资源简介

第三章 函数的概念与性质
3.1.2函数的表示法
第1课时
1.通过具体数学实例，了解函数的三种表示法各自的优点；会求函数的解析式，能做出函数的图象；
2.了解简单的分段函数的概念及其表示;
3.结合具体实例，加强学生的数形结合观念和直观想象能力.
重点：函数的三种表示方法；分段函数的概念及其表示.
难点：分段函数的表示及其图像的画法.
（一）导入新课
师生活动：教师提出问题，引导学生结合初中学习的函数知识进行回顾与思考.
思考：(1)函数的概念和函数的三要素分别是什么？
(2)初中学过的函数的表示法有哪些？
答：(1)学生自由回答，教师点评.
(2)常用函数的表示法有三种，分别为：
解析法：用解析式表示两个变量之间的对应关系；
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
总结：在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函数，可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质，同时也是研究函数的重要手段.
设计意图：通过复习函数的概念、函数的三要素以及初中学过的函数的表示法，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力，同时点明采用不同的表示法会有不同的作用，从而更好的引入本节新课.
（二）探究新知
任务1：探究函数的三种表示法及各自的特点.
思考：(1)你能举出可用三种表示法表示的函数吗？
(2)所有的函数都能用三种表示法表示吗？
(3)判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
师生活动：学生思考、讨论，师生合作，对比得出各种表示法的优点与不足，得出不是所有的函数都能用三种方法表示.
答：(1)例子不唯一.
比如：同一平面内直线最多可有的交点个数与直线的条数之间的关系.
(2)不是所有的函数都能用三种表示法表示.
比如：3.1.1中的问题3是用图象法表示的，但没法用解析法和列表法来表示；狄利克雷函数是用解析法表示的，但没法用列表法和图象法来表示
(3)依据为：若垂直于轴的直线与图形至多有一个交点，则这个图形可以作为某个函数的图象.
总结：
优点 缺点
解析法 1.可以简明、全面地概括变量之间的对应关系； 2.可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，反之也可以. 不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式.
列表法 不需计算可以直接看出自变量的值所对应的函数值. 仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系
图象法 可以直观形象地表示随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于通过图象来研究函数的某些性质. 只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大.
设计意图：通过举例，让学生进一步认识函数的三种表示法，并对三种表示法进行对比，体会三种表示法各自的特点，培养学生的类比归纳能力，同时感知不是所有的函数都可以用三种表示法表示.
任务2：分段函数的概念及其表示
思考：“龟兔赛跑”讲述了这样的一个故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，如果用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图形与故事情节吻合的是
答：选.
思考：(1)什么是分段函数？
(2)怎么求分段函数的解析式？
(3)怎样画分段函数的图象？
师生活动：教师举出实例，引导学生思考后并尝试回答，教师给予评价.
探究：某城市地铁的票价如下表所示，1号地铁全长21公里，设乘坐的路程为（），票价是元，探究票价与路程之间的函数关系.
路程 价格
6及以下 2元
超过6的部分 每增加5，则增加1元，不足5按5计费
（1）的取值范围是什么？
不同的对应关系有几种？其相应的自变量的取值范围分别是什么？
在每一段的取值范围内，其对应关系是什么？
此函数是一个函数还是由多个函数组成？
用解析法如何表示该函数？
用图象法如何表示该函数？
请同学们先独立思考，再合作交流讨论.
答：（1）；
（2）不同的对应关系有4种，对应的自变量取值范围分别为：；；；；
（3）在每一段的取值范围内取任意值，对应的值不变，分别为：2；3；4；5.
（4）是一个函数而不是几个函数；
（5）；
（6）图象如下：
【概念与方法形成】
1.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.
注意：（1）分段函数虽然由几部分构成，但它仍然是一个函数而不是几个函数；
（2）分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.
2.分段函数解析式的求法：分类讨论是研究分段函数的主要方法.先求出不同取值范围内的不同函数解析式，再把它们写成规定的模式.
设计意图：结合实例，通过对分段函数相关问题进行细致的探究，以及画函数的图象，让学生认识分段函数，进一步加深对函数概念的理解，培养学生的数学抽象与直观想象的核心素养.
任务3：分段函数图象的作法
探究：画出函数的图象.
师生活动：教师引导学生通过描点法先画出函数与的图象，并比较这两个函数的异同，再画出本例中函数的图象.通过讨论、合作，探究函数的图象法与解析法的互相转化途径.
解：由绝对值的概念，我们有
所以，函数的图象如图所示.
总结：分段函数图象的作法：
作分段函数的图象时，先分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处的虚实，保证不重不漏.
设计意图：通过具体作函数图象的过程，体会函数表示法的转化，培养数与形的转化能力和数形结合思想的应用意识，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1：某种笔记本的单价是5元，买元.试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域为.
用解析法可将函数表示为5，.
用列表法可将函数表示为
笔记本数 1 2 3 4 5
钱数 5 10 15 20 25
用列表法可将函数表示为下图.
设计意图：通过例题进一步让学生体会函数的三种表示法，提高学生分析问题、解决问题的能力.
例2：画出函数的图象.
解：由，解得或；由，解得.
由绝对值的概念，原函数可改写成分段函数为
在同一坐标系中分别画出每一段函数的图象，再结合每一段函数对应的范围，可得函数的图象如下图所示：
总结：1.对含有绝对值的函数，要画出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后画出分段函数的图象；
2.画分段函数的图象时，分别画出各段的图象，在画每一段图象时，先不管定义域的限制，画出其图象，再保留定义域内的一段图象即可.画图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
例3：画出函数的图象.
解：根据绝对值的概念，将原函数改写成分段函数为
所作的函数的图象为
例4：给定函数，，，
（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
（2）用表示，中的最大值，记为.
例如，当时，.
请分别用图象法和解析法表示函数.
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象（如图）.
对于第（2）个问题的关键是：如何理解函数？
师生活动：教师先让学生分别计算当，，，，时与的值，并分析它们的关系.再结合第（1）小问所作的的图象，比较相同横坐标时对应纵坐标的大小得出的解析式.之后教师根据学生的交流情况，作出说明并给出求的一般解法：令，化简的，解得或，此时，否则.
解：（2）由上图中函数的取值的情况，结合函数的定义，可得的图象（如图）.
由，得.解得或.
结合上图，得出函数的解析式为
设计意图：体会函数表示法的转化及函数图象的应用，培养数与形的转化能力和数形结合思想的应用意识，突破难点，提升学生的直观想象和逻辑推理核心素养.
（四）课堂练习
1.（多选题）年，狄利克雷提出了函数的现代定义，即如果变量与变量相关，使得根据某个规则，每个值都对应唯一一个值，那么就是关于自变量的函数．并举出了个著名的函数狄利克雷函数：，下列说法正确的有( )
A. B. 的值域为
C. D.
解：当，则，此时，
当，则，此时，
综上所述，，故A正确．
对，由题意可知，故B错误．
对，由题意可知均为有理数，所以，故C错误．
对，若，则，则．
若，则，则．
综上可得：，故D正确，
故选：．
2.函数的部分图象大致是( )
A. B. C. D.
解：因为 ，且 ，
，故符合题意的只有．
故选：
3.已知数学符号表示中最大的数，若对任意，函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
解：分别作出，，的图象可得为如图：阴影部分对应的曲线的边界，
则由图象可知函数在处取得最小值，
由，得，，即的最小值为．
故选D．
4.（多选题）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 函数在区间上的最大值为
D. 的解析式可表示为：
解：根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和，
则其方程为，
在区间上，函数图象为线段，经过点和，
设，，
则，解得
所以其方程为，
综合可得
对于，，则，故A错误；
对于，若，
则有或
解得或，
即不等式的解集为，故B正确；
对于，在区间上，单调递减，
其最大值为，故C错误；
对于，由，故D正确．
故选：．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第三章 函数的概念与性质
3.1.2函数的表示法
第2课时
1.进一步学习函数的三种表示方法，学会选择恰当的函数表示法表示实际问题中的函数关系；
2.进一步学习分段函数的表示，体会分段函数的实际应用价值；
3.结合具体的实际问题情境，对实际问题进行函数建模.
重点：选择恰当的函数表达实际问题中的函数关系，用函数对实际问题进行建模.
难点：分段函数的表示与在实际问题中的应用.
（一）知识回顾
在函数的表示法第一课时中，我们首先回顾了初中阶段接触过的函数的三种表示方法，分别是解析法、列表法、图像法，并且总结了三种方法的特点.
总结：
解析法 列表法 图像法
特点 可以通过解析式直接求出任何自变量对应的函数值 可以直接看出某些自变量对应的函数值 直观地表示出函数的变化趋势，有利于对未来变化进行预测
师生活动：教师承接第一课时的教学任务，回顾函数的三个表示法以及学习的三个例题，引导学生回答总结三个表示法的特点，为进一步提出对于一个具体问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系打下基础.
设计意图：通过回顾第一课时学习的概念与例题，引出第二课时的学习内容，引导学生及时回顾，重视复习，培养良好的学习习惯.
（二）探究新知
任务1：探究选择恰当的方法表示函数
探究：下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析．
分析：构建函数关系，把每一位同学的六次考试看作一组函数关系，把第几次看作自变量，分数看作因变量，可以得到四个函数：王伟、张城、赵磊、班级平均分. 题目中给出的表格就是把这四个函数用表格法表示.
思考：考虑实际，分析学生成绩一般会看连续多次考试的成绩变化情况，表格法区分三位同学的成绩变化情况并不直观，那么使用什么表示法能达到预期的效果呢？
答：图像法. 如下图所示，横坐标是第几次考试，纵坐标是考试成绩. 由于每个函数由一次次的考试组成，因此是离散的点图，与例4类似. 为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接．不同同学的函数离散点用不同的符号表示. 同时，为了分析每位同学的成绩与班级平均分的对比，我们把班级平均分函数图像一同绘制在三位同学的成绩变化图像中.
解析式法需要函数因变量和自变量有固定的可表达的关系，显然，考试成绩和考试次数没有这样的关系，因而不能用解析式表示该函数关系.
注意：图中的虚线并不是函数的组成部分，之所以用虚线连接同一个函数的散点图，主要是为了让四个函数的图像具有整体性，方便比较.
思考：如何从图像中获取有用信息呢？获得了什么样的信息？
答：观察图像，观察每个同学的成绩的变化，观察每次考试每个同学的成绩对比及其与平均分的对比. 王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动， 而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
总结：①不是所有的函数关系都能用解析式法表示.
②用图像法表示函数关系可以直观地看出随着自变量的变化，因变量的变化趋势. 图像法广泛应用于需要观察函数整体变化趋势和局部特征的场合.
总结：函数的三种表示方法各自的特点是怎样的呢
解析法 列表法 图像法
特点 解析法表示函数简单明了、形式抽象、可以精准计算出每一个函数值. 只能表示离散的点的函数值，变量的取值直观呈现在表格中，不需要计算. 函数关系可以直观呈现能呈现变量的变化趋势利图象求变量的值不够精准.
适用场合 适用于函数关系明确，且可以用式子表示. 适用于自变量的个数是有限个，并且需要快速知道函数值的情形. 适用于需要观察函数整体变化趋势的场合.
师生活动：教师提出问题，引导学生总结分析，并关注其他学科与数学的交叉与生活中的函数应用. 教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解，函数的三种表示法的特点和适用范围，并在下一个例题中继续体会根据问题的特点选择恰当的函数表示方法，同时继续学习分段函数在具体问题中的应用.
设计意图：通过回顾第一课时的三种函数表示法，在大致了解三种表示法的优点的基础上，通过新的例题带领学生体会根据问题的特点选择恰当的函数表示方法，并总结不同的函数表示法适合的场合，结合应用场合举例（物理学、经济学、日常生活等等）.
任务2：探究利用分段函数解决实际问题
探究：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国个
人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：
个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数 ①
应纳税所得额的计算公式为：
应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附加扣除－依法确定的其他扣除 ②
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表：
(1)设全年应纳税所得额为，应缴纳个税税额为， 求，并画出图象；
分析：由于不同应纳税所得额对应不同的税率与速算扣除数，所以的分段函数．根据上表和公式①，可以直接得到函数的解析式：
函数图像如下所示：
(2)小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%, 2%, 1%, 9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：第一步：根据公式②计算出应纳税所得额；第二步：根据已经得到的计算个税税额.
根据公式②计算出应纳税所得额
将的值带入，得到
所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元．
师生活动：教师带领同学学习新的例题，引导同学们继续体会在具体应用中使用合适的函数表示法来表示函数关系，同时进一步学习分段函数的应用，引导同学们思考并发现生活中的分段函数应用.
设计意图：①让学生尝试用函数模型去表达实际问题，培养用数学的眼光观察、分析并解决身边问题的能力，而且渗透了公民的意识教育；②进一步体会根据问题的特点恰当选择函数的表示法，能更方便地理解并解决问题；③进一步学习分段函数的表示，让学生体会分段函数在实际应用中的价值.
（三）应用举例
例1：下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．
解：（1）（D）；有一个返回家中的过程.
（2）（A）；匀速行驶，并且有一个堵塞的过程.
（3）（B）. 速度逐渐加快，图像的切线斜率表示速度.
例2：某市 “招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5km以内 （含5km），票价2元；（2）5km以上，每增加5km，票价增加１元 （不足5km的按5km计算）． 如果某条线路的总里程为20km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
解：设里程为，票价为.
图像：
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
1.某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中轴表示该学生离学校的距离，轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是( )
A. B.
C. D.
解：依题意可知，关于的函数图象始终呈下降趋势，故 A和都不正确；
由于该同学是先跑后走，所以关于的函数图象下降速度是先快后慢，故 B不正确，D正确．
故选：．
2.如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动转动角度不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数这个函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
解：观察可知阴影部分的面积变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，
对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求．
故选：．
3.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A. B. C. D.
解：由题意可知：，排除；，排除．
故选：．
4.若函数则( )
A. B. C. D.
解：由函数
得
．
故选：．
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

展开更多......

收起↑