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第三章 函数的概念与性质
3.2.1函数的单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值
1.结合函数单调性和图象理解函数的最大（小）值概念的含义，培养学生数学抽象的核心素养；
2.让学生经历通过判断函数的单调性求函数最值的过程，培养学生严谨的思维习惯，提升逻辑推理的核心素养;
3.通过应用函数最值解决实际问题，培养学生的应用意识，提高学生发现问题、解决问题的能力.
重点: 理解函数的最大（小）值的含义.
难点：能够通过函数图象或者函数单调性求得函数的最值.
（一）创设情境
下图为某城市一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图，关注一天内的最高气温和最低气温.
师生活动：教师给出气温变化图，并引导学生从图像中获取有用信息，为了突出最值的主题，教师强调2点为最低气温，10摄氏度. 14点为最高气温，24摄氏度.
设计意图：使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：函数的最小值.
探究：观察函数的图像，可以发现，二次函数的图象上有一个最低点，即，都有≥．当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数有最小值．
思考：函数在最低点处的函数值是函数的最小值吗，请说明理由.
答：∵函数在( ∞,0]上单调递减
∴当时，
∵函数在[0,+∞)上单调递增
∴当时，
即，都有
总结：当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数有最小值．
思考：下列函数有最小值吗，函数有最小值需要满足什么条件呢？
函数在定义域内有最小值吗？定义域为R，函数图象没有最低点，因此函数在定义域上没有最小值.
函数在[ 2,2]内有最小值吗？函数在区间上的图象有最低点，因此函数在区间上有最小值.
思考：函数有最小值需要满足什么条件呢？函数最小值的定义是怎样的呢？
答：函数有最小值应满足的条件：
函数在整个定义域或某个区间内，函数图象有最低点，就说函数在定义域内或某区间内有最小值.
【概念形成】
函数的最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)，都有；
(2)，使得.
那么，我们称是函数的最小值.
思考：函数最小值定义中的条件(2)可以省略吗？为什么？
答：不可以省略，因为要保证可以取到最小值.
任务2：函数的最大值
探究：观察二次函数的图象，可以发现，二次函数的图象上有一个最高点，即点(0,0). ，都有．
思考：(1)函数在最高点处的函数值是函数的最大值吗？
(2)函数图象具有怎样的特征时，函数具有最大值？
(3)你能归纳出函数最大值的定义吗？
答：(1)是函数的最大值.
(2)当一个函数的图象有最高点时，我们就说函数有最大值．
【概念形成】
函数的最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)，都有；
(2)，使得.
那么，我们称是函数的最大值.
思考：一个函数一定有最大值或最小值吗？为什么？
答：不一定. 比如：
一次函数时，无最大值和最小值；
二次函数（开口向上时有最小值无最大值；开口向下时有最大值无最小值）；
反比例函数，无最大值和最小值；
常函数（既有最大值又有最小值，且最大值和最小值相等）.
对于给定区间的函数，看区间端点能否取到，具体情况具体分析.
师生活动：教师结合二次函数图像引入函数的最大值、最小值，给出函数的最大值概念，引导学生形成函数的最小值概念.
设计意图：通过第一课时实例函数的引入，让学生开始关注函数的最值.
任务3：探究函数最值在实际问题中的应用
探究：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度单位：与时间单位：之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻这时距地面的高度是多少？精确到
提示：爆裂的最佳时刻是指烟花冲到最高点的时刻，此时高度是函数的最大值.
解：画出函数的图象显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数，我们有：
当时，函数有最大值．
于是，烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为．
总结：图像法求函数最值的一般步骤：
作出函数图象；在图象上找到最高点或最低点对应的横纵坐标；确定函数的最大(小)值.
总结：函数最值的应用：
解实际应用题时，要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.
在实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.
师生活动：教师提出图象法求解函数最值并给出例题，在学生思考作答后讲解.
设计意图：让学生学习图象法求解函数最值的方法.
任务4：借助函数的单调性求解函数的最值.
探究：已知函数，求函数的最大值和最小值．
思考：函数的最大值、最小值是在端点处取到吗？
答：如果函数在所给闭区间上是单调函数，则可以在端点处取得函数在闭区间上的最大值和最小值. 所以需要先证明函数的单调性，再求得函数的最值.
解：，，且，则．
由，得，，于是，即
所以，函数在区间上单调递减．
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值在时取得最大值，最大值是
在时取得最小值，最小值是．
总结：（1）若函数在区间上单调递增，则的最大值为，最小值为
（2）若函数在区间上单调递减，则的最大值为，最小值为
（3）若函数在区间上有增有减，则先求出每个单调区间的最值，再从各个单调区间中的最大值中选出最大的作为的最大值，从各个单调区间中的最小值中选出最小的作为的最小值.
师生活动：教师提出函数最值的求解可以通过函数单调性求解，并给出例题，在学生思考作答后讲解. 总结闭区间上单调函数的最值情况.
设计意图：让学生学会利用单调性求解函数的最值.
任务5：恒成立、存在有解问题.
探究：
解：问题转化为，恒成立.
记,. 只需.
，.
总结：恒成立，能推出
恒成立，能推出
，能推出
，能推出
（三）应用举例
例1：设函数的定义域为如果在区间上单调递减，在区间上单调递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现是函数的一个 ．
解：由题意画出函数的图象，可知发现是函数的一个最小值，
故答案为：最小值．
例2：设函数．
用函数单调性定义证明：函数在区间上是单调递减函数；
求函数在区间上的最大值和最小值．
解：证明：设，
由题有，
，
，，，
，即，
函数在区间上是单调递减函数．
由可知在区间上单调递减，
的最大值为，最小值为．
函数在区间上的最大值为，最小值为．
例3：某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨．
(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本
若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少
解：因为，
所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元．
设该工厂年获得总利润为万元，
则．
因为在上是增函数，
所以当时，有最大值为．
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元．
设计意图：巩固知识，强化理解.
课堂练习
1.函数的值域是( )
A. B. C. D.
解：因为在上单调递减，
故当时，函数取得最大值，当时函数取得最小值．
故选：．
2.下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是( )
A. B. C. D.
解：对于，函数是定义域上的增函数，其值域是，不满足题意；
对于，函数是定义域上的增函数，且值域是，满足题意；
对于，函数是对勾函数，不是定义域上的增函数，不满足题意；
对于，函数不是定义域上的增函数，不满足题意．
故选：．
3.已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：函数的对称轴为直线，
因为函数在区间上递减，
所以，
所以当时，，，
所以，解得，
因为，所以，
则实数的取值范围是．
故选：．
4.已知函数，．
当时，求函数的单调递增区间；
令，若在的最大值为，求的值．
解：当 时，
当 或 ， 在 递增，
当 时， 在 递增，
所以函数 的单调递增区间为 ， ．
，
可令 ， ，
则
当 时， ，则 ；
当 ，则 ，
综上可知 或 ．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第三章 函数的概念与性质
3.2.1函数的单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
1．理解函数单调性的概念，明确函数的单调性是局部概念，能够准确判断函数在给定区间上的单调性，区分函数的单调区间和在某区间单调两个概念；
2．掌握定义法、图象法等方法判断函数单调性，理解增（减）函数的定义，掌握用定义法证明函数单调性；
3．通过对具体函数单调性的分析，培养学生观察、分析、归纳能力，在证明函数单调性的过程中，提高学生的逻辑推理能力和数学表达能力；
4．引导学生运用数形结合的思想方法，理解函数单调性，培养学生的综合思维能力．
重点：函数的单调性.
难点：增（减）函数的定义，利用增（减）函数的定义判断函数的单调性.
（一）创设情境
下图为某城市一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图，请同学播报一下该天的气温状况.
师生活动：教师给出气温变化图，并引导学生从图象中获取有用信息，为了突出单调性的主题，教师强调从0点到2点，气温逐渐降低，从2点到14点，气温逐渐升高......
设计意图：使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：函数的单调性定性分析.
思考：给出三个函数图象，请问它们有什么特点或变化规律？分别反映了相应函数的哪些性质？
答：左边图象从左至右保持上升，中间图象和右边图象从左至右有上升也有下降.
思考: 左边图象从左至右保持上升，这一不变性是函数的什么性质呢？我们在初中学过函数的单调性，当时的描述是：随着的增大而增大（减小）.接下来我们通过函数进一步认识函数的单调性.
探究：当时，随的增大而减小. 用符号语言描述：任取，得到，当时，有，我们说函数在区间上单调递减.
思考：如何比较的大小？
答：作差法. 当时，，所以. 可以看到，判断的正负，是通过把分解为可以直接确定符号的式子.
探究：时的情况. 先独立思考，再合作交流.
当时，随的增大而增大. 用符号语言描述：任取，得到，当时，有，我们说函数在区间上单调递增.
思考：函数的单调性是怎样的？
答：根据函数图象，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
在区间上单调递增，在区间上单调递减.
师生活动：教师给出函数图象，引导学生认识函数的单调性. 从初中概念入手，结合具体函数整体认识函数的单调性.
设计意图：通过函数图象观察图象特征，引入函数的单调性.
任务2：函数的单调性定义.
【概念形成】
函数的单调性：一般地，设函数的定义域为，区间：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们称为增函数.
如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们称为减函数.
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有 （严格的）单调性，区间叫做的单调区间.
思考：你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？
答：在整个定义域内是单调递增的函数：.
在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数：.
思考：单调递增与增函数有什么区别？
答：单调递增是函数的局部性质，需要指明函数在哪个区间单调递增. 增函数是函数的整体性质，要求函数在整个定义域上单调递增.
思考：函数的单调区间能不能简单合并呢？
答：不能. 例如，如图所示，函数在区间,0)和都单调递减，我们可以说函数在区间,0)和上单调递减，但不能说在区间,0)上单调递减，或在整个定义域内单调递减，即不能说是减函数.
思考：设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且，当时，都有，我们能说函数在区间上单调递增吗？你能举例说明吗？
答：不能. 对于函数，当时，符合，当时，都有，但是在区间上不是单调递增的.
函数单调性的等价形式：设函数的定义域为，区间：记，都有，则函数在区间上单调递增. 若都有
，则函数在区间上单调递减.
师生活动：教师给出函数单调性的定义，并引导学生思考需要注意的事项，包括单调递增与增函数的区别、单调区间能否合并等等问题.
设计意图：使学生在接收函数单调性定义的基础上，通过注意事项对函数单调性的理解更加深刻.
任务3：函数单调性的判定.
探究：如何证明函数在某个区间单调递增或递减？
要求：先独立思考，再合作交流.
答：定义法，具体步骤如下：
(1)取值：在区间上任取两个自变量的值，并规定.
(2)作差、变形：计算，将分解为若干可以直接确定符号的式子.
(3)定号、下结论：确定的符号. 若，则函数在区间上单调递增；若，则函数在区间上单调递减.
总结：通过代数运算（变形）证明数学命题是高中数学学习的重要任务，应该引起足够的重视.
思考：如何快速判断一些函数的单调性，；
答：增+增=增、减+减=减、增－减=增、减－增=减.
“增－增”、“减－减”无法确定单调性.
应用举例
例1.画出函数的图象，并指出函数的单调区间.
解：由图知，函数的增区间为：
函数的减区间为：
例2.函数，若在上是增函数，求的范围.
解：
由二次函数的性质知，在上单调递增，所以，.
例3.根据定义，研究函数的单调性．
解：函数的定义域是．，，且，
则
由，得所以
当时，于是，即这时，是增函数．
当时，于是，即这时，是减函数．
例4.物理学中的玻意耳定律为正常数告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大，试用函数的单调性定义证明．
解：证明：易知函数的定义域为
设，是定义域上的任意两个实数，且，
则
由，得；
由，得．
又，于是，即．
所以函数，是减函数．
例5.根据定义证明函数在区间上单调递增．
解：证明：，，且，有
．
由，，得，．
所以，又由，得．
于是，即所以，函数在区间上单调递增．
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.下列函数在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
解：函数，，在上都单调递增，故A、、C错误；
当时，，
因此函数在上单调递减， D正确．
故选：．
2.定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
解：由题图知：在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递减区间为．
故选：．
3.下列函数中，在区间上不是单调函数的是( )
A. B. C. D.
解：对于，在上单调递增，所以A错误；
对于，在上单调递增，所以B错误；
对于，在上不是单调函数，所以C正确；
对于，，在上单调递增，所以D错误．
故选C．
4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解：由题意得解得，
则的取值范围是：
故选：．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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