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第三章 函数的概念与性质
3.2.2 函数的奇偶性
1．理解函数的奇偶性定义及其几何意义，能根据定义判断简单函数的奇偶性；
2．掌握函数奇偶性的性质，能够利用函数奇偶性解决函数求值、作图等问题；
3．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合、分类讨论的数学思想；
4．感受数学与大自然之间密不可分的联系，及它们之间共同拥有的对称之美，体会到数学语言独特的简洁精准及数形结合之美，提升直观想象和逻辑推理素养．
重点：能根据函数奇偶性的定义或函数的图象判断函数的奇偶性.
难点：利用函数的奇偶性定义判断函数的奇偶性.
（一）创设情境
情境：窗花作为中国传统文化的一部分，拥有着对称之美.
通过观察说说下方两幅窗花图案的对称方式.
师生活动：教师给出两幅图案，并提出问题，引导学生对中心对称和轴对称知识进行回顾与思考.
答：左图为中心对称且轴对称图案，右图为轴对称图案；
设计意图：通过生活中窗花图案，让同学们回顾对称相关的知识，类比现实生活将函数的对称性引入，从而展开教学.
（二）探究新知
任务1：偶函数的概念和性质理解.
观察：对称之美同样存在于数学中，在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和 的图象；并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征.
师生活动：教师提出问题，根据前面的对称知识给予引导：
答：可以发现，这两个函数的图象都关于y轴对称．
思考：类比函数的单调性，“函数图象关于y轴对称”这一特征能否用符号语言精确地描述出来？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
对于函数有：
实际上， x∈R， 都有：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -1 0 1 2 1 0 -1 …
对于函数有：
实际上， x∈R，都有：
可以发现，当自变量 取一对相反数时，相应的函数值相等.
总结： 一般地，设函数的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且=，那么函数就叫做偶函数．
师生活动：教师提出用符号语言描述“函数图象关于y轴对称”，同时给出具体函数以及函数某些特殊值，引导学生总结分析，可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值相等. 教师并进一步引导学生，有具体函数抽象到无解析式的函数关于y轴对称的描述，最终得出偶函数的定义.
思考：结合前面偶函数的定义和对称性，下图函数是偶函数吗？
函数 函数
师生活动：教师可提出问题，根据前面的推导过程，函数在任何情况下都是偶函数？让学生思考并回答，然后给出例题函数表达式和对应函数图象.然后让学生发言自己的判断，并分享自己的判断方法.
答：左边的函数是偶函数，右边的不是，因为它的定义域不关于原点对称，导致图象不关于y轴对称.
设计意图：重在让学生理解偶函数的定义域是关于原点中心对称，可先通过定义域判断函数奇偶性.也可通过函数图象直观观察来判断奇偶性.
任务2：奇函数的概念和性质理解.
思考：观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？
师生活动：教师提出问题，根据偶函数的对称性以及情境创设中的图形对称，让同学们描述出上图中两个函数图象是何种对称图形.
答：两个函数图象都是关于原点成中心对称.
思考：类比偶函数对称性，“函数的图象都关于原点成中心对称”这一特征能否用符号语言精确地描述出来？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -1 1 …
答：可以发现，当自变量 取一对相反数时，相应的函数值也是一对相反数.
例如，对于函数有：
实际上， x∈R，都有：
那么函数就叫做偶函数.
总结： 一般地，设函数的定义域为D，如果 ∈D，都有－∈D，且=，那么函数就叫做奇函数．
师生活动：教师提出观类比偶函数，用符号语言描述“函数图象关于原点成中心对称”，同时给出具体函数以及函数某些特殊值，引导学生总结分析，可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值也是一对相反数. 教师并进一步引导学生，有具体函数抽象到无解析式的函数关于原点中心对称的描述，最终得出奇函数的定义.
思考：结合前面奇函数的定义和对称性，下图函数是奇函数吗？
函数 函数
师生活动：教师可提出问题，根据前面的推导过程，函数在任何情况下都是奇函数？让学生思考并回答，然后给出例题函数表达式和对应函数图象.然后让学生判断，并分享自己的判断方法.
答：左边的函数是奇函数，右边的不是，因为它的定义域不关于原点对称，导致图象不关于原点对称.
总结：奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域．
设计意图：重在让学生理解偶函数的定义域是关于原点中心对称，可先通过定义域判断函数奇偶性.也可通过函数图象直观观察来判断奇偶性.
任务3：判断函数的奇偶性.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6) ;
解：(1)函数的定义域为
∵，都有，且，
∴函数为偶函数.
(2)函数的定义域为
∵，都有，且，
∴函数为奇函数.
(3)函数的定义域为
∵，都有，且，
∴函数为奇函数.
(4)函数的定义域为
∵，都有，且，
∴函数为偶函数.
(5)函数 的定义域为
∵当时，定义域不关于原点对称.
∴函数为非奇非偶函数.
(6)函数的定义域为， R
∵且
∴函数既是奇函数又是偶函数.
师生活动：教师提出判断函数的奇偶性是否有标准流程，引导学生全面回顾前面判定方法，形成流程图，让学生有一个清晰判断思路.
（三）应用举例
例1：若函数是偶函数，定义域为的值.
解：∵偶函数的定义域关于原点对称
∴=0，=
又∵为偶函数
.
∴=，即=0.
总结：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点.如果定义域不关于原点对称，则该函数为非寄非偶函数.
例2：若为偶函数，则实数=_______.
师生活动：教师提出问题，请同学分组讨论，是否存在多种解题方法.
方法1：∵ 为偶函数，
∴.
即
∴.
方法2：∵为偶函数，
∴关于轴对称.
∴，.
方法3：∵为偶函数，
∴.
整理得 ∴.
设计意图：分别采用定义法、对称性、特殊值三种方法解答此题，重在让学生理解偶函数的定义和性质，并灵活运用解决实际问题.
例3：若函数为上的奇函数，且当时，， 则当时，求此时的解析式.
解：当时，，则
∵为上的奇函数
∴当时，.
设计意图：补全解析式题型，可先利用定义域关于原点中心对称，补全定义域.再利用已知区间解析式和函数奇偶性质求解，意在加深学生对奇函数性质的理解并灵活运用.
例4：(1)如何判断函数 的奇偶性？
(2)已知函数图象的一部分，如何画出剩余部分？
解：(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数 的定义域为R且有 ，所以此函数是奇函数.
(2)由奇函数的图象关于原点成中心对称可以画出函数在y轴左侧对的图象，将y轴右侧的图象沿着原点旋转180°即可，图象如右图所示.
追问：观察图象在原点两侧的单调性，你发现了什么？
答：奇函数在关于两个原点对称的区间上的单调性相同.
设计意图：图象补全问题，偶函常对折图象，奇函数常旋转图象.意在加深学生对函数奇偶性质的理解并能灵活运用，解决实际问题.
例5：若对于任意实数总有，且在区间上是增函数，则（ ）
解：据题意得：为偶函数，且在区间上是增函数.
∴.又∵，
∴，即. 故选B.
请同学们思考，能否设在区间上的解析式为=，用图象验证答案.
追问：你能猜想出函数在区间的单调性吗？据此，偶函数在对称区间上的单调性有什么规律吗？
答：偶函数在两个关于原点对称的区间上的单调性相反.
设计意图：利用偶函数图象关于y轴对称，结合函数单调性，比较特定点函数值得大小.为了更直观的理解题意和解题，引导学生根据已知条件假设解析式，绘草图或描点解题.
（四）课堂练习
1.定义在上的函数，“是奇函数”是“的图象关于轴对称”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要
解：若是奇函数，
则，
，
为偶函数，
的图象关于轴对称；
当时，是偶函数，图象关于轴对称，但不是奇函数，
“是奇函数”是“的图象关于轴对称”的充分不必要条件．
故选：．
2.若函数是定义在上的偶函数，则( )
A. B. C. D.
解：因为是定义在上的偶函数，
所以，得到，
显然，由图象关于轴对称，得到，解得，
所以，满足要求，
得到．
故选：．
3.已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则( )
A. B. C. D.
解：因为是定义域为的奇函数，
所以，，，
所以．
故选：．
4.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
解：函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，
则在区间上是增函数，，
不等式化为：或，解得或，
所以不等式的解集为．
故选：．
5.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
解：由上的奇函数满足，
得，于是，
即函数是以为周期的周期函数，
而当时，，
所以．
故选：．
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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