到中午12：00的的值吗？这个值是否唯一存在？
（2）你认为这里的是的函数吗？
（3）该函数有解析式吗？如何用更精确的语言表示问题中与的对应关系？
师生活动: 给学生阅读题目和思考问题的时间，对于问题（1）学生给出的答案后询问其他学生的意见．对于问题（2）教师介绍人们对于函数概念的第一和第二次抽象认识．第一次抽象认识，主要代表人物为欧拉、伽利略、笛卡儿、约翰·伯努利，主要观点是：函数就是解析式．但新的问题出现了：并不是所有的函数关系都能用解析式表示．后来欧拉在《微分学原理》的序言中给出的函数定义是：如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数．这个时期是人们对于函数概念的第二次抽象认识．主要代表人物为欧拉，主要观点是：函数是指两个变量之间具有依赖关系．问题（3）中学生在描述集合时，容易将值域等价于={|}．在肯定学生的观察能力的同时，要提醒学生的最小值，最大值．从而可以判定，若的取值集合为 ，则={|}．
设计意图: 学生根据图象判断函数概念存在认知困难，特别是函数值所在的范围是不精确的．所以通过问题（1）先让学生找到具体某个时刻的函数值，再通过问题（2）和（3）引导学生思考这样的对应关系是否可以表示一种函数，通过介绍函数概念的第一和第二次抽象认识，让学生体会函数概念的提出、修正，感受数学思维的一次突破．问题（4）进一步聚焦函数三要素中的值域，让学生充分体会在实际情况下，要获得精准的值域是十分困难的，但获得函数值的大致范围是相对容易的．
思考：国际上常用恩格尔系数（＝）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表是我国城镇居民恩格尔系数变化情况．
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
恩格尔系数（%） 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6
（1）按表给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？说明理由．
（2）根据实际情况和恩格尔系数的定义，你认为的取值范围是什么？
师生活动: 给学生思考时间，对于问题（1）用举手投票的方式判断“恩格尔系数是否是年份的函数”，教师根据投票情况，分别请答案“是”和“不是”的同学说明理由，再交给学生继续讨论，最后教师强调要从函数的定义进行判断．对于问题（2）大部分同学给出的函数值的取值范围可能是表中的的10个值，教师在此基础上引导：还有很多年份的恩格尔系数没有给出，应该根据恩格尔系数的定义给出的变化范围为．在此基础上，让学生再次给出是年份的函数的描述，给出以下追问：
设计意图: 学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在困难，通过问题和追问，引导学生思考，教师再加以解释，使学生更好的理解对应关系，为后面抽象出函数的对应关系做好铺垫，同时进一步明确函数概念的三要素．
探究：上述问题1——问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：学生与同组同学讨论，归纳各个情境中的共性，积极发表自己的观点，同时教师板书．学生自行组织语言，表述函数的概念，其他同学补充和完善．
教师引导学生得出：
①都包含两个非空数集，用A、B表示；②都有一个对应关系；
③对于数集A中的每一个数x，按照对应关系，在数集B都有唯一确定的数与之对应．
在上述归纳的基础上，教师先讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系，然后给出函数的一般性定义．
【概念形成】函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.
其中叫自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与相对应的叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然值域是集合的子集．
强调注意：
①都是非空数集；
②中的任意一个数在集合中都用唯一的数与之对应；（中任意性）
③中的任意一个数在集合中都用唯一的数与之对应；（中唯一性）
④中被对应的数构成的集合才是值域.
设计意图:让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象的过程，概括出用集合与对应的语言刻画一般性函数的概念．
任务2：了解构成函数的要素
探究：怎样理解函数的概念？函数的三要素是什么？
自变量 幂函数 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
9 4 1 0 1 4 9 16 25
-27 -8 -1 0 1 8 27 64 125
0 1 2
-1 1
要求：1.小组内交流讨论；
2.以小组为单位进行展示汇报；
3.师生共同归纳总结.
师生活动： 教师提出问题，引导学生思考并分组讨论，可适当补充追问：（1）定义域就是集合，为什么值域不是集合呢？若函数的值域为，则集合与集合有什么关系？（2）请问是指等于与的乘积吗？与有什么区别于联系呢？
对于问题（1）让学生再次体会在实际情况下，要获得精准的值域是十分困难的，但获得函数值的大致范围是相对容易的．对于问题（2）函数符号为“是的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，不是与相乘．“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如：“”，“”；强调与的区别和联系，即表示当自变量时函数的取值，是一个确定的函数值，而其实是变量，所以是的一个值，是值域中的一个具体元素．
设计意图： 根据前面的分析，进行必要的抽象概括，得到函数的概念，培养学生的归纳、概括理解能力．
任务3：对函数概念的理解与应用
探究：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你能从函数的定义域、对应关系和值域去表述这些函数吗？
要求：1.小组内交流讨论；
2.以小组为单位进行展示汇报；
师生活动： 给学生足够的时间去思考，然后选择三个小组，每个小组派出一名代表对一个函数进行总结，其他学生进行补充，教师进行点评．三个函数的表述如下表所示
设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系、值域函数的三要素．
（三）应用举例
例1 集合与对应关系 如下图：
是否为从集合到集合的函数？如果是，那么定义域、值域各是什么？
解：是从集合到集合的函数，定义域为，值域为.
例2 设，下列选项能表示从集合到集合的函数关系的是( )

A B C D
解：根据函数的定义可知，任意存在唯一的与之对应，
对于，满足任意存在唯一的与之对应，故A正确；
对于，若或，没有与之对应，故B错误；
对于，当时无图象，不满足函数的定义，故C错误；
对于，满足任意存在唯一的与之对应，故D正确．
故选：．
总结：函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)数，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应，这三性只要有一个不满足，便不能构成函数.
例3 根据图中的函数图象，求出函数的定义域和值域．
解：图，定义域为，值域为或
图，定义域为，值域为
图，定义域为，值域为．
例4：函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个变量之间的对应关系，可以广泛的用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、某个均匀物体的质量与体积之间的规律以及圆的周长与直径之间的关系等．那么你能尝试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式描述吗？
师生活动：学生尝试构建一些问题情景，然后相互交流、讨论，教师针对学生的回答进行点评．如果学生在构建过程中存在问题，可以给出提示：已知长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么．
设计意图：完成课本例题的过程中，进一步理解可以用来刻画现实世界中同类事物的变化规律，体会应用的广泛性，“回到实际中去”加深对函数概念、函数三要素的理解．
（四）课堂练习
1.如图，表示函数关系的是 填序号
解：由于中的与和同时对应，故不是函数．
均为函数.
2.已知集合，，从到的对应关系是，则下列对应是以为定义域，为值域的函数的是 ．


解：对，当时，在集合中没有元素与之对应；
对，当时，，在集合中没有元素与之对应．
故不符合题意．
经检验满足题意．
故答案为．
3.函数的图象如图，则( )
A.
B. 函数的定义域为
C. 函数的值域为
D. 对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
解：由函数图象可知函数定义域为，故B错误；
由函数图象可知函数值域为，故C正确；
由图象可知，，，故，A正确；
由图象可知对于任意的时，与是一一对应关系，故此时都有唯一的自变量与之对应，D正确，
故选：
4.山东某中学高一学生选科后，选择人数较多的个组合中的组合代码和对应的组合人数如下表所示，
组合代码 组合 组合人数
物化生
政史地
物生地
生史地
物化地
化生史
分别用，表示组合中的组合代码和对应的组合人数，则是的函数吗如果是，那么它的定义域，值域，对应关系分别是什么
解：由函数的定义可知是的函数，定义域为，值域为对应关系如图．
5.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述．
解：直角三角形的面积为，设一条直角边长为，另一条直角边长为，那么其中，的取值范围是，的取值范围是对应关系把每一个直角三角形的一条直角边长，对应到唯一确定的另一条直角边长．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固函数的概念，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？第3章 函数的概念与性质
3.1.1函数的概念
第2课时
1.了解区间的概念，能正确运用区间符号表示集合.
2.理解函数的三要素：定义域、对应关系、值域，会求一些简单函数的定义域，会求抽象函数和复合函数的定义域，培养学生逻辑推理、数据分析、数学运算的素养.
3.通过实例，进一步理解函数的对应关系，让学生学会判断两个函数是否为同一个函数，体会函数相等的概念.
重点：求函数的定义域，两个函数相等的含义.
难点：如何判断两个函数为同一函数；复合函数如何求定义域.
（一）创设情境
李明计划利用暑假期间带全家外出旅游，但是需要查看天气预报来决定合适的出行时间．预报说这周最低温度是5°C，最高温度是15°C．这个温度范围如何用数学语言来表达？今天，我们将学习如何使用区间来表示这种温度范围．
设计意图：通过贴近生活，使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：理解区间的概念及类型.
由上节课的学习我们知道，函数的三要素为定义域、对应关系和值域，定义域和值域都是非空数集.在数学中有没有刻画非空数集的简单方式呢？请大家阅读教科书相关内容.
思考：(1)什么叫闭区间？什么叫开区间？什么叫半开半闭区间？
(2)区间的端点应满足什么条件？
(3)请用区间表示实数集R.书写带有“”、“”的区间时，应使用小括号还是中括号？
答：(1)设a，b是两个实数，而且.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
(2)区间左端点值小于右端点值；区间两端点之间用“，”隔开；含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
(3)；“”、“”都只是数学符号，不是一个数，是实数取不到的，所以一定要用小括号表示.
师生活动：教师先让学生阅读并独立思考，尝试理解有关概念和相应记法，然后提出上述3个问题，检验学生自主阅读和理解能力.
设计意图：问题(1)是强化概念名称，明确区间的分类；问题(2)是强调区间左、右端点的大小关系，明确区间一定是“非空”的实数集．问题(3)是为了阐述“无穷大”的含义，解释带有“无穷大”的区间端点一定要用小括号的原因，降低学生的运用难度，达到“区间是研究函数的工具”的目的.
思考：请同学们自己动手，分别用集合、区间和数轴三种方式表示以下不等式：
答：
集合 区间 数轴表示
任务2：求函数的定义域.
思考：已知函数的解析式如何求函数的定义域
观察下列函数解析式，求解相应函数的定义域，并总结方法.
(1)；(2)；(3)
答：(1)；(2) ；(3)
师生活动：教师依次出示问题(1) (2) (3)，找学生代表回答，通过三个问题，逐步引导学生学会并总结求简单函数定义域的方法.
求解有解析式的函数定义域的方法：
(1)观察函数类型：分式函数、偶次根式函数、零次幂函数；
(2)列不等式求解：分式函数分母不为零；偶次根式下式子大于等于零；零次幂或负指数幂函数的底数不为零.
(3) 如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分.
探究：未知函数的解析式（抽象函数和复合函数）求函数的定义域.
抽象函数：没有给出具体解析式的函数.
复合函数：若函数的定义域为A，函数的定义域为D，值域为C,则当C是A的子集时，称函数为与在D上的复合函数，其中叫做中间变量，叫做内层函数，叫做外层函数.
如果一个函数没有具体的解析式，该如何求解函数的定义域？观察并求解下列函数的定义域.
(1)已知函数的定义域为[1,2]，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域[1,2]，求函数的定义域；
(3)已知函数的定义域[1,2]，求函数的定义域.
师生活动：教师首先点拨学生明确抽象函数和复合函数的概念，其次依次展示三个问题，引导学生解答并归纳总结求抽象函数定义域的方法.
解：(1)因为的定义域为[1,2]，即，
所以函数满足，所以，
所以函数的定义域为
(2)因为的定义域[1,2]，即，
所以，所以函数的定义域满足 ，
即函数的定义域为
(3)因为的定义域[1,2]，即，
所以，所以函数满足，即，
所以函数的定义域为.
总结：已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同.
任务3：同一个函数的的判断
我们知道，函数的三要素是：定义域、对应关系、值域，值域由定义域和对应关系决定：
思考：(1)如果两个函数仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们是同一个函数吗？如果不是，你能举出反例吗？
(2)函数它们的定义域和对应关系相同吗？这三个函数是同一个函数吗？
(3)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数吗？
答：(1)不是同一函数，比如和虽然对应关系一样，但定义域不同，最终导致值域不同，所以不是同一函数.
(2)定义域和对应关系都一样，只不过是代表自变量的符号不一样，所以这三个是同一函数.
(3)如果两个函数定义域和对应关系一样，那么它们的值域也一样，所以这两个函数是同一函数.
师生活动：教师依次出示问题(1) (2) (3)，找学生代表回答，通过三个问题，逐步引导学生得出判断两个函数是否是同一个函数的条件——定义域、对应关系相同.
设计意图：问题(1)是启发学生排除错误条件，举反例的过程，即学生积极思考并将知识内化的过程.问题(2)的关键是让学生发现对应关系本质上与字母的选取无关；这三个函数定义域显然相同，对应关系本质上也相同，它们是同一个函数.通过问题(2)的具体实例的分析，可自然地想到问题(3)，通过对问题(3)的思考，即可归纳出判断两个函数是否为同一个函数的条件.
（三）应用举例
例1：已知函数，
(1)求函数的定义域.
(2)求，的值.
(3)当时，求，的值.
解：(1)使根式有意义的实数的集合是，使分式有意义的实数的集合是.所以，这个函数的定义域是且}，即.
(2)将与带入解析式，有
.
(3)因为，所以，有意义，
.
例2：下列函数中哪个与函数是同一个函数？
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)，它与函数虽然对应关系相同，但是定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数.
(2)，它与函数不仅对应关系相同，定义域也相同，所以这两个函数是同一函数.
(3)，它与函数的定义域都是，但是当时，这两个函数的对应关系不同，所以这两个函数也不是同一个函数.
(4)，它与函数的对应关系相同但定义域不同，所以不是同一函数.
设计意图：通过具体实例，训练学生能否掌握判断两个函数是否为同一个函数的方法，其中涉及函数定义域的求解，以及对通过解析式表示的对应关系的本质认识.在学生自主解题的过程中，一定会有学生先化简解析式，再求定义域；也有学生弄不清先求定义域还是先化简解析式.在此教师需要强调：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，所以求函数定义域的基本原则是解析式不化简.在此，要让学生养成“研究函数，先看定义域”的良好习惯.
例3：已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
B． C． D．
解：中括号内的范围是，所以中括号内的范围也是，即
，所以，分母中，，即，所以的定义域为，所以选C.
例4：已知函数的定义域为，则 .
解：因为的定义域需要满足，求得的定义域为
，所以和就是方程的两个根，根据韦达定理可得
求得，所以.
师生活动：根据所学的求定义域的知识，引导总结归纳函数定义域逆运算的解题思路：
(1)已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，这种思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者容易解决的问题.
(2)根据定义域列出不等式，转化为不等式或者恒成立的问题求解.
（四）课堂练习
1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
解：已知函数的定义域为，
则函数的定义域需满足
解得．
即函数的定义域为，
故选C．
2.下列四组函数中，与是同一个函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
解：对于，，定义域为，，定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于，，定义域为，，定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于，，定义域为，，定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于，，定义域为，，定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：．
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
解：由题意，解得，故
故选：C．
4.若函数的定义域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：因为函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立.
若，则不等式等价为，显然不恒成立，不符合题意；若，要使不等式在上恒成立，则有且一元二次方程无实根或有两相等的实根，
即
解得，
综上，实数的取值范围是
故选C．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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