资源简介

课例名称 3.2.1函数的基本性质——单调性 教师姓名
学段学科 高中/数学 教材版本 人教A版必修第一册
章节 第三章第二节 年级 高一
教学目标 1. 知识目标： 理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念；掌握增（减）函数的证明与判断； 2.能力目标： 通过单调性的教学使学生发现单调性的证明方法，并会根据单调定义证明函数单调性； 3.素养目标： 通过单调性的教学，使学生体会数学抽象的过程，即能用数学眼光观察世界；通过逻辑推理对单调性的证明，使学生体会用数学的思维思考世界.由函数的图象研究函数的单调性体会直观想象核心素养；由实际问题构造合理的函数模型体现数学建模核心素养，让学生充分体会数学来源于生活，又应用于生活.
教学重难点 1.教学重点：函数单调性的概念; 2.教学难点：用符号语言表达函数的单调性；利用定义证明函数的单调性.
学情分析 1.学生已经具备了由特殊到一般的研究思路,具有了一定的直观想象能力、抽象概括能力和推理论证能力，但这些能力处于发展期，不够成熟、不严密、意志力薄弱，故在教学环节中合理创设问题情境，引导学生积极思考，培养学生的逻辑思维能力. 2.由于学生还欠缺的是将这些语言组织起来进而表达函数的单调性，致使在抽象出函数单调性的符号化定义时会产生一定的困难.
教学方法 讲授法、演示法、课堂讨论法
教学过程 教学流程图： 一.创设情境、新课导入 数学源于生活，生活处处离不开数学.那我们一起看一看大自然给予我们的美好瞬间.绝美的黄山云海日出、号称亚洲第一高瀑的云台山瀑布，势如破竹、直指苍穹的钱塘江的大潮.我们将三个视频的运动过程，分别抽象出函数图象，用一句成语来概括. 师生活动：教师提出问题，学生回答. 设计意图：通过自然中的自然景观日出、瀑布、钱塘江大潮，运动过程抽象出函数图象，让学生直观的了解函数图像上升和下降的特征，稳步引入本节课的内容——函数的单调性. 二、任务驱动、新知探究 任务一：根据函数图象，完成表格 x取值范围图形语言自然语言 符号语言
师生活动：教师巡视，指导学生自己动手，结合网络画板，完成表格. 【信息技术手段】：通过希沃易课堂—课件推送功能，将网络画板推送给学生，让学生自己动手，感受函数图象的变化特征. 请同学们类比函数在上是增函数的符号化语言,给出“定义域为的函数在定义域的某个区间上单调递增”的符号化语言表述： 一般地，设函数的定义域为，区间 定义1(单调递增)：如果,当时,都有,那么我们就称函数在区间上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function). 学生类比得出单调递减的概念. 定义2(单调递减)：如果,当时,都有,那么我们就称函数在区间上单调递减. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(increasing function). 定义3(单调区间)：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间. 师生活动：教师根据的图象特征，引导学生得出单调递增、增函数的定义，学生类比得出单调递减、减函数的定义 思考1：设的定义域为，若,且时,都有，能够说明函数在定义域上是增函数吗？为什么，说说你的理由. 思考2：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的例子吗 你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单点递减的例子吗？ 【信息技术手段】对于思考1，通过希沃易课堂—互动—学生投屏功能，让学生在自己的电脑上画出图象，进行展示. 设计意图：通过师生的合作、交流,突破增函数符号化这一难点.高一的学生符号化能力较弱,但是单调性的定义这一抽象过程尤为重要,这为以后学习其它知识的符号化提供了经验,同时也提升了学生的数学抽象素养. 同步练习1：函数的单调递减区间是（ ）. 师生活动：学生自主答题，学生终端上传答案 【信息技术手段】通过希沃易课堂—答题—单选功能，进一步对学生学习情况进行掌控，便于教师制定下一步教学策略. 设计意图：从熟知的反比例函数入手，了解函数图像的上升和下降具有局部性质；从反比例函数的图像举例区间的错误描述方法，让同学们直观地了解到区间书写的规范性. 任务二：根据定义，研究函数的单调性. 师生活动:教师板演，总结用定义证明函数的单调性的步骤. 设计意图：一次函数是比较简单的函数模型，学生可以很容易从观察图象得到函数的单调性，但是学生现在要提升逻辑推理证明的能力，通过简单的推理来研究函数的单调性.同时让学生熟悉利用单调性定义来研究函数单调性的基本步骤. 总结：用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取x1，x2∈D，且x1< x2 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性. 同步练习2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强p将越大.试对此用函数的单调性证明. 师生活动：先让学生独立思考“体积减小时，压强增大”的代数含义.建立物理意义与函数单调性的联系，再让学生独立给出证明. 【信息技术手段】通过希沃易课堂—互动—拍照上传功能，了解学生利用定义证明函数单调性的掌握情况.然后进行同学间互评，便于学生进行横向比较，进而体现数学严谨性. 设计意图：同步练习2是一个物理学的公式，同时也是学生初中所学的简单函数模型——反比例函数.学生在研究的过程中明确函数模型可以用来刻画现实世界中的现象.而且数学研究的不是一个现象，而是从中抽象概括出来的一般问题，从中不断归纳出一般规律以及研究的一般方法. 任务三：糖水问题 在1千克的水中，加入一定量的糖，糖加的越多（忽略饱和度），糖水就越甜，你能运用所学过的数学知识，用尽可能多的方法来解决这个问题吗？ 参考公式： 师生活动:学生合作探究，学生主体、教师主导地位，鼓励学生一题多解，举一反三. 【信息技术手段】小组合作探究，通过希沃易课堂—互动—拍照上传探讨结果. 设计意图：理论联系实际，从实际生活中的问题出发，抽象出函数模型，培养学生数学抽象、数学建模核心素养. 三、融入思政、知识交融 刚刚不久前召开的两会、以及去年召开的二十大，都处处彰显着大国实力.我们以二十大一组数据为例，近十年居民最低生活保障人数逐年递减，人均国内生产总值呈逐年上升趋势，中国经济总量占世界经济比重逐年上升，这也恰恰体现了函数的单调递增、单调递减的性质，我们如今的幸福生活来之不易，我们应该更加珍惜，同学们，未来属于你们，让我们好好学习，为祖国建设贡献自己的光和热， 设计意图：思政融入课堂，旨在培养学生的家国情怀. 四、课堂小结 1.三个定义：（1）增函数、（2）减函数、（3）单调区间； 2.两种方法：图象法、定义法 3.三种思想：数形结合、分类讨论、类比思想 师生活动:教师简单总结，学生进行课堂竞赛，进行个人总结 【信息技术手段】通过希沃易课堂—课程—课程竞赛功能让全班同学进行总结和练习，打破传统的教师一人总结，真正做到让学生动起来. 设计意图：学生再对本节课中的重点知识做一个回顾，特别是在理解单调性时要抓住任意.同时还要注意单调性证明时研究的区间，明确研究区间才能对单调性进行研究.同时了解研究函数的一般方法，对于研究函数性质有一个更加深刻的认识. 五、课后作业 1.必做作业：详见电子书包 2.探究性作业 讨论 在（0，+）的单调性 【信息技术手段】通过希沃易课堂学生空间布置作业，学生完成后可以直观看到学生完成情况，便于教师进一步制定教学策略.根据本节课的重点内容，制作微课，让学生查缺补漏.
教学反思 变“形式”为“内在“：运用信息技术，提升了课堂的教学效率，但不可流于形式，要注重实效。 变“注入式”为“启发式”：探究式教学，更能促进学生深入思考，但要精选问题，所选问题要难易适中，指向明确。 变“单向输出”为“多向交流”：合作式学习，不但能培养学生的团队精神，更能活跃课堂氛围提升学习效果，但要组织有序，在独思与交流之间找到平衡点。

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